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  • 第八讲卷积码详解.ppt
    2021-01-14 14:40:37

    主要内容 卷积码 卷积码与分组码的区别与联系 卷积码的表示 卷积码的性质 维特比译码原理 基于网格图的维特比译码 卷积码的概念 为什么要引入卷积码 回顾分组码 把k位信息比特的序列编成n个比特的码组,每个码组的(n-k)位校验码仅与本码组的k位信息有关,而与其他码组无关 回顾香农信道编码定理 在信道容量与发送信息速率一定的条件下,增加码长,可以使错误概率指数下降 由此引起的问题 线性分组码增加码长,必然导致编解码的延时加大,复杂度也随之增大,如何解决这一矛盾? 卷积码的概念 卷积码 将k位信息编成n个比特,但此n个比特不但与当前位的k个信息有关,而且与前面(N-1)组的信息有关。编码中相互关联的码元为N*n位 卷积码的纠错能力随着N的增加而增大,而差错率随着N的增加而成指数下降 卷积码的表示 卷积码的参数——(n,k,N) N:约束长度,移位寄存器的级数(每级有k个) k:信息码位的数目,是卷积码编码器的每级输入的比特数目 n:k位信息码对应编码后的输出的比特数,它与Nk个输入比特相关 码率 卷积码的表示 最直观的描述 编码器框图 缺点:无法进行任何数学讨论,无法给出解码方案 更有用的描述 树状图表示:遍历可能性,用于分析最小距离 网格图表示:用于Viterbi解码 状态图与生成函数:用于分析自由距 半无限矩阵表示:用于类比分组码 卷积码的表示 树状图 基本思想 利用树的结构表征移位过程中产生的各种序列 例子——(2,1,3)卷积码 卷积码的表示 树状图 第一步:假设寄存器中初始状态为全0,给出树的根节点 卷积码的表示 树状图 第二步:根据输入的各种变化,画出树的第一层 输入的比特数为k,共有 种变化 每一种变化对应树的一个分叉,共有 个分叉 每输入k个比特,对应n个输入,每一分叉上标上输出的序列,分叉的端点为新的状态 分支的排列顺序相同,如上分支为输入0,下分支为输入1 卷积码的表示 树状图 第三步:按照第二步的方法,继续画出树的第二层、第三层… 卷积码的表示 树状图 第三步:继续 卷积码的表示 树状图 第四步:还要再继续吗? 状态是有限的 (n,k,N)卷积码的状态数 (2,1,3)卷积码的状态数4 只要状态及其分支都出现了,则后边的都是重复,没有必要再继续了 (2,1,3)卷积码共有4个状态,树状图第二层即出现了所有状态,因此画到树状图的第三层就可以了,此后即是重复 卷积码的表示 树状图 由树状图求卷积码的最小距 卷积码也是线性码,卷积具有线性性质 类似于分组码,卷积码的最小码距也定义为非零码字的最小码重 卷积码中的码字: 卷积码没有分组的概念 约束长度隐含某种独立性,即可以考虑kN个信息比特编码后输出的码序列,即nN个编码输出序列 非零码字,离开全零状态,经过约束长度个输入后的一串编码输出 卷积码的表示 树状图 由树状图求卷积码的最小距 (2,1,3)卷积码求最小距 因为要离开全零状态,树状图的上半部不用考虑 约束长度为3,只考虑 三级即可 卷积码的表示 状态图 从树状图到状态图 对树状图进行精简,去掉冗余的部分(树状图中重复的部分) 状态图 节点是编码器的状态 边表示状态的转移 边上标注对应该转移的输出 卷积码的表示 状态图 (2,1,3)的例子 卷积码的表示 状态图 由状态图计算自由距 自由距:无限长编码后序列之间的最小汉明距离(卷积码不分组,自由距作为卷积码纠错性能的度量更合理) 自由距不小于最小距 自由距的求解 全零是一个无限长的编码后序列,因此编码后的非零序列应包含尽可能多的零,从而保证与全零序列之间具有最小的汉明距 从全零出发,经历非零状态,又重新回到全零过程中输出的1的最少的个数即为自由距 卷积码的表示 状态图 由状态图计算自由距 (2,1,3)卷积码为例 状态图变形:从a出发重新回到a的所有路径 卷积码的表示 状态图 由状态图计算自由距 状态图和码距、转移次数等关联起来 定义转移的增益为 ,其中 表示输出序列的汉明重量, 表示输入序列的汉明重量,L为转移的支路数目 卷积码的表示 状态图 由状态图计算自由距 根据梅森公式计算从a到a的转移函数 卷积码的表示 网格图 由树状图到网格图 树状图中的状态用分行的点表示,每一层树状图中相同状态的节点合并到网格图中的每列相同的点 树状图的每一层对应网格图中的每一级 树状图中的分支对应网格图中的连线(每一分支代表一种输入,分支的排列按照相同的规则(例如(2,1,3)中上分支代表0输入,下分支代表1输入) 卷积码的表示 网格图 网格图与状态图的对应 状态图对应网格图中稳态中的一节 卷积码的表示 网格图 网格图可以表征编码过程 根据输入的码序列确定了一条路径,这条路径上的所有输出连

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    本文主要是关于卷积码的相关介绍,依据卷积码就它的状态图的画法展开了介绍,并着重阐述了卷积编码器状态图画法。

    卷积码

    卷积码,将k个信息比特编成n个比特,但k和n通常很小,特别适合以串行形式进行传输,时延小。与分组码不同,卷积码编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关,还与前面的N-1段信息有关,编码过程中互相关联的码元个数为nN。卷积码的纠错性能随N的增加而增大,而差错率随N的增加而指数下降。在编码器复杂性相同的情况下,卷积码的性能优于分组码。

    卷积码是1955年由Elias等人提出的,是一种非常有前途的编码方法。我们在一些资料上可以找到关于分组码的一些介绍,分组码的实现是将编码信息分组单独进行编码,因此无论是在编码还是译码的过程中不同码组之间的码元无关。卷积码和分组码的根本区别在于,它不是把信息序列分组后再进行单独编码,而是由连续输入的信息序列得到连续输出的已编码序列。即进行分组编码时,其本组中的n-k个校验元仅与本组的k个信息元有关,而与其它各组信息无关;但在卷积码中,其编码器将k个信息码元编为n个码元时,这n个码元不仅与当前段的k个信息有关,而且与前面的(m-1)段信息有关(m为编码的约束长度)。

    同样,在卷积码译码过程中,不仅从此时刻收到的码组中提取译码信息,而且还要利用以前或以后各时刻收到的码组中提取有关信息。而且卷积码的纠错能力随约束长度的增加而增强,差错率则随着约束长度增加而呈指数下降 。卷积码(n,k,m) 主要用来纠随机错误,它的码元与前后码元有一定的约束关系,编码复杂度可用编码约束长度m*n来表示。

    一般地,最小距离d表明了卷积码在连续m段以内的距离特性,该码可以在m个连续码流内纠正(d-1)/2个错误。卷积码的纠错能力不仅与约束长度有关,还与采用的译码方式有关。总之,由于n,k较小,且利用了各组之间的相关性,在同样的码率和设备的复杂性条件下,无论理论上还是实践上都证明:卷积码的性能至少不比分组码差。

    编码原理

    以二元码为例,编码器如图。输入信息序列为u=(u0,u1,…),其多项式表示为u(x)=u0+u1x+…+ulxl+…。编码器的连接可用多项式表示为g(1,1)(x)=1+x+x2和g(1,2)(x)=1+x2,称为码的子生成多项式。它们的系数矢量g(1,1)=(111)和g(1,2)=(101)称作码的子生成元。以子生成多项式为阵元构成的多项式矩阵G(x)=[g(1,1)(x),g(1,2)(x)],称为码的生成多项式矩阵。由生成元构成的半无限矩阵

    称为码的生成矩阵。其中(11,10,11)是由g(1,1)和g(1,2)交叉连接构成。编码器输出序列为c=u·G,称为码序列,其多项式表示为c(x),它可看作是两个子码序列c(1)(x)和c(2)(x)经过合路开关S合成的,其中c(1)(x)=u(x)g(1,1)(x)和c(2)(x)=u(x)g(1,2)(x),它们分别是信息序列和相应子生成元的卷积,卷积码由此得名。

    在一般情况下,输入信息序列经过一个时分开关被分成k0个子序列,分别以u

    (x)表示,其中i=1,2,…k0,即u(x)=[u

    (x),…,u

    (x)]。编码器的结构由k0×n0阶生成多项式矩阵给定。输出码序列由n0个子序列组成,即c(x)=[c

    (x),c

    (x),…,c

    (x)],且c(x)=u(x)·G(x)。若m是所有子生成多项式g

    (x)中最高次式的次数,称这种码为(n0,k0,m)卷积码。

    卷积码状态图怎么画

    将编码器寄存器中的内容组合(x(n-1)、x(n-2))定义为编码器状态。如仍以前面所举的例子(2,1,2)为例,则该编码器的状态有四种:00,10,01和11,下面分别用a,b,c,d来代替。编码器在每一个时钟沿打入一个输入信息x(n),因此图示寄存器组合内容就变为(x(n),x(n-1))即状态发生了转移,并同时输出G0(n)、G1(n)。由此我们可以将图所示编码过程用右图所示的状态图表示。

    由图所示,随着信息序列不断输入,编码器就不断从一个状态转移到另一个状态并同时输出相应的码序列,所以图3所示状态图可以简单直观的描述编码器的编码过程。因此通过状态图很容易给出输入信息序列的编码结果,假定输入序列为110100,首先从零状态开始即图示a状态,由于输入信息为“1”,所以下一状态为b并输出“11”,继续输入信息“1”,由图知下一状态为d、输出“01”……其它输入信息依次类推,按照状态转移路径a->b->d->c->b->c->a输出其对应的编码结果“110101001011”。

    卷积码的其它表示方法

    1. 多项式法

    多项式法就是由卷积码的生成多项式直接得出其编码器的结构图。如前面例子中的(2,1,2)卷积码的生成多项式矩阵为:G(D)=[1 D D2,1 D2]

    其中,D是延迟算子,生成多项式的第一项为1 D D2,表示输出编码的第一个码元等于输入码元x(n)与前两个时刻输入的码元x(n-1)、x(n-2)的模2和,同理第二项类似。

    2. 网格图

    状态图可以完整的描述编码器的工作过程,但是其只能显示状态转移的过程而不能显示状态转移发生的时刻,由此引出用来表示卷积码的另一种常用方法——网格图。网格图就是时间与对应状态的转移图(如图),在网格图中每一个点表示该时刻的状态,状态之间的连线表示状态转移。通过观察网格图可以发现在网格图中输入信息x(n)并没有标出,但如观察到转移后的状态表示(x(n),x(n-1))就可以发现输入信息已经隐含在转移后的状态中。在图中还可以发现两个网格图不同主要集中在转移后状态位置不同。重新排序结构(即所谓蝶型结构)是为了优化运算而设计的,因为其中蝶型与蝶型之间是相互独立的。

    下面就让我们来看看网格图是如何描述卷积编码过程的:仍以(2,1,2)为例,假定输入序列为1011010100,起始状态(零时刻)为状态a(零状态)。第一个有效时钟沿来临后,编码器接收到输入信息“1”,根据图所示网格图知该时刻(即时刻1)状态为b,并输出其对应的编码结果“11”,同样在下一个时刻(时刻2)接收到输入信息“0”,状态变为c并输出“10”,接下来的输入数据依次类推……,由此我们可以用网格图作出该例子的卷积编码过程,如图5所示,其中两个状态连线之间的信息为输出结果。

    卷积编码器状态图画法

    状态图是关于系统状态变化的描述,它将由系统的输入,根据当前的系统状态,影响系统的输出。卷积码编码器存储的L-1段消息,既要因新的消息输入而改变,又要影响当前的编码输出,把卷积码编码器的移位寄存器中任一时刻所存储的信息称为卷积码编码器的一个状态。

    (n,k,L)卷积码共有2^(k*(L-1))个状态,每次输入k比特只有2^k种状态变化,所以,每个状态只能转移到全部状态的某个子集(2^k个状态)中去,每个状态也只能由全部状态的某个子集(2^k个状态)转移而来。

    (2,1,2)卷积码编码器包含2级移位寄存器和2个模2加法器。2级移位寄存器共有2^2=4种不同状态,定义为S0(00)、S1(01)、S2(10)和S3(11)四种状态。在每个时刻,输入的1个比特信息,当前状态将转为4种状态中的任何一种。

    状态表类似查找表,原理即根据当前的输入和当前的状态,可以从表中查得输出信息。图4为卷积码的状态转移图,图中的状态转移表示“输入/输出1输出2”。

    结语

    关于卷积编码器状态图画法的介绍就到这了,希望通过本文能让你对卷积编码器状态图画法有更深的认识,如有不足之处欢迎指正。

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    什么是卷积码?

    卷积码是由伊利亚斯发明的一种非分组码,它更加倾向于纠错,对于实际的性能优于分组码,运算较为简单。

    将卷积码记为(n,k,N),码率定义为k/n

    n是n个比特
    k是k个信息位
    N是N个信息段

    卷积码编码器

    组成:Nk级移位寄存器,n个模二加法器,一个旋转开关

    题目:画出 ( 5 , 6 , 7 ) 8 (5,6,7)_8 (5,6,7)8的卷积码译码器框图
    如果这一步你画不出来 to 输入与输出的序列关系写不出来 to后面的码树图你就画不出来 to 状态图画不出来 to 维特比译码图画不出来

    解题步骤:

    1. 不管几进制的你都要先转化成二进制: ( 101110111 ) 2 (101 110 111)_2 (101110111)2
    2. 然后 ( 5 , 6 , 7 ) 8 (5,6,7)_8 (5,6,7)8有三个数,写三个多项式,多项式的指数从左到右从0开始依次递增,它们的系数就是转化成为二进制之后的数字,每个式子有三个系数,刚好把上面9个数字用完,如下:
      G 1 ( D ) = 1 + D 2 G_1(D)=1+D^2 G1(D)=1+D2 ----- X 1 , j = m j ⨁ X_{1,j}=m_j\bigoplus X1,j=mj m j − 2 m_{j-2} mj2
      后面几个式子就上图了,懒得打公式:
      在这里插入图片描述
      注意译码器的排布,它的序号是从左往右依次递减的

    码数图

    得到输入与输出的关系后,就可以画码树图了,我们这里以 ( 3 , 1 , 3 ) (3,1,3) (3,1,3)卷积码的码树图为例,只要它没有标下标,就是默认十进制,把它转化成二进制就OK了。
    步骤:

    1. 咱们前面不是说了吗,寄存器它的序号是从左到右依次递减的,这里的寄存器要以 M 3 M 2 M 1 M_3M_2M_1 M3M2M1的方式来进行,它的初始状态是000,从左到右进来的时候好比就是把最右边的那个0挤出去,于是乎变成了 M 3 M 2 M 1 M_3M_2M_1 M3M2M1= 100 100 100,到这里我们就可以使用前面得到的输入与输出关系了,就那个异或的式子,后面码树图上的数字,全靠咱们这个输入与输出关系来填补
    2. 码树图的起始点有两个一上一下的箭头,一般是0在上,1在下,我看一些教材在画这个码树图的时候,还会在每个数的子节点用a,b,c,d来代表四个状态,为此在码树图底下专门列了一张表,这个好像没有强制要求,你画这个东西后期看起来好像更加清晰,不画也可以
    3. 码树图枝干上填写的数字就是它给的输入序列利用咱们的多项式计算后得到的输出序列,你移位寄存器每次移动一位,你就得进行一次异或计算,并把你异或计算的到的数字(有几个多项式就得到几个数字)写在码树图的枝干上
    4. 码树图原则上可以用于解码,就是搜索解码,比较相邻支路的汉明距离,选出最短的,依次连接,但这样子不实用,码树图支路按照指数规律增长,计算量巨大无比
      敲公式实在是太麻烦,我写纸上拍照展示给大家,以(3,1,3)卷积码为例
      在这里插入图片描述
      写出状态的abcd的好处就是后面你画状态图的时候方便一些

    维特比译码

    画码树图的时候记得选取两个寄存器来表示状态(a,b,c,d),这样你后面画维特比译码的时候比较方便,维特比译码实线表示输入的是0,虚线表示输入的是1,每一次译码的累加汉明距离要写在最右端,最右端画两个圆,把数值写里面,每推进一次,就要舍去数值较大的那一个路线,依次累积。

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  • 213卷积码编码和译码[归纳].pdf
  • 详细介绍信道编码中的卷积编码原理

    1、基本概念理解

    1.1  直观理解卷积编码器

    图1  (3,1,2)卷积编码器

    子生成元: g(1,1) = (100), g(1,2) = (110),g(1,3) = (101)

    生成多项式矩阵G=[1\; \; \; 1+D\; \; \; 1+D^{2} ]

    系统规范形式卷积编码器

    图2  (3,2,2)卷积编码器

    子生成元: g(1,1) = (100),g(1,2) = (000),g(1,3) = (101)

                       g(2,1) = (000),g(2,2) = (100),g(1,3) = (110)

    基本生成矩阵:

                       G=\begin{pmatrix} 101 & 000 & 001 & 000 & 000 \\ 011& 001 & 000 & 000 & 000 \end{pmatrix}

                       G=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1+D^{2}\\ 0 & 1 & 1+D \end{bmatrix}

    以上就是对卷积编码编码器的直观理解,以下我们给出卷积编码器的基本定义:

    卷积码通常记为n,k,m—— n是码长,k是信息元,m是编码寄存器的长度,通常称K = m+1为编码约束长度。

    卷积编码在编码时充分利用各个信息块的相关性,校验码元不仅与本组信息元有关,还与之前K个时刻的信息元有关,且当前时刻的信息元还会影响以后K时刻的编码输出。卷积编码器通常有四种表示方法:连接图、状态图、树图和网格图。

    编码器生成多项式通常用八进制来表示,图2所示的编码器可以表示为g=[4,0,5;0,4,6]。借助计算机搜索,已经找到约束长度较小时的最优生成多项式和多项式对应的自由距离 d_{free},如表1所示。其中,和卷积码的纠错能力有关,是无限长编码后序列之间的最小汉明距离。

    表1  码率为1/2的最优编码生成多项式和最大自由距离

    约束长度K生成多项式(八进制)自由距离\mathbf{​{\color{Purple} d_{free}}}

    3

    [5,7]

    5

    4

    [15,17]

    6

    5

    [23,35]

    7

    6

    [53,75]

    8

    7

    [133,171]

    10

    8

    [247,371]

    10

    9

    [561,753]

    12

    10

    [1167,1545]

    12

    1.2、卷积编码器的四种表示形式

    (1)连接图

    以(2,1,2)卷积码为例,图3所示为约束长度K=3的(2,1,2)卷积编码器,由两个模2加法器和两个编码寄存器组成。

    图3-1  (2,1,2)卷积编码器连接图

    (2)状态图

        (2,1,2)编码器中含有两个寄存器,每个寄存器中的数据又有0和1两个选择,故寄存器的状态数共有2^{2}=4种,状态编号为:

         S_0=00,S_1=01,S_2=10,S_3=11

        寄存器状态始终在这4种状态间发生转移。数据输入有两种,所以每一个状态对应转移方式也有两种。

     图3-2  (2,1,2)卷积编码器状态图

        例如,当前状态为 \small S_1=01,输入数据为1时,下一个状态\small S_2=10,对应编码输出为00;当输入数据为0时,下一个状态\small S_0=00,对应编码输出为11。

     (3)树图

        为了更加直观表示编码器,树图在状态图的基础上做了改进,增加了时间尺度。对应树图中每个节点都存在两条分支,输入0时走上分支,输入1时走下分支。分支旁边的数字为相应的输出分支字。

     图3-3  (2,1,2)卷积编码器树图

    (4)网格图

        树图随着时间的增长,尺寸也将成指数式增长。并且,在经过K次分支后,开始重复自身结构。将树图中相同标记的节点进行合并,就得到了网格图。网格图看起来更加简便。

    图3-4  (2,1,2)卷积编码器网格图

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    2021-11-12 10:33:38
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    2022-04-02 20:12:03
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空空如也

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卷积码状态图

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