• 78-预测分析－Ｒ语言实现-岭回归与LASSO回归
2021-02-11 08:57:21

> library(pacman)

以上一节中未去除离群值的MSE为3619.029，修正R2为0.8603和去除离群值后的MSE为2690.545,修正R2为0.8706为基准，以及两个模型在测试集上的MSE分别为2914.014和1672.859，对模型进行改进。

> results

+ "original", 3619.029, 0.8603, 2914.014,

+ "remove_out", 2690.545, 0.8706, 1672.859)

> results

## # A tibble: 2 x 4

## model mse r_square test_mse

##

## 1 original 3619. 0.860 2914.

## 2 remove_out 2691. 0.871 1673.

1、数据预处理

> machine

> names(machine)

+ "cach", "chmin", "chmax", "prp", "erp")

> machine

>

> set.seed(123)

> ind

>

> dtrain

> dtest

2、缩减特征集

> ct

> set.seed(123)

> fit.step

+ trControl = ct, preProcess = c("corr"), trace = F)

>

> summary(fit.step$finalModel) ## ## Call: ## lm(formula = .outcome ~ myct + mmin + mmax + cach + chmax, data = dat) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -163.94 -29.68 3.25 28.52 355.05 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) -6.024e+01 8.909e+00 -6.762 2.01e-10 *** ## myct 5.550e-02 1.998e-02 2.777 0.006084 ** ## mmin 1.476e-02 2.006e-03 7.358 7.20e-12 *** ## mmax 5.725e-03 6.919e-04 8.275 3.33e-14 *** ## cach 5.693e-01 1.443e-01 3.944 0.000116 *** ## chmax 1.683e+00 2.301e-01 7.313 9.33e-12 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 61.33 on 173 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.8644, Adjusted R-squared: 0.8605 ## F-statistic: 220.6 on 5 and 173 DF, p-value: < 2.2e-16 > compute_mse + mean((prediction - actual) ^ 2) + } > > compute_mse(fit.step$finalModel$fitted.values, dtrain$prp)

## [1] 3634.847

> compute_mse(predict(fit.step, newdata = dtest), dtest$prp) ## [1] 2785.94 使用逐步回归模型的结果为： > results + tibble(model = "step", + mse = 3634.847, + r_square = 0.8605, + test_mse = 2785.94)) > results ## # A tibble: 3 x 4 ## model mse r_square test_mse ## ## 1 original 3619. 0.860 2914. ## 2 remove_out 2691. 0.871 1673. ## 3 step 3635. 0.860 2786. 去掉离群值后，再次逐步回归： > dtrain.new > set.seed(123) > fit.step.out + trControl = ct, preProcess = c("corr"), trace = F) > > summary(fit.step.out$finalModel)

##

## Call:

## lm(formula = .outcome ~ myct + mmin + mmax + cach + chmax, data = dat)

##

## Residuals:

## Min 1Q Median 3Q Max

## -168.560 -23.668 2.268 21.691 271.120

##

## Coefficients:

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

## (Intercept) -4.474e+01 7.930e+00 -5.643 6.78e-08 ***

## myct 4.193e-02 1.731e-02 2.422 0.0165 *

## mmin 1.697e-02 1.752e-03 9.690 < 2e-16 ***

## mmax 4.629e-03 6.125e-04 7.557 2.35e-12 ***

## cach 5.968e-01 1.244e-01 4.797 3.48e-06 ***

## chmax 1.168e+00 2.090e-01 5.588 8.84e-08 ***

## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

##

## Residual standard error: 52.85 on 172 degrees of freedom

## Multiple R-squared: 0.8702, Adjusted R-squared: 0.8664

## F-statistic: 230.6 on 5 and 172 DF, p-value: < 2.2e-16

> compute_mse(fit.step.out$finalModel$fitted.values, dtrain.new$prp) ## [1] 2698.78 > compute_mse(predict(fit.step.out, newdata = dtest), dtest$prp)

## [1] 1812.763

> results

+ tibble(model = "step_out",

+ mse = 2698.78,

+ r_square = 0.8664,

+ test_mse = 1812.763))

> results

## # A tibble: 4 x 4

## model mse r_square test_mse

##

## 1 original 3619. 0.860 2914.

## 2 remove_out 2691. 0.871 1673.

## 3 step 3635. 0.860 2786.

## 4 step_out 2699. 0.866 1813.

删减特征后，模型在训练集上的mse都增大了，但在测试集上的mse却减小了。去除离群值后，mse都有所增大。

3、正则化

岭回归和lasso都值得尝试，当依赖于输入特征的某个子集的模型时往往用lasso表现更好；但当很多不同变量的系数具有较大分散度的模型则往往在岭回归下有更好的表现。

3.1 岭回归

但数据集维度很高时，尤其是和能获得的观测数据的数量相比很大时，线性回归往往会表现出非常高的方差。

岭回归是一种通过其约束条件引入偏误但能有效地减小模型方差的方法。

> set.seed(123)

> fit.ridge

+ trControl = ct, preProcess = c("corr"))

>

> fit.ridge$bestTune ## lambda ## 3 0.1 > fit.ridge$results$Rsquared[3] ## [1] 0.8058767 > compute_mse(predict(fit.ridge, newdata = dtrain), dtrain$prp)

## [1] 3730.474

> compute_mse(predict(fit.ridge, newdata = dtest), dtest$prp) ## [1] 2958.191 > results + tibble(model = "ridge", + mse = 3730.474, + r_square = 0.8059, + test_mse = 2958.191)) > results ## # A tibble: 5 x 4 ## model mse r_square test_mse ## ## 1 original 3619. 0.860 2914. ## 2 remove_out 2691. 0.871 1673. ## 3 step 3635. 0.860 2786. ## 4 step_out 2699. 0.866 1813. ## 5 ridge 3730. 0.806 2958. 3.2 lasso回归 lasso是岭回归的一种替代正则化方法。它们之间的差别体现在惩罚项里，岭回归是将有效的将系数压缩到更小的值，而lasso最小化的是系数的绝对值之和，由于lasso会把某些系数完全收缩到0，所以它兼具了选择和收缩的功能，这个是岭回归是不具备的。 在模型中，当alpha参数取值为0时是岭回归，alpha取值为1时是lasso。 > set.seed(123) > fit.lasso + trControl = ct, preProcess = c("corr")) > > fit.lasso$bestTune

## fraction

## 3 0.9

> fit.lasso$results$Rsquared[3]

## [1] 0.7996164

> compute_mse(predict(fit.lasso, newdata = dtrain), dtrain$prp) ## [1] 3664.031 > compute_mse(predict(fit.lasso, newdata = dtest), dtest$prp)

## [1] 2628.372

最终选择的是alpha=0,即岭回归模型。

> results

+ tibble(model = "lasso",

+ mse = 3664.031,

+ r_square = 0.7996,

+ test_mse = 2628.372))

> results

## # A tibble: 6 x 4

## model mse r_square test_mse

##

## 1 original 3619. 0.860 2914.

## 2 remove_out 2691. 0.871 1673.

## 3 step 3635. 0.860 2786.

## 4 step_out 2699. 0.866 1813.

## 5 ridge 3730. 0.806 2958.

## 6 lasso 3664. 0.800 2628.

综合对比，数据在去除离群值的线性回归模型上性能最优。

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• 应用岭回归的场景有很多。 本文介绍的是 在应用多元线性回归时 遇到多重共线性问题，且无法删除变量或者增加样本量的情况下，应用岭回归的情况。

应用岭回归的场景有很多。
本文介绍的是 在应用多元线性回归时 遇到多重共线性问题，且无法删除变量或者增加样本量的情况下，应用岭回归的情况。

• 案例：互联网经济对中国经济增长影响
• 基础模型：C-D生产函数：Y=A*L^α *K^β
• 应用模型：岭回归
• 使用工具：r语言
• 使用程序包：‘MASS’、‘xlsx’、‘car’
• 准备数据：Y：国民生产总值、K：固定资产投资；L:年期末就业人数；A：互联网综合发展水平
• 数据处理：为了模型的稳定性与计算的简易性，分别对两端取对数，变成线性关系，得到最终模型：lnY=γlnA+αlnL+βlnk
• 变量解释与结果推测：综合考虑互联网经济的指标体系和数据的可得性，采用因子分析的方法估计综合技术水平A（详情可点击）。γ、α、β表示互联网经济产出弹性系数、劳动力弹性和资本弹性系数，本文推测，生产弹性系数会符合以下估计：
（1）α+β+γ>1，表示最终经济规模呈递增趋势；
（2）α<1、β<1，表示边际收益递减的规律性，γ>1，表示互联网经济的边际收益递增性，符合互联网经济的特征。

## 对数线性化与多重共线性判别

#加载程序包与数据
library(MASS)
library(xlsx)
library(car)
dataY <-(y,a,l,k)
#得到相关系数矩阵：变量之间呈同向变动的关系，符合经济发展的规律


#数据对数化
ly <- log(y)
la <- log(a)
ll <- log(l)
lk <- log(k)
dY <-data.frame(ly,la,ll,lk)
#做最小二乘回归
fit <- lm(gdp~a+l+k,data=dataY)
fit
summary(fit)


## 用最小二乘法建立计量模型，由（表6）看到，虽然模型的拟合优度足够高，F值也很大，整体拟合效果好，但是模型系数检验不显著。显而易见考虑模型的多重共线性问题

• 多重共线性是指在除了因变量与自变量的关系外，在解释变量之间也存在线性相关关系的一种形式。多重共线性导致gdp与互联网综合发展水平、劳动和资本之间的关系不显著。
#应用vif值的开方来判断是否存在多重共线性
library(car)
vif(fit)
sqrt(vif(fit))>2
#vif值开方远大于2，存在多重共线性。

• 岭回归是一种有偏估计，虽然对数据的无偏估计不准确，但是可以更准确的得到α，β，γ之间的系数关系。
#首先用岭迹图判断k值区间并使用GCV值来进行岭回归估计
plot(lm.ridge(dY[,1]~dY[,2]+dY[,3]+dY[,4],data = dY,lambda = seq(0,0.5,0.001)))
#确定k至的估计区间在0-0.5间


#确定k值并选择GCV值=0.127.做岭回归。
select(lm.ridge(dY[,1]~dY[,2]+dY[,3]+dY[,4],data = dY,lambda = seq(0,0.5,0.001)))
ridge1 <- lm.ridge(dY[,1]~dY[,2]+dY[,3]+dY[,4],data = dY,lambda =0.127)
ridge1 <- lm.ridge(gdp~a+l+k,data = dY,lambda =0.127)
ridge1


## 结果分析

从系数符号看，符合我们前面对本模型的系数估计。即弹性系数之和大于1，互联网技术弹性系数大于1，劳动力弹性系数和资本弹性系数小于1。从整体来看，α+β+γ大于1，表明了边际产量递增的趋势，符合当前经济发展的现状，当国家投入劳动力和资本和技术时，经济发展水平总量增加。
（分别具体的每个系数分析在这里不做过多讲述）
本文结论为：我国正处于技术推动经济发展的新时代，应以互联网技术为核心，结合信息与知识，对我国经济发展做出贡献。

## 总结

本文以具体案例为例子，讲解了岭回归模型的r语言实现过程，并对案例进行一定程度的分析。希望可以对大家有帮助。

在本文中对互联网综合发展指数的因子分析求解可以看该连接：
http://t.csdn.cn/q3q9O

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• 岭回归技术的原理和应用作者马文敏岭回归分析是一种专用于共线性分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息，降低精度为代价获得回归系数更为符合实际...

岭回归技术的原理和应用

作者马文敏

岭回归分析是一种专用于共线性分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息，降低精度为代价获得回归系数更为符合实际，更可靠的回归方法，对病态数据的耐受性远远强于最小二乘法。

回归分析：他是确立两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析法。运用十分广泛，回归分析按照设计量的多少，分为一元回归和多元回归分析，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析，按照自变量和因变量的多少类型可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和因变量，且两者关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或俩个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多重性回归分析

岭回归的原理：岭回归的原理较为复杂。根据高斯马尔科夫定理，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性，但是，虽然最小二乘法估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定最小。而实际上可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微笑的偏差，但他的精度却能够大大高于无偏的估计量。岭回归分析就是依据这个原理，通过在正规方程中引入有偏常数而求得回归估计量的，具体情况可以查阅资料。

对于有些矩阵，矩阵中某个元素的一个很小变动，会引起最后计算结果误差很大，这种矩阵称为病态矩阵。有些时候不正确的计算方法也会使一个正常的矩阵在运算中表现出病态。对于高斯消去法来说，如果主元上的元素很小，在计算时就会表现出病态的特征。

岭回归方程的平方值会稍低于普通回归分析，但回归技术的显著性往往明显高于普通回归，在存在共线性的问题和病态数据偏多的研究中有较大的利用价值

岭回归的应用：在家禽育植的应用：讨论了岭回归方法应用于混合线性模式方程组中估计家禽育植方法，其实质是将传统的混合线性模型方程组理解为一种广义岭回归估计，为确定遗传参数的估计提供一种途径，同时，以番鸭为例，考虑了一个性状和两个固定效应，采用广义岭回归对公番鸭育植进行了估计，并与最佳线性无偏预测法进行了比较，结果表明，广义岭回归方法和BLUP法估计的育种植及其排序极其相似，其相关系数和秩 相关系数分别达到了0.998和0.986，且采用广义岭回归法预测的误差率极低，表明在混合线性模型方程组中使用广义岭回归估计动物育植方法具有可行性，并可省去估计遗传参数的过程，使BLUP法在动物选育中的应用更具有实用性。

正向和反向相结合的卫星摄影数据模拟：卫星摄影数据仿真，通常采用正向模拟和反向模拟两种方法。正向模拟方法简单易行，无需替代计算，但地面点坐标在Y方向存在较大的差异，反向模拟可规避Y方向存在的差异问题，但必须基于已有的DEM数据，且DEM数据范围要与外方位元素范围基本一致，模拟数据受数据源条件制约。

参考文件

百度-----人大经济论坛

百度------道客巴巴

火狐浏览器

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• ## R语言—岭回归实现函数

万次阅读 多人点赞 2019-03-22 09:00:41
1.利用GCV（广义交叉验证）实现最优岭回归参数选择 #根据GCV方法，获取最佳岭参数k #x:自变量的数据矩阵 #y：响应变量向量或矩阵 #kmax:岭参数的最大值 #qnum：根据0~kmax分成qnum等分 #intT:是否计算矩阵 ...

## 1.利用GCV（广义交叉验证）实现最优岭回归参数选择

#根据GCV方法，获取最佳岭参数k
#x:自变量的数据矩阵
#y：响应变量向量或矩阵
#kmax:岭参数的最大值
#qnum：根据0~kmax分成qnum等分
#intT:是否计算矩阵
getBestK <-function(X,Y,kMax=1,qnum=10,intT=TRUE){
if(intT)
X <-cbind(t0=1,X)
kvals=c(0,(1:qnum)*(kMax/qnum))
n=nrow(X)
glist <-NULL
for (k in kvals) {
mk=X%*%solve(t(X)%*%X+k*diag(ncol(X)))%*%t(X)
yk=mk%*%Y
Xs<-svd(X)
d <-Xs$d dx <-length(d) div <-d^2 +rep(k,rep(dx,1)) GCV <-sum((Y-yk)^2)/(n-sum(matrix(d^2/div,dx)))^2 glist <-c(glist,GCV)} return(list(k=kvals[which.min(glist)],gval=min(glist),glist=glist)) }  引用getBestK函数，实现最优岭回归参数k的选择 library(MASS) x=as.matrix(data[,1:3]) y=data[,4] m0=getBestK(x,t(t(y)),kMax = 1,qnum = 2000) m0$k


结果如下：

## 2.实现岭回归分析的函数

在进行岭回归时，发现可以使用两个函数，lm.Ridge及linearRidge，都可以实现。

首先读入数据：

data <-read.csv("D:\\sample\\sample_2.csv",header=T)


（1）lm.Ridge（）函数
实现的代码分别如下：

Library(MASS)
lr<-lm.ridge(N ~ SHDI + MIDU + LSI + CONTAG,data=data5,lambda = 0.0085,model = TRUE) #把lambda设置为0.0085，是通过下面的代码求得的最佳岭回归参数，但获取岭回归参数的方法较多，同时也会造成结果不同，如果lambda不进行设置，会默认为0
lr #显示模型的参数系数，不能显示R^2等误差的情况，也不能使用summary()函数


结果：

对于k值得选择除了，最上面的getBestK函数外，还可以通过岭迹曲线得到，但是在k值选择时，受人为主观意识影响大，获取lm.ridge函数得到的模型对应的岭迹曲线，代码如下：

library(MASS)
ridge.sol <- lm.ridge(N ~ SHDI + MIDU + LSI + CONTAG, lambda = seq(0,1, length = 2000), data = data5, model = TRUE) #landad为使用seq函数把0-1范围均等分割为2000分，得到不同的lambda


matplot(x=ridge.sol$lambda, y=t(ridge.sol$coef), xlab = expression(lamdba), ylab= "Cofficients", type = "l", lty = 1:20) # lty = 1:20可加可不加，设置线的形状.
#作出lambdaGCV取最小值时的那条竖直线
abline(v = ridge.sol$lambda[which.min(ridge.sol$GCV)])


结果：

下面的语句绘出lambda同GCV之间关系的图形：

plot(ridge.sol$lambda, ridge.sol$GCV, type = "l", xlab = expression(lambda), ylab = expression(beta))
abline(v = ridge.sol$lambda[which.min(ridge.sol$GCV)]) #语句ridge.sol$coef[which.min(ridge.sol$GCV)]  为找到GCV最小时对应的系数


结果：

（2）linearRidge（）函数

library(ridge)
mod <- linearRidge(N ~ SHDI + MIDU+LSI+CONTAG,lambda = 0.3,data = data5)
summary(mod) #可以查看判断结果，lm.Ridge使用该函数只能得带自变量系数；


结果如下：

plot(mod <- linearRidge(N ~ SHDI + MIDU+LSI+CONTAG, data = data5)) #没有设置lambad，默认


结果：

plot(mod <- linearRidge(N ~ SHDI + MIDU+LSI+CONTAG,lambda = seq(0,1,length=2000), data = data5))


结果：

plot(mod <- linearRidge(N ~ SHDI + MIDU+LSI+CONTAG,lambda = 0.028, data = data5))


结果：

## 总结：

注：
data为自己的数据集，getBestK函数代码，引用自《线性回归及其优化》。

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