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  • 二阶常系数微分方程的通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
    二阶常系数微分方程的通解 (一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成: 其对应二阶常系数微分方程的通解 + 二阶常系数微分方程的特解 (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解 形如:y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy&...

    二阶常系数微分方程的通解

    (一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成:

          其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解
    

    (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

    1. 形如:y+py+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

      Pm(x)m( P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。)

      y=Q(X)eαx构造:y*=Q_{(X)}e^{\alpha x}

              y=Q(X)eαx+αQ(X)eαx\Rightarrow y*'=Q_{(X)}'e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x},

                    y=Q(X)eαx+2αQ(X)eαx+α2Q(X)eαxy*''= Q_{(X)}''e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}'e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x}

                      y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}:

                      eαx[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx\Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x}

                          即,[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}

              讨论:
              (1) αr2+pr+q=0\alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解
             Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)=0由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (2)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根
             Q(X)+(2α+p)Q(X)=0由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}'=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (3)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根
             Q(X)=0由Q_{(X)}''=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}''=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解

    解题步骤:

    1.) 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
    2.) 遇到形式为 y+py+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程, 构造y=Q(X)eαxy*=Q_{(X)}e^{\alpha x}
    3.) y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简
    4.) 判断 α\alpha 是否为特征方程的根?单根?重根?
    5. )根据 α\alpha 确定所构造的多项式次数并求解。

    1. 形如:y+py+qy=[Pm(x)cosy''+py'+qy =[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

    【欧拉公式: eβxie^{\beta xi}=cosβ+isinβ\beta+isin\betaxx

              eβxie^{\beta xi}=cosβx+isinβ\beta x+isin\betaxx
              eβxie^{-\beta xi}=cosβxisinβx\beta x-isin\beta x

    \Rightarrow cosβ\beta x= eβxi+eβxi2\frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2}
          sin β\beta x= eβxieβxi2i\frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i}

    \therefore [Pm(x)cos[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x}
       
      =[Pm(x)2+Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      =[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      = Ps(x)e(α+βi)xP_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x} + Ps(x)\overline{P_{s(x)} }e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}                    (s=maxm,n)(其中s=max{m,n})

    Ps(x),Ps(x)P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} } 为共轭复多项式。】

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  • 一类二阶常系数微分方程的特解.pdf一类二阶常系数微分方程的特解.pdf一类二阶常系数微分方程的特解.pdf一类二阶常系数微分方程的特解.pdf
  • 1、二阶常系数齐次线性微分方程 2、二阶常系数非齐次线性微分方程

    1、二阶常系数齐次线性微分方程

     

    2、二阶常系数非齐次线性微分方程

     

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  • (建议阅读原文)预备知识 二阶常系数齐次微分方程结论 在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数 , 就得到了二阶常系数非齐次微分方程 这就是二阶常系数非齐次微分方程.其解为 其中 可以写成二阶行列式 其中 ...

    (建议阅读原文)

    预备知识 二阶常系数齐次微分方程结论
       在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数

    , 就得到了二阶常系数非齐次微分方程

    这就是二阶常系数非齐次微分方程.其解为

    其中
    可以写成二阶行列式

    其中
    都是
    的函数,后面的括号和自变量被省略.
    是对应齐次方程

    的两个线性无关的解. 应用推导
       下面介绍的方法叫常数变易法,其主要思想可参考一阶线性非齐次微分方程的通解
       设通解的形式为

    其中,
    也是关于
    的函数. 对该式两边求导,得

    为了接下来计算方便,我们规定
    满足关系1

    把式 7 代入式 6 , 得到

    继续对求导,得到

    把式 5 式 8 式 9 代回原方程式 1 得

    化简,得

    由于
    都是式 4 的解,式(9)化为

    总结一下,刚刚的推导说明,和在(5)的假设条件下,只要满足(10)即可满足(1)式.联立(5)和(10)式,得到关于
    的方程组

    解得

    其中

    对(13)的两条式子积分,即可得到

    (15)(16)代入(5)式,得到方程(1)的解为

    由于上式满足线性微分方程解的结构,所这已经是通解了.但是必须注意,根据常数变易法,我们只能在没有零点的区间内找到方程式 1 的通解.

    1. 这么规定会不会丢失一部分解呢?或许会,但是由于我们已经有了式 1 对应的齐次解

    , 根据线性微分方程解的结构(见同济大学的《高等数学》),只需要找到式 1 的任意一个解,就可以找到它的通解.
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  • 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。 自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性...

    前言这一部分,我觉得应该是专接本里最难的吧,在学校上高数课的时候就听高数老师说这一部分特别难,对于应付期末考试而言就不讲了,感兴趣的自己研究。到了第一次上专接本课程,老师说第一遍听不打算给你们讲,等你们听两三遍之后我再给你们细讲,事实证明老师说的是对的,到了真正开始讲的时候,一头雾水,这都什么鬼啊???什么λ,p,q,k,y*,还分三种情况,计算过程还那么长,学个毛线。在相当长的一段时间内只会了第一种情况,到了大三没办法再不学就晚了,然后才慢慢会的,结果今年考试,貌似就出了一个填空题。

    我也不知道考研这一部分是不是重点,只想说,会了就不怕它出,为什么花大段文字说它难,是真难,建议找个大的时间空挡期,来慢慢啃这块“硬骨头”。

    我想花两次或者三次把这一题型讲完,一下子灌输接受不了且效果不好,况且我这书上做了很多笔记,万一哪天这本专接本书丢了岂不是很可惜,废话少说,直接上题。

    正文:

    什么是二阶常系数线性微分方程?

    二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。

    自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的。

    特征方程为:r²+pr+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解。

    什么是特征方程?

    特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式,它因数学对象不同而不同,包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。

    例如y''+3y'+2y=0的特征方程就是r²+3r+2=0

    齐次线性微分方程的通解分哪几种情况?

    459134e4815210ae6a32d1b428fb6e82.png

    可利用求根公式来解特征根,步骤如下

    1.化方程为一般式:

     4d667a8b048eb4187c395d1130d1749b.png

    2.确定判别式,计算Δ(希腊字母,音译为戴尔塔)。

     a02f94b6498f88a5efcbc7027c455fe8.png ;

    3.若Δ>0,该方程在实数域内有两个不相等的实数根:;

        851c84ead3fc7b452b213e35e7d72d3d.png

       若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:

       507cebd1a9427eb203232dee7afe9eb5.png ;

      若Δ<0,该方程在实数域内无解,但在虚数域内有两个共轭复根,为

       f4d0357af621099523922a539378bd2c.png 。

    接下来每个情况举个例子供大家参考

    例题1:(对应情况1)

    求微分方程y"-3y'+2y=0的通解.

    解:y"-3y'+2y=0,特征方程为 r2-3r+2=0,(r-1)(r-2)=0.特征根为 r1=1,r2=2.方程的通解为 y=C1ex+C2e2x

    例题2:(对应情况2)

    微分方程y″+6y′+9y=0的通解y=______.

    解:λ2+6λ+9=0,求解可得,λ1,2=-3,
    从而方程的两个线性无关的解为:
    e-3x,xe-3x
    由二阶齐次线性微分方程解的结构定理可得,

    所求方程的通解为:
    y=C1e-3x+C2xe-3x
    故答案为:
    C1e-3x+C2xe-3x

    例题3:(对应情况3)

    r²+r+1=0,

    b²-4ac<0

    r=-1/2±√3i/2,
    有一对共轭复根,

    实部α=-1/2,虚部β=±√3/2

    ∴ 微分方程通解为:
    y=e^(-x/2)[C
    1cos( √3x/2)+C2sin(√3x/2)].

    明天的内容才是重头戏,非齐次方程特解的求法(待定系数法),计算过程会相当的长,希望大家一定不要错过。

    Last but not least:

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二阶常系数微分方程