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  • 这节课主要讲傅里叶变换的计算,由于高维傅里叶变换有多个变量,多重积分,因此在计算时会有较大的困难。不过某些函数会有较为简捷的计算方式,下面来分析两类这样的函数。   可分离函数 有一类函数的高维傅里叶...

     

    这节课主要讲傅里叶变换的计算,由于高维傅里叶变换有多个变量,多重积分,因此在计算时会有较大的困难。不过某些函数会有较为简捷的计算方式,下面来分析两类这样的函数。

     

    可分离函数

    有一类函数的高维傅里叶变换能通过计算一系列低维傅里叶变换来得到,这类函数被称为可分离函数。(There's an important class of functions for which you can compute a higher-dimensional transform by computing a series of lower-dimensional transforms. These are separate functions.)

     

    例一

    二维矩形函数$\Pi(x_1,x_2)$

    Fourier 27_UnitBox

    $\Pi(x_1,x_2)=\begin{cases}
    1 & \text{ , } |x_1|<\frac{1}{2}\ \& \ |x_2|<\frac{1}{2} \\
    0 & \text{ , } otherwise
    \end{cases}$

     

    另外,该函数也可以写成两个一维矩形函数的乘积

    $\Pi(x_1,x_2) = \Pi(x_1)\Pi(x_2)$

    它的傅里叶变换为

    $\begin{align*}
    \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2)
    &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}\Pi(x_1,x_2)dx_1dx_2\\
    &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ix_1\xi_1}e^{-2\pi ix_2\xi_2}\Pi(x_1)\Pi(x_2)dx_1dx_2\\
    &=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ix_1\xi_1}\Pi(x_1)dx_1 \right )\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ix_2\xi_2}\Pi(x_2)dx_2 \right )\\
    &=\mathcal{F}\Pi(\xi_1)\mathcal{F}\Pi(\xi_2)\\
    &=(sinc\xi_1)(sinc\xi_2)
    \end{align*}$

     

     

    一般来说,如果一个高维函数能写成低维函数的乘积,那么该高维函数的傅里叶变换也能写成这些低维函数的傅里叶变换的乘积。

    $f(x_1,x_2,…,x_n) = f_1(x_1)f_2(x_2)…f_n(x_n)$

    $\Rightarrow \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2,…,\xi_n) = \mathcal{F}f_1(\xi_1)\mathcal{F}f_2(\xi_2)…\mathcal{F}f_n(\xi_n)$

     

     

    例二

    二维高斯函数

    Fourier 27_Gaussian

    $g(x_1,x_2) = e^{-\pi(x_1^2+x_2^2)}$

     

    它可以分成两个一维高斯函数的乘积

    $g(x_1,x_2) = e^{-\pi x_1^2}e^{-\pi x_2^2} = g_1(x_1)g_2(x_2)$

    它的傅里叶变换为

    $\begin{align*}
    \mathcal{F}g(\xi_1,\xi_2)
    &=\mathcal{F}g_1(\xi_1)\mathcal{F}g_2(x_2)\\
    &=e^{-\pi\xi_1^2}e^{-\pi\xi_2^2}\\
    &=e^{-\pi(\xi_1^2+\xi_2^2)}
    \end{align*}$

    (二维)高斯函数的傅里叶变换是它自身。

     

     

     

    径向函数(radial function)

    二维高斯函数就是径向函数的一个例子,它是圆对称的。当我们引入极坐标系时,有

    $\left.\begin{matrix}
    r=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \\
    \theta=arctan\frac{x_2}{x_1}
    \end{matrix} \quad \right| \quad
    \left.\begin{matrix}
    x_1=rcos\theta \\
    x_2=rsin\theta
    \end{matrix} \right.$

    那么二维高斯函数就可以变为

    $g(x_1,x_2) = e^{-\pi(x_1^2+x_2^2)} = e^{-\pi r^2}$

    它只依赖于$r$而并非单独的$x_1,x_2$,这就是径向函数的定义。径向函数只依赖于到某原点的距离$r$。

     

    径向函数有一个特点:径向函数的傅里叶变换仍是一个径向函数。

    证明过程如下:

    把笛卡尔坐标系下的傅里叶变换转换成极坐标系形式

    笛卡尔坐标系下的傅里叶变换有如下形式

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}f(x_1,x_2)dx_1dx_2 }$

    变量进行极坐标转换

    $\begin{matrix}
    x_1=rcos\theta &\qquad \xi_1=\rho cos\varphi \\
    x_2=rsin\theta &\qquad \xi_2=\rho sin\varphi
    \end{matrix}$

    假设$f$是一个径向函数,则$f(x_1,x_2) = f(f)$,$dx_1dx_2$通过极坐标转变成了$rdrd\theta$

    复指数内的变量内积变成

    $\begin{align*}
    x_1\xi_1+x_2\xi_2
    &=rcos\theta \rho cos\varphi+rsin\theta \rho sin\varphi\\
    &=r\rho(cos\theta cos\varphi+sin\theta sin\varphi)\\
    &=r\rho cos(\theta-\varphi)
    \end{align*}$

    把上述变量代入笛卡尔坐标系下的傅里叶变换式,有

    $\begin{align*}
    & \quad \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}e^{-2\pi ir\rho cos(\theta-\varphi)}f(r)rdrd\theta\\
    &=\int_0^{\infty}\left(\int_0^{2\pi}e^{-2\pi ir\rho cos(\theta-\varphi)}d\theta \right )f(r)rdr\\
    &=\int_0^{\infty}\left(\int_0^{2\pi}e^{-2\pi ir\rho cos\theta}d\theta \right )f(r)rdr \\
    &\quad (cos\ is\ a\ periodic\ function\ of\ 2\pi\ ,shift\ won't\ effect\ its\ integral)
    \end{align*}$

    我们把括号内的积分定义成一个函数

    $\displaystyle{ J_0(a) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-iacos\theta}d\theta }$

    $J_0(a)$被称为第一类0阶贝塞尔函数(0'th order bessel function of the first kind),贝塞尔还有其它类,其它阶的函数,它们常出现在径向函数出现的情景中。

    结果是,径向函数的二维傅里叶变换通过极坐标系的转换最终变成

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(\rho)=2\pi\int_{0}^{\infty}f(r)J_0(2\pi r\rho)rdr }$

    它是一个只依赖于$\rho$的函数,而$\varphi$已经在前面对$\theta$的积分处被消除。这个变换被称为0阶汉高变换(0'th order Henkel transformation)。这也证明了径向函数的傅里叶变换仍然是径向函数。

     

     

     

    高维傅里叶变换的卷积定理

    与一维傅里叶变换的卷积定理一样,它们在高维同样适用

    向量形式

    $\displaystyle{ (f*g)(\underline{x})=\int_{\mathbb{F}^n}f(\underline{x}-\underline{y})g(\underline{y})d\underline{y} }$

    二维分量形式

    $\displaystyle{ (f*g)(x_1,x_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1-y_1,x_2-y_2)g(y_1,y_2)dy_1dy_2 }$

     

    以前在分析一维傅里叶变换卷积时,我们不推荐在时域分析卷积,而是把卷积当作是频域的乘积。同样,在这里我们也不推荐在空域分析卷积,因为更多的变量会带来更复杂的思考,幸运的是,卷积在傅里叶变换上的公式在高维仍然适用,即

    $\mathcal{F}(f*g)=\mathcal{F}f\mathcal{F}g$

    $\mathcal{F}(fg)=\mathcal{F}f * \mathcal{F}g$

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  • 高维意味着函数中有多个变量,典型的高维傅里叶应用为图像处理。 一个二维图像的亮度(灰度)可以用$f(x_1,x_2)$来表示,以lena为例,图像平面作为$x_1,x_2$平面,灰度作为$z$轴,形成一个三维曲面    original...

    高维意味着函数中有多个变量,典型的高维傅里叶应用为图像处理。

    一个二维图像的亮度(灰度)可以用$f(x_1,x_2)$来表示,以lena为例,图像平面作为$x_1,x_2$平面,灰度作为$z$轴,形成一个三维曲面

     Fourier 26_lena_2           Fourier 26_lena         Fourier 26_3

         original image                       front of curve surface                 side of curve surface

     

    一维傅里叶变换的作用是把二维平面上的曲线转换成频域表示,二维的傅里叶变换的作用就是把三维曲面转换成频域表示。

    mathematica script:

    data = Import["ExampleData/lena.tif"];
    imageData = ImageData[data, "Byte"];
    width = ImageDimensions[data][[1]];
    height = ImageDimensions[data][[2]];
    scaleParam = 5;
    scaledWidth = IntegerPart[width/scaleParam];
    scaleHeight = IntegerPart[height/scaleParam];
    size = width*height;
    scaledSize = scaledWidth*scaleHeight;
    red = 1;
    green = 2;
    blue = 3;
    image3d = 
      Table[If[j == 3, 
        imageData[[If[IntegerPart[i/width] > 0, IntegerPart[i/width], 1], 
         If[Mod[i, width] > 0, Mod[i, width], 1], green]], 
        If[j == 1, If[IntegerPart[i/width] > 0, IntegerPart[i/width], 1], 
         If[Mod[i, width] > 0, Mod[i, width], 1]]], {i, size}, {j, 3}];
    ListPlot3D[image3d, Mesh -> None, InterpolationOrder -> 3, 
     ColorFunction -> GrayLevel]
    View Code

     

     

     

    从一维傅里叶变换到二维傅里叶变换

    一维傅里叶变换的公式如下

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

    其中有变量$s,t$,变换中与这些变量相关的部分有$f(t),\mathcal{F}f(s)$以及$e^{-2\pi ist}$

     

    二维傅里叶变换里面,变量$s,t$都变成了如下二维变量

    空间变量(spatial variable)

    $\underline{x} = (x_1,x_2)$

    频率变量

    $\underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2)$

    注:我们在讨论一维傅里叶变换的时候采用的是以时间作为单位的时域,但是在二维(N维)傅里叶变换的时候采用的是空间为单位的空域。

     

    那么二维空域函数就可以写成

    $f(\underline{x}) = f(x_1,x_2)$

    二维频域函数就写成

    $\mathcal{F}f(\underline{\xi} = \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2))$

    复指数中的乘积$st$就变成$\underline{x}$与$\underline{\xi}$的内积(把$\underline{x},\underline{\xi}$看作向量)

    $\underline{x}\cdot \underline{\xi} = x_1\xi_1+x_2\xi_2$

    那么复指数$e^{-2\pi ist}$变成

    $e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})} = e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}$

     

     

    有了以上的变量替换,二维傅里叶变换有如下形式

    向量形式

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(\underline{\xi}) = \int_{\mathbb{R}^2}e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})}f(\underline{x})d\underline{x} }$

    分量形式

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}f(x_1,x_2)dx_1dx_2 }$

     

     

    N维傅里叶变换

    $\begin{matrix}
    \underline{x} &= &(x_1,x_2,…,x_n)\\
    \underline{\xi} &= &(\xi_1,\xi_2,…,\xi_n)\\
    \underline{x}\cdot \underline{\xi} &= &x_1\xi_1+x_2\xi_2+…+x_n\xi_n
    \end{matrix}$

    向量形式

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(\underline{\xi}) = \int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})}f(\underline{x})d\underline{x} }$

    分量形式

    $\displaystyle{ \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2,…,\xi_n) = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}…\int_{-\infty}^{\infty}}_{n}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2+...+x_n\xi_n)}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2…dx_n }$

     

    傅里叶逆变换

    $\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}g(\underline{x}) = \int_{\mathbb{R}^n}e^{2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})}g(\underline{\xi})d\underline{\xi} }$

     

     

     

    深入理解

    在前面一维傅里叶变换类比到二维傅里叶变换的时候,复指数有以下过渡

    $e^{2\pi ist} \quad \rightarrow \quad e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$

    其中的$st$为什么会变成了$\underline{x}\cdot\underline{\xi}$这种内积的形式呢?

    下面将从一维复指数开始分析,后会过渡到二维复指数。

     

    一维复指数

    在一维傅里叶级数的分析时,我们讲到任何周期为1的函数都能表达成复指数的形式如下

    $f(t) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi ikt} }$

    其中分解成无限个复指数分量,傅里叶正逆变换是把周期取极限后再做调整的结果。

    现在我们试着在坐标轴上描绘出某个复指数。

    取$k=1$,即有$h(t) = e^{2\pi it}$,其中变量为t。不过由于它为复指数,我们无法在实坐标轴上把完整的图像画出来,但是我们注意到,该函数有如下性质

    $h(t+1) = e^{2\pi i(t+1)} = e^{2\pi it}e^{2\pi i}=e^{2\pi it} = h(t)$

    $e^{2\pi it} = 1 \qquad for\ t=0,\pm 1,\pm 2,…$

    可以画出下图

    image

    可以看到尽管我们不能完整画出该复指数的图像,但是可以看到它每间隔1都会回到原来的位置,是一个周期为1的振荡函数(曲线)。

     

    如此类推

    • $e^{2\pi ikt}$就是周期为$\frac{1}{k}$(频率为$k$)的振荡函数,任意只含有一个变量t的函数$f(t)$都能由无数个这种不同频率的振荡函数组合得到。

     

    二维复指数

    按照上面分析一维复指数的思路,我们来分析二维复指数$e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$

    取固定的$\underline{\xi} = (1,1)$,即

    $\underline{x}\cdot\underline{\xi} = x_1+x_2$

    当$\underline{x}\cdot\underline{\xi} = 0,\pm1,\pm2…$时,有

    $e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})} = 1$

    此时该复指数的值为1,在图像上表示就是振荡到1的位置

    image

     

    图上的斜线分别为

    $x_1+x_2 = 0,\pm1,\pm2…$

    他们有着相同的法向量$(1,1)$,即

    $\underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2)$

    他们之间的距离为

    $distance=\frac{\frac{1}{\xi_1}\frac{1}{\xi_2}}{\sqrt{\frac{1}{\xi_1^2}+\frac{1}{\xi_2^2}}} = \frac{\frac{1}{\xi_1\xi_2}}{\sqrt{\frac{\xi_1^2+\xi_2^2}{\xi_1^2\xi_2^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}} = \frac{1}{\left \| \xi \right \|}$

     

    因此,结合前面坐标图像,有这样的描述:

    • $e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$是一个法向量为$\underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2)$周期为$\frac{1}{\left \| \xi \right \|} = \frac{1}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}}$的振荡函数(曲面)。

    通过修改$\underline{\xi}$,可以得到不同的法向量与不同周期的二维复指数$e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$,无限的这类复指数可以组合成包含两个变量的任意函数$f(\underline{x}) = f(x_1,x_2)$,即三维曲面。

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  • 高维傅里叶变换的移位定理 在一维傅里叶变换的移位定理时,有 $f(t) \quad \leftrightarrow \quad F(s)$ $f(t-b) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi isb}F(s)$   在二维傅里叶变换的移位定理时,有两个...

     

    高维傅里叶变换的移位定理

    在一维傅里叶变换的移位定理时,有

    $f(t) \quad \leftrightarrow \quad F(s)$

    $f(t-b) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi isb}F(s)$

     

    在二维傅里叶变换的移位定理时,有两个变量,可分别对它们进行移位,

    $f(x_1,x_2) \quad \leftrightarrow \quad F(\xi_1,\xi_2)$

    $f(x_1-b_1,x_2-b_2) \quad \leftrightarrow \quad ?$

     

    二维的移位对应的傅里叶变换是什么呢?下面进行计算

    $\begin{align*}
    &\quad \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}f(x_1-b_1,x_2-b_2)dx_1dx_2\\
    &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i((u_1+b_1)\xi_1+(u_2+b_2)\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2 \qquad letting\ u_1=x_1-b_1,u_2=x_2-b_2\\
    &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}e^{-2\pi i(u_1\xi_1+u_2\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\\
    &=e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(u_1\xi_1+u_2\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\\
    &=e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}F(\xi_1,\xi_2)
    \end{align*}$

     

    即二维移位定理可以表示为

    $f(x_1-b_1,x_2-b_2) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}F(\xi_1,\xi_2)$

    表示成向量形式

    $f(\underline{x}) \quad \leftrightarrow \quad F(\underline{\xi})$

    $f(\underline{x}-\underline{b}) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi i\underline{\xi}\cdot \underline{b}}F(\underline{\xi})$

    这个向量形式也可以推广到n维傅里叶变换的移位定理。

     

     

     

    高维傅里叶变换缩放定理

    独立变量缩放

    在一维傅里叶变换的缩放定理时,有

    $f(t) \quad \leftrightarrow \quad F(s)$

    $f(at) \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$

    通过这个式子,我们知道时域与频域的缩放是互反的,不可能在时域与频域上同时压缩或同时扩展。

     

    在二维傅里叶变换的缩放定理时,有

    $f(x_1,x_2) \quad \leftrightarrow \quad F(\xi_1,\xi_2)$

    $f(a_1x_1,a_2x_2) \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{|a_1||a_2|}F\left(\frac{\xi_1}{a_1},\frac{\xi_2}{a_2}\right)$

    在二维傅里叶变换的公式中通过变量替换就能得到上述结果,这里不进行具体的推导。

     

     

    混合变量缩放(矩阵乘法)

    不过缩放并不限于$x_1\rightarrow a_1x_1,x_2\rightarrow a_2x_2$这种各个变量独立缩放的形式,更一般的情况会表示为矩阵的乘法,即

    $\begin{bmatrix}
    x_1\\
    x_2
    \end{bmatrix}
    \rightarrow
    \begin{bmatrix}
    a &b \\
    c &d
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    x_1\\
    x_2
    \end{bmatrix}
    =\begin{bmatrix}
    ax_1+bx_2\\
    cx_1+dx_2
    \end{bmatrix}$

    这种缩放也可以推广到n维傅里叶变换。

    用向量形式来表示

    $\underline{x}\rightarrow A\underline{x}$

    $f(\underline{x}) \rightarrow f(A\underline{x})$

    需要注意的是,这里的矩阵$A$是非奇异的,即不能使得$\underline{x}$降阶(不能消去$\underline{x}$中的某一项).

    它的傅里叶变换为

    $\begin{align*}
    \mathcal{F}(f(A\underline{x}))
    &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}f(A\underline{x})d\underline{x}\\
    &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(A^{-1}\underline{u}\cdot\underline{\xi})}f(\underline{u})d(A^{-1}\underline{u}) \qquad letting\ \underline{u}=A\underline{x}\\
    &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{u}\cdot (A^{-1})^T\underline{\xi})}f(\underline{u})\frac{1}{|detA|}d\underline{u} \qquad please\ review\ linear\ algebra\\
    &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{u}\cdot A^{-T}\underline{\xi})}f(\underline{u})\frac{1}{|detA|}d\underline{u} \qquad letting\ A^{-T}=(A^{-1})^T\\
    &=\frac{1}{|detA|}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{u}\cdot A^{-T}\underline{\xi})}f(\underline{u})d\underline{u}\\
    &=\frac{1}{|detA|}\mathcal{F}f(A^{-T}\underline{\xi})
    \end{align*}$

    $f(\underline{x}) \quad \leftrightarrow \quad F(\underline{\xi})$

    $f(A\underline{x}) \quad \leftrightarrow\quad \frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\underline{\xi})$

     

    在一维傅里叶变换的缩放定理时,只有一个变量,因此我们用倒数就能表达出时域与频域间的缩放关系,但是在高维傅里叶变换,有多个变量,因此缩放就变得更为自由,我们为了表示高维的缩放引入了矩阵,傅里叶的缩放关系也从倒数变成了矩阵的逆转置$A^{-T}$。

     

     

    下面是关于高维傅里叶缩放定理的两个例子

    例一

    我们前面所说到的独立变量的缩放

    $f(a_1x_1,a_2x_2) = f(A\underline{x})$

    其中$A=\begin{bmatrix}a_1 &0 \\ 0 &a_2 \end{bmatrix}$

    $f(A\underline{x})\quad \leftrightarrow\quad \frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\underline{\xi}) = \frac{1}{|a_1a_2-0|}F\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{a_1} &0 \\ 0 &\frac{1}{a_2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi_1 \\ \xi_2 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{|a_1||a_2|}F\left(\frac{\xi_1}{a_1},\frac{\xi_2}{a_2}\right)$

     

     

    例二

    矩阵为$A=\begin{bmatrix}
    cos\theta &-sin\theta \\
    sin\theta &cos\theta
    \end{bmatrix}$,那么$A\underline{x}=\begin{bmatrix}x_1cos\theta-x_2sin\theta \\ x_1sin\theta+x_2cos\theta \end{bmatrix}$

    假设原始的变量为$(x_1,x_2)$,用矩阵$A$进行缩放后的变量为$(x_1',x_2')$,引入极坐标系,他们间有如下关系

    $x_1=rcos\varphi \qquad x_2=rsin\varphi$

    $\begin{align*}
    x_1'&=x_1cos\theta-x_2sin\theta\\
    &=rcos\varphi cos\theta-rsin\varphi sin\theta\\
    &=rcos(\varphi+\theta)
    \end{align*}$
    $\begin{align*}
    x_2'&=x_1sin\theta+x_2cos\theta\\
    &=rcos\varphi sin\theta+rsin\varphi cos\theta\\
    &=rsin(\varphi+\theta)
    \end{align*}$

    那么这个矩阵就代表了$f(x_1,x_2)$在空域的$x_1,x_2$平面上进行了角度为$\theta$的旋转。

    image

    它的傅里叶变换为

    $\begin{align*}
    &\quad \frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\underline{\xi})\\
    &=\frac{1}{|cos\theta cos\theta-(-sin\theta)sin\theta|}F((A^{-1})^T\underline{\xi})\\
    &=F((A^T)^T\underline{\xi}) \qquad AA^T=\begin{bmatrix}cos\theta &-sin\theta\\ sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos\theta &sin\theta\\ -sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0 &1 \end{bmatrix}=I \ \Rightarrow A^{T}=A^{-1} \\
    &=F(A\underline{\xi})
    \end{align*}$

     

    即,当$A=\begin{bmatrix}
    cos\theta &-sin\theta \\
    sin\theta &cos\theta
    \end{bmatrix}$,有

    $f(A\underline{x}) \quad \leftrightarrow \quad F(A\underline{\xi})$

    这表明空间坐标系旋转对应着频率坐标系的相同角度的旋转。

    从二维图像上去思考的话,$f(A\underline{x})$相当于一幅被旋转了的图像,$F(A\underline{\xi})$就是该图像的频谱进行了相应的旋转而已,并没有本质上的改变。

     

     

     

    高维$\delta$函数

    高维$\delta$函数与一维的$\delta$函数有着相同性质

    $<\delta,\varphi> = \varphi(\underline{0}) = \varphi(\underbrace{0,0,…,0}_n)$

    移位的脉冲函数$\delta_{\underline{b}} = \delta(\underline{x}-\underline{b})$

    $<\delta_{\underline{b}},\varphi> = \varphi(\underline{b}) = \varphi(b_1,b_2,…,b_n)$

     

    傅里叶变换

    $\mathcal{F}\delta = 1$

    $\mathcal{F}\delta_{\underline{b}} = e^{-2\pi i(\underline{b}\cdot \underline{\xi})}$

     

    $\delta$的取样特性

    $f\delta = f(\underline{0})\delta$

    $f\delta_{\underline{b}} = f(\underline{b})\delta_{\underline{b}}$

     

    $\delta$的缩放特性

    我们以前讲过一维的情况

    一维:

    $\delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x)$

    n维:

    $\delta(A\underline{x}) = \frac{1}{|detA|}\delta(\underline{x})$

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  • IDFT 反离散傅里叶变换公式: f ( x ) = 1 p 1 p 2 … p b ∑ α ∈ G ( F ( α ) ∏ j = 1 b θ j − α j x j ) f(x) = \frac{1}{p_1p_2 \dots p_b} \sum_{\alpha \in G} ( F(\alpha) \prod_{j=1}^{b} \theta_{j}^...

    DFT

    p 1 , p 2 , . . . , p b p_1,p_2,...,p_b p1,p2,...,pb是b个整数,令 θ j = e − 2 π i / p j \theta_j = e^{-2 \pi i/p_j} θj=e2πi/pj p j p_j pj阶单位根,其中 i 2 + 1 = 0 i^2+1=0 i2+1=0

    定义 G : = Z p 1 × Z p 2 × ⋯ × Z p b G:= Z_{p_1} \times Z_{p_2} \times \dots \times Z_{p_b} G:=Zp1×Zp2××Zpb,容易验证G是拥有 p 1 p 2 … p b p_1p_2 \dots p_b p1p2pb个元素的群。

    对于 x ∈ G x \in G xG,我们简单记做: ( x 1 , x 2 , … , x b ) ,   x j ∈ Z p j (x_1,x_2, \dots, x_b),\, x_j \in Z_{p_j} (x1,x2,,xb),xjZpj

    函数 f : G → C f:G \rightarrow C f:GC 离散傅里叶变换是 F : G → C F:G \rightarrow C F:GC
    F ( α ) = ∑ x ∈ G ( f ( x ) ∏ j = 1 b θ j α j x j ) F(\alpha) = \sum_{x \in G} ( f(x) \prod_{j=1}^{b} \theta_{j}^{\alpha_j x_j} ) F(α)=xG(f(x)j=1bθjαjxj)

    IDFT

    反离散傅里叶变换公式:
    f ( x ) = 1 p 1 p 2 … p b ∑ α ∈ G ( F ( α ) ∏ j = 1 b θ j − α j x j ) f(x) = \frac{1}{p_1p_2 \dots p_b} \sum_{\alpha \in G} ( F(\alpha) \prod_{j=1}^{b} \theta_{j}^{ - \alpha_j x_j} ) f(x)=p1p2pb1αG(F(α)j=1bθjαjxj)
    容易验证,上式是正确的。

    由于 θ j 0 = 1 \theta_j^{0} = 1 θj0=1,且 θ j 0 + θ j 1 + ⋯ + θ j p j − 1 = 0 \theta_j^0+\theta_j^1+ \dots + \theta_j^{p_j-1} = 0 θj0+θj1++θjpj1=0,因此:
    ∑ α ∈ G ( ∏ j = 1 b θ j α j ( x j − x j ′ ) ) = { ∣ G ∣ x = x ′ 0 x ≠ x ′ \sum_{\alpha \in G}( \prod_{j=1}^{b} \theta_{j}^{ \alpha_j (x_j-x_j')} ) = \left\{ \begin{aligned} |G| && x = x'\\ 0 && x \not = x'\\ \end{aligned} \right. αG(j=1bθjαj(xjxj))={G0x=xx=x
    ​ 其中 ∣ G ∣ = p 1 p 2 … p b |G| = p_1p_2 \dots p_b G=p1p2pb

    FFT

    ​ 将 f ( x ) f(x) f(x) F ( α ) F(\alpha) F(α)视作形状是 p 1 × p 2 × ⋯ × p b p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_b p1×p2××pb的阵列,阵列元素属于复数域 C C C。而 x , α x,\alpha x,α就是阵列的坐标。

    ​ 直接计算 F ( α ) = ∑ x ∈ G ( f ( x ) ∏ j = 1 b θ p j α j x j ) F(\alpha) = \sum_{x \in G} ( f(x) \prod_{j=1}^{b} \theta_{p_j}^{\alpha_j x_j} ) F(α)=xG(f(x)j=1bθpjαjxj)的复杂度是: O ( p 1 p 2 . . . p b ⋅ p 1 p 2 . . . p b ) = O ( p 1 2 p 2 2 . . . p b 2 ) O(p_1p_2...p_b \cdot p_1p_2...p_b) = O(p_1^2p_2^2...p_b^2) O(p1p2...pbp1p2...pb)=O(p12p22...pb2)

    ​ 假设 p 1 , p 2 , . . . , p b p_1,p_2,...,p_b p1,p2,...,pb都是2的幂次 (若不是,那可以将 G G G扩充,并对 f ( x ) f(x) f(x)补零),那么 θ p j 2 \theta_{p_j}^2 θpj2 p j 2 \dfrac{p_j}{2} 2pj次单位根。使用分治算法:
    F ( α ) = ∑ x ∈ G   a n d   x 1 ≡ 0 ( m o d 2 ) f ( x ) ( θ p 1 2 α 1 ) x 1 2 ∏ j = 2 b θ p j α j x j + θ p 1 ∑ x ∈ G   a n d   x 1 ≡ 1 ( m o d 2 ) f ( x ) ( θ p 1 2 α 1 ) x 1 − 1 2 ∏ j = 2 b θ p j α j x j \begin{aligned} F(\alpha) = && \sum_{x \in G\, and\,x_1 \equiv 0 \pmod{2}} f(x) (\theta_{p_1}^{2 \alpha_1})^{\frac{x_1}{2}} \prod_{j=2}^{b} \theta_{p_j}^{\alpha_j x_j} \\ + && \theta_{p_1} \sum_{x \in G\, and\,x_1 \equiv 1 \pmod{2}} f(x) (\theta_{p_1}^{2 \alpha_1})^{\frac{x_1 - 1}{2}} \prod_{j=2}^{b} \theta_{p_j}^{\alpha_j x_j}\\ \end{aligned} F(α)=+xGandx10(mod2)f(x)(θp12α1)2x1j=2bθpjαjxjθp1xGandx11(mod2)f(x)(θp12α1)2x11j=2bθpjαjxj

    ​ 定义:
    F 0 ( α ) = ∑ x ∈ G   a n d   x 1 ≡ 0 ( m o d 2 ) f ( x ) ( θ p 1 2 α 1 ) x 1 2 ∏ j = 2 b θ p j α j x j F 1 ( α ) = ∑ x ∈ G   a n d   x 1 ≡ 1 ( m o d 2 ) f ( x ) ( θ p 1 2 α 1 ) x 1 − 1 2 ∏ j = 2 b θ p j α j x j \begin{aligned} F_0(\alpha) = \sum_{x \in G\, and\,x_1 \equiv 0 \pmod{2}} f(x) (\theta_{\frac{p_1}{2}}^{\alpha_1})^{\frac{x_1}{2}} \prod_{j=2}^{b} \theta_{p_j}^{\alpha_j x_j} \\ F_1(\alpha) = \sum_{x \in G\, and\,x_1 \equiv 1 \pmod{2}} f(x) (\theta_{\frac{p_1}{2}}^{\alpha_1})^{\frac{x_1 - 1}{2}} \prod_{j=2}^{b} \theta_{p_j}^{\alpha_j x_j} \\ \end{aligned} F0(α)=xGandx10(mod2)f(x)(θ2p1α1)2x1j=2bθpjαjxjF1(α)=xGandx11(mod2)f(x)(θ2p1α1)2x11j=2bθpjαjxj
    ​ 其实,这里我们把阵列 f ( x ) f(x) f(x)根据 x 1 x_1 x1的奇偶性,对半分到了两个子问题中,并希望分别求得两个阵列 F 0 , F 1 F_0,F_1 F0,F1

    ​ 由于 θ p 1 2 p 1 2 = 1 ,    θ p 1 p 1 2 = − 1 \theta_{\frac{p_1}{2}}^{\frac{p_1}{2}} = 1,\,\,\theta_{p_1}^{\frac{p_1}{2}} = -1 θ2p12p1=1,θp12p1=1因此:
    F ( α ) = F 0 ( α ) + θ p 1 F 1 ( α ) , F ( α + ( p 1 2 , 0 , . . . , 0 ) ) = F 0 ( α ) − θ p 1 F 1 ( α ) . \begin{aligned} F(\alpha) = F_0(\alpha) + \theta_{p_1} F_1(\alpha),\\ F(\alpha + (\frac{p_1}{2},0,...,0)) = F_0(\alpha) - \theta_{p_1} F_1(\alpha).\\ \end{aligned} F(α)=F0(α)+θp1F1(α),F(α+(2p1,0,...,0))=F0(α)θp1F1(α).
    ​ 也就是说,只需要求解一半的坐标 α \alpha α上的两个小阵列 F 0 , F 1 F_0,F_1 F0,F1,那么就可以得到全部的坐标 α \alpha α上的阵列 F F F的值。

    ​ 那么原本需要对 p 1 p 2 . . . p b p_1p_2...p_b p1p2...pb α ∈ G \alpha \in G αG,计算1个关于 x ∈ G x \in G xG的含 p 1 p 2 . . . p b p_1p_2...p_b p1p2...pb个单项的和函数 F ( α ) F(\alpha) F(α),复杂度 O ( p 1 2 p 2 2 . . . p b 2 ) O(p_1^2p_2^2...p_b^2) O(p12p22...pb2)

    ​ 转换后,需要对 p 1 p 2 . . . p b 2 \dfrac{p_1p_2...p_b}{2} 2p1p2...pb α ∈ G \alpha \in G αG,计算2个关于 x ∈ G x \in G xG的含 p 1 p 2 . . . p b 2 \dfrac{p_1p_2...p_b}{2} 2p1p2...pb个单项的和函数 F 0 ( α ) ,   F 1 ( α ) F_0(\alpha),\,F_1(\alpha) F0(α),F1(α),复杂度 O ( p 1 2 p 2 2 . . . p b 2 2 ) O(\frac{p_1^2p_2^2...p_b^2}{2}) O(2p12p22...pb2)

    ​ 由于 p 1 , p 2 , . . . , p b p_1,p_2,...,p_b p1,p2,...,pb都是2的幂次,可反复运用上述方法分而治之,将阵列 f ( x ) f(x) f(x)对半分到两个子问题中,求解一半的 α \alpha α的阵列值。最终的极小子问题有 p 1 p 2 . . . p b p_1p_2...p_b p1p2...pb个,也就是关于 x ∈ G x \in G xG F 0   o r   1 ( α ) = f ( x ) θ 1 s = f ( x ) F_{0\,or\,1}(\alpha) = f(x) \theta_1^{s} = f(x) F0or1(α)=f(x)θ1s=f(x),然后相邻的子问题两两归并,得到 F ( α ) F(\alpha) F(α)的值。

    ​ 最终的复杂度为: O ( p 1 p 2 . . . p b log ⁡ p 1 log ⁡ p 2 ⋯ log ⁡ p b ) = O ( ∏ j = 1 b p j log ⁡ p j ) O(p_1p_2...p_b\log{p_1}\log{p_2} \cdots \log{p_b}) = O(\prod_{j=1}^{b} p_j \log{p_j)} O(p1p2...pblogp1logp2logpb)=O(j=1bpjlogpj)

    理解

    傅里叶变换思路:将随时间变化的周期函数f,分解到若干两两正交的函数(如:某频率的不同倍数的三角函数)上,记录它们各自的振幅。这样我们就把随时间变化的函数,变成了不随时间变化的各频率的振幅。如果函数f不是周期的,就视作它的周期为无穷大。

    例如,观察b=1时的IDFT公式, f ( x ) = 1 p ∑ α ∈ Z p F ( α ) ( θ p − α ) x f(x) = \frac{1}{p} \sum_{\alpha \in Z_p} F(\alpha) (\theta_{p}^{ - \alpha})^{x} f(x)=p1αZpF(α)(θpα)x,关于 α ∈ Z p \alpha \in Z_p αZp的p个函数 ( θ p − α ) x (\theta_{p}^{ - \alpha})^{x} (θpα)x两两正交(在一个周期上两函数的卷积为0):
    ∑ x = 0 p − 1 ( θ − α 1 ) x ( θ − α 2 ) p − x = ∑ x = 0 p − 1 θ ( α 2 − α 1 ) x = 0 ,   α 1 ≠ α 2 \sum_{x=0}^{p-1} (\theta^{-\alpha_1})^x (\theta^{-\alpha_2})^{p-x} = \sum_{x=0}^{p-1} \theta^{(\alpha_2 - \alpha_1)x} =0,\, \alpha_1 \not = \alpha_2 x=0p1(θα1)x(θα2)px=x=0p1θ(α2α1)x=0,α1=α2

    在离散傅里叶变换中,将时域函数 f : G → C f:G \rightarrow C f:GC 和频域函数 F : G → C F:G \rightarrow C F:GC 都看做b维数组,将 x , α x,\alpha x,α 看做坐标点。那么DFTIDFT就只是两个b维数组之间的双射。

    应用

    • 图像处理:二维图像,设置b=2,用于滤波:可以很方便的找到高频分量(包含图像精细结构的信息)和低频分量(只包含平缓结构信息,但占据绝大多数能量);另外,可以对复数计算""(包含灰度信息)和"相角"(包含形状信息)

    • 波形分析:可以从频谱图中清晰地看到波形特征。比如,声纹识别

    • 多项式计算:将多项式乘法(其实就是卷积)复杂度降低到 O ( n ) O(n) O(n),利用FFT变换的复杂度是 O ( n l o g   n ) O(n log\,n) O(nlogn)

    将两个n-1度多项式 g ( x ) , h ( x ) g(x),h(x) g(x),h(x) 的系数取出来,视作一维数组 v g , v h ∈ C n v_g, v_h \in C^n vg,vhCn ,分别做DFT得到n长的一维数组 V g , V h ∈ C n V_g, V_h \in C^n Vg,VhCn

    假如多项式系数不属于 C C C 而是属于有限域 G F ( q ) GF(q) GF(q),将系数取出来视作一维数组 v g , v h ∈ G F ( q ) n v_g, v_h \in GF(q)^n vg,vhGF(q)n 。 假如 ∃ m ,   n ∣ q m − 1 \exist m,\, n | q^m-1 m,nqm1,取 o r d ( θ ) = n ord(\theta)=n ord(θ)=n 的单位根 θ ∈ G F ( q m ) \theta \in GF(q^m) θGF(qm)。分别做DFT得到n长的一维数组 V g , V h ∈ G F ( q m ) n V_g, V_h \in GF(q^m)^n Vg,VhGF(qm)n

    容易发现,计算乘积 V a [ j ] = V g [ j ] ⋅ V h [ j ] V_a[j] = V_g[j] \cdot V_h[j] Va[j]=Vg[j]Vh[j],做IDFT后得到以数组 v a v_a va为系数的多项式 a ( x ) a(x) a(x);由于 v a v_a va等于循环卷积 v g ∗ v h v_g * v_h vgvh,因此: a ( x ) = g ( x ) h ( x )    m o d    x n − 1 a(x) = g(x) h(x) \,\,mod\,\, x^{n}-1 a(x)=g(x)h(x)modxn1。如果想在 C [ x ] C[x] C[x] 或者 G F ( q ) [ x ] GF(q)[x] GF(q)[x] 上计算 g ( x ) h ( x ) g(x)h(x) g(x)h(x),只需要略作修改使得 d e g ( g ) + d e g ( h ) ≤ n − 1 deg(g) + deg(h) \le n-1 deg(g)+deg(h)n1 即可。

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空空如也

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