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  • A*算法启发式函数的几种距离欧氏距离曼哈顿距离对角距离0:Dijkstra算法 欧氏距离 double AstarPathFinder::getDistance_E(Vector3d n1 , Vector3d n2){ //Euclidean double dis_E = sqrt((n2(0)-n1(0))*(n2(0)-n1...

    A*算法启发式函数的几种距离

    欧氏距离

    double AstarPathFinder::getDistance_E(Vector3d n1 , Vector3d n2){
        //Euclidean
        double dis_E =  sqrt((n2(0)-n1(0))*(n2(0)-n1(0))+(n2(1)-n1(1))*(n2(1)-n1(1))+(n2(2)-n1(2))*(n2(2)-n1(2)));
    
        return dis_E;
    }
    

    曼哈顿距离

    double AstarPathFinder::getDistance_M(Vector3d n1 , Vector3d n2){
        //Manhattan
        double dis_M =  fabs(n2(0)-n1(0))+ fabs(n2(1)-n1(1))+ fabs(n2(2)-n1(2));
    
        return dis_M;
    }
    

    对角距离

    double AstarPathFinder::getDistance_D(Vector3d n1 , Vector3d n2){
        //diagonal:  3D
        double dis_D ;
    
        double dx = fabs(n1(0) - n2(0));
        double dy = fabs(n1(1) - n2(1));
        double dz = fabs(n1(2) - n2(2));
        double dmin = min( min(dx, dy), dz);
        double dmax = max(max(dx, dy), dz);
        double dmid = dx + dy + dz - dmin - dmax;
        dis_D = (sqrt(3) - sqrt(2))*dmin + (sqrt(2) - 1)*dmid + dmax;
    
        return dis_D;
    }
    

    0:Dijkstra算法

    double AstarPathFinder::getDistance_0(Vector3d n1 , Vector3d n2){
        //Dijkstra
        double dis =  0;
    
        return dis;
    }
    
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  • 启发式搜索就是在状态空间中的搜索对每一个搜索的位置进行评估,得到最好的位置,再从这个位置进行搜索直到目标。这样可以省略大量无谓的搜索路径,提高了效率。 在启发式搜索中,对位置的估价是十分重要的。采用了...

    一、获取代码方式

    获取代码方式1:
    完整代码已上传我的资源: 【优化求解】 基于matlab启发式算法函数优化分析【含Matlab源码 212期】

    获取代码方式2:
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    备注:订阅紫极神光博客付费专栏,可免费获得1份代码(有效期为订阅日起,三天内有效);

    二、简介

    启发式搜索就是在状态空间中的搜索对每一个搜索的位置进行评估,得到最好的位置,再从这个位置进行搜索直到目标。这样可以省略大量无谓的搜索路径,提高了效率。
    在启发式搜索中,对位置的估价是十分重要的。采用了不同的估价可以有不同的效果。
    启发中的估价是用估价函数表示的,如:f(n)=g(n)+h(n);
    最佳优先搜索的最广为人知的形式称为A*搜索。它把到达节点的耗散g(n)和从该节点到目标节点的消耗h(n)结合起来对节点进行评价:f(n)=g(n)+h(n)。
    1 粒子群算法PSO
    粒子群算法(PSO)是一种基于群体的随机优化技术。粒子群算法(PS0)首先初始化一组随机值作为粒子群,粒子以一定的速度更新当前最优粒子和最优种群(Shi和Eberhart,1999)。每次迭代,更新“个体最优”值 、“种群最优”值 和粒子速度值 ,最终得到一组较为合理的结果。粒子群算法简单易实现,然而易出现早熟等现象,以致不能全局寻优。因此其改进算法层出不穷。
    2 遗传算法GA
    遗传算法(GA)是模仿自然界生物进化理论发展而来的一个高度并行,自适应检测算法。遗传算法通过仿真生物个体,区别个体基因变化信息来保留高适应环境的基因特征,消除低适应环境的基因特征,以实现优化目的。遗传算法能够在数据空间进行全局寻优,而且高度的收敛。缺点就是不能有效的使用局部信息,因此需要花很长时间收敛到一个最优点。
    3 人群搜索算法SOA
    人群搜索算法(SOA)是对人的随机搜索行为进行分析,借助脑科学、认知科学、心理学、人工智能、多Agents系统、群体智能等的研究成果,分析研究人作为高级Agent的利己行为、利他行为、自组织聚集行为、预动行为和不确定性推理行为,并对其建模用于计算搜索方向和步长。由于SOA直接模拟人的智能搜索行为,立足传统的直接搜索算法,概念明确、清晰、易于理解,是进化算法研究领域的一种新型群体智能算法。
    4 模拟退火算法SA
    模拟退火算法(SA)的依据是固体物质退火过程和组合优化问题之间的相似性。物质在加热的时候,粒子间的布朗运动增强,到达一定强度后,固体物质转化为液态,这个时候再进行退火,粒子热运动减弱,并逐渐趋于有序,最后达到稳定。
    5 蚁群算法ACO
    蚁群算法(ACO)是由意大利学者M. Dorigo等人于20世纪90年代初期通过观察自然界中蚂蚁的觅食行为而提出的一种群体智能优化算法。蚂蚁在运动的路线上能留下信息素,在信息素浓度高的地方蚂蚁会更多,相等时间内较短路径里信息素浓度较高,因此选择较短路径的蚂蚁也随之增加,如果某条路径上走过的蚂蚁越多,后面的蚂蚁选择这条路径的概率就更大,从而导致选择短路径的蚂蚁越来越多而选择其它路径(较长路径)的蚂蚁慢慢消失,蚁群中个体之间就是通过这种信息素的交流并最终选择最优路径来搜索食物的,这就是蚁群算法的生物学背景和基本原理。
    6 鱼群算法FSA
    在一片水域中,鱼往往能自行或尾随其他鱼找到营养物质多的地方,因而鱼生存数目最多的地方一般就是本水域中营养物质最多的地方,人工鱼群算法就是根据这一特点,通过构造人工鱼来模仿鱼群的觅食。聚群及追尾行为,从而实现寻优。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    三、部分源代码

    clc,clear,close all
    warning off
    N = 40; % 种群个数
    c1 = 2; % 粒子群参数
    c2 = 2; % 粒子群参数
    wmax = 0.9; % 最大权重
    wmin = 0.6; % 最小权重
    M = 100;    % 循环迭代步数
    D = 2;      % 种群中个体个数,2个未知数
    format long;
    %------初始化种群的个体------------
    for i=1:N
        for j=1:D
            x(i,j)=rands(1);  %随机初始化位置
            v(i,j)=rands(1);  %随机初始化速度
        end
    end
    
    %% ------先计算各个粒子的适应度----------------------
    for i=1:N
        p(i)=fitness(x(i,:));
        y(i,:)=x(i,:);
    end
    
    pg=x(N,:);             % Pg为全局最优
    for i=1:(N-1)
        if fitness(x(i,:))<fitness(pg)
            pg=x(i,:);
        end
    end
    
    %% ------进入主要循环------------
    for t=1:M
    
        for j=1:N
            fv(j) = fitness(x(j,:));  % 适应度值
        end
        fvag = sum(fv)/N;   % 平均适应度值
        fmin = min(fv);     % 最小适应度值
        for i=1:N
            if fv(i) <= fvag
                w = wmin + (fv(i)-fmin)*(wmax-wmin)/(fvag-fmin);  % 自适应权值
            else
                w = wmax;   % 权值
            end
            
    

    四、运行结果

    在这里插入图片描述

    五、matlab版本及参考文献

    1 matlab版本
    2014a

    2 参考文献
    [1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例(第2版)[M].电子工业出版社,2016.
    [2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社,2017.

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  • 启发式搜索则大大提高了搜索效率,由这两张图可以看出它们的差别:(左图类似与盲搜,右图为启发式搜索)(图片来源) 很明显启发式的搜索效率远远大于盲搜。什么是启发式搜索(heuristic search)利用当前与问题有关的...

    在宽度优先和深度优先搜索里面,我们都是根据搜索的顺序依次进行搜索,可以称为盲目搜索,搜索效率非常低。

    而启发式搜索则大大提高了搜索效率,由这两张图可以看出它们的差别:

    172208565_1_20191001011239768.png(左图类似与盲搜,右图为启发式搜索)(图片来源)  

    172208565_2_20191001011240127.png

    很明显启发式的搜索效率远远大于盲搜。

    什么是启发式搜索(heuristic  search)

    利用当前与问题有关的信息作为启发式信息,这些信息是能够提升查找效率以及减少查找次数的。

    如何使用这些信息,我们定义了一个估价函数 h(x) 。h(x)是对当前状态x的一个估计,表示 x状态到目标状态的距离。

    有:1、h(x) >= 0 ;  2、h(x)越小表示 x 越接近目标状态; 3、如果 h(x) ==0 ,说明达到目标状态。

    与问题相关的启发式信息都被计算为一定的 h(x) 的值,引入到搜索过程中。

    然而,有了启发式信息还不行,还需要起始状态到 x 状态所花的代价,我们称为 g(x) 。比如在走迷宫问题、八数码问题,我们的 g(x) 就是从起点到 x 位置花的步数 ,h(x) 就是与目标状态的曼哈顿距离或者相差的数目;在最短路径中,我们的 g(x) 就是到 x 点的权值,h(x)  就是 x 点到目标结点的最短路或直线距离。

    现在,从 h(x) 和 g(x) 的定义中不能看出,假如我们搜索依据为 F(x) 函数。

    当F(x) = g(x) 的时候就是一个等代价搜索,完全是按照花了多少代价去搜索。比如 bfs,我们每次都是从离得近的层开始搜索,一层一层搜 ;以及dijkstra算法,也是依据每条边的代价开始选择搜索方向。

    当F(x) = h(x) 的时候就相当于一个贪婪优先搜索。每次都是向最靠近目标的状态靠近。

    人们发现,等代价搜索虽然具有完备性,能找到最优解,但是效率太低。贪婪优先搜索不具有完备性,不一定能找到解,最坏的情况下类似于dfs。

    这时候,有人提出了A算法。令F(x) = g(x) + h(x) 。(这里的 h(x) 没有限制)。虽然提高了算法效率,但是不能保证找到最优解,不适合的 h(x)定义会导致算法找不到解。不具有完备性和最优性。

    几年后有人提出了 A*算法。该算法仅仅对A算法进行了小小的修改。并证明了当估价函数满足一定条件,算法一定能找到最优解。估价函数满足一定条件的算法称为A*算法。

    它的限制条件是 F(x) = g(x) + h(x) 。代价函数g(x) >0 ;h(x) 的值不大于x到目标的实际代价 h*(x) 。即定义的 h(x) 是可纳的,是乐观的。

    怎么理解第二个条件呢?

    打个比方:你要从x走到目的地,那么 h(x) 就是你感觉或者目测大概要走的距离,h*(x) 则是你到达目的地后,发现你实际走了的距离。你预想的距离一定是比实际距离短,或者刚好等于实际距离的值。这样我们称你的 h(x) 是可纳的,是乐观的。

    不同的估价函数对算法的效率可能产生极大的影响。尤其是 h(x) 的选定,比如在接下来的八数码问题中,我们选择了曼哈顿距离之和作为 h(x) ,你也可以选择相差的格子作为 h(x),只不过搜索的次数会不同。当 h(x) 越接近 h*(x) ,那么扩展的结点越少!

    那么A*算法的具体实现是怎么样的呢?

    172208565_3_20191001011240237.gif

    1、将源点加入open表

    2、

    while(OPEN!=NULL)

    {

    从OPEN表中取f(n)最小的节点n;

    if(n节点==目标节点)

    break;

    for(当前节点n的每个子节点X)

    {

    计算f(X);

    if(XinOPEN)

    if(新的f(X)

    {

    把n设置为X的父亲;

    更新OPEN表中的f(n); //不要求记录路径的话可以直接加入open表,旧的X结点是不可能比新的先出队

    }

    if(XinCLOSE)

    continue;

    if(Xnotinboth)

    {

    把n设置为X的父亲;

    求f(X);

    并将X插入OPEN表中;

    }

    }//endfor

    将n节点插入CLOSE表中;

    按照f(n)将OPEN表中的节点排序;//实际上是比较OPEN表内节点f的大小,从最小路径的节点向下进行。

    }//endwhile(OPEN!=NULL)

    3、保存路径,从目标点出发,按照父节点指针遍历,直到找到起点。

    172208565_3_20191001011240237.gif

    以八数码问题为例:

    我们从1、仅考虑代价函数; 2、仅考虑贪婪优先; 3、A*算法。

    172208565_3_20191001011240237.gif

    1 #include

    2 using namespace std;

    3 struct Maze{

    4 char s[3][3];

    5 int i,j,fx,gx;

    6 bool operator < (const Maze &a )const{

    7 return fx>a.fx;

    8 }

    9 } c;

    10 int fx[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};

    11 map mp;

    12 int T;

    13 int get_hx(char s[3][3]){

    14 int hx=0;

    15 for(int i=0;i<3;i++){

    16 for(int j=0;j<3;j++){

    17 hx+=abs(mp[s[i][j]].i-i)+abs(mp[s[i][j]].j-j);

    18 }

    19 }

    20 return (int)hx;

    21 }

    22 void pr(char s[3][3]){

    23 cout<

    24 for(int i=0;i<3;i++){

    25 for(int j=0;j<3;j++)

    26 cout<

    27 cout<

    28 }

    29 cout<

    30 }

    31 int key(char s[3][3]){

    32 int ans=0;

    33 for(int i=0;i<3;i++)

    34 for(int j=0;j<3;j++)

    35 ans=ans*10+(s[i][j]-'0');

    36 return ans;

    37 }

    38 void BFS(){

    39 T=0;

    40 mapflag;

    41 queue < Maze > q;

    42 q.push(c);

    43 flag[key(c.s)]=1;

    44 while(!q.empty()){

    45 Maze now=q.front();

    46 q.pop();

    47 pr(now.s);

    48 if(get_hx(now.s)==0){

    49 break;

    50 }

    51 for(int i=0;i<4;i++){

    52 int x,y;

    53 x=now.i+fx[i][0];

    54 y=now.j+fx[i][1];

    55 if(!(x>=0&&x<3&&y>=0&&y<3)) continue;

    56 Maze tmp=now;

    57 tmp.s[now.i][now.j]=tmp.s[x][y];

    58 tmp.s[x][y]='0';

    59 tmp.i=x ; tmp.j=y ;

    60 tmp.fx++;

    61 if(!flag[key(tmp.s)]){

    62 q.push(tmp);

    63 flag[key(tmp.s)]=1;

    64 }

    65 }

    66 }

    67 }

    68 void Greedy_best_first_search(){

    69 T=0;

    70 priority_queue< Maze > q ;

    71 mapflag;

    72 c.fx=get_hx(c.s);

    73 q.push(c);

    74 flag[key(c.s)]=1;

    75 while(!q.empty()){

    76 Maze now=q.top();

    77 q.pop();

    78 pr(now.s);

    79 if(get_hx(now.s)==0){

    80 break;

    81 }

    82 for(int i=0;i<4;i++){

    83 int x,y;

    84 x=now.i+fx[i][0];

    85 y=now.j+fx[i][1];

    86 if(!(x>=0&&x<3&&y>=0&&y<3)) continue;

    87 Maze tmp=now;

    88 tmp.s[now.i][now.j]=tmp.s[x][y];

    89 tmp.s[x][y]='0';

    90 tmp.i=x ; tmp.j=y ;

    91 tmp.fx=get_hx(tmp.s);

    92 if(!flag[key(tmp.s)]){

    93 q.push(tmp);

    94 flag[key(tmp.s)]=1;

    95 }

    96 }

    97 }

    98 }

    99 void A_star(){

    100 T=0;

    101 priority_queue< Maze > q ;

    102 mapflag;

    103 c.gx=0;

    104 c.fx=get_hx(c.s)+c.gx;

    105 q.push(c);

    106 while(!q.empty()){

    107 Maze now=q.top();

    108 q.pop();

    109 flag[key(now.s)]=now.fx;

    110 pr(now.s);

    111 if(get_hx(now.s)==0){

    112 break;

    113 }

    114 for(int i=0;i<4;i++){

    115 int x,y;

    116 x=now.i+fx[i][0];

    117 y=now.j+fx[i][1];

    118 if(!(x>=0&&x<3&&y>=0&&y<3)) continue;

    119 Maze tmp=now;

    120 tmp.s[now.i][now.j]=tmp.s[x][y];

    121 tmp.s[x][y]='0';

    122 tmp.i=x ; tmp.j=y ;

    123 tmp.gx++;

    124 tmp.fx=get_hx(tmp.s)+tmp.gx;

    125 if(!flag[key(tmp.s)]){

    126 q.push(tmp);

    127 }else if(flag[key(tmp.s)]>tmp.fx){

    128 flag[key(tmp.s)]=0;

    129 q.push(tmp);

    130 }

    131 }

    132 }

    133 }

    134 int main(){

    135 mp['1'].i=0;mp['1'].j=0;

    136 mp['2'].i=0;mp['2'].j=1;

    137 mp['3'].i=0;mp['3'].j=2;

    138 mp['4'].i=1;mp['4'].j=2;

    139 mp['5'].i=2;mp['5'].j=2;

    140 mp['6'].i=2;mp['6'].j=1;

    141 mp['7'].i=2;mp['7'].j=0;

    142 mp['8'].i=1;mp['8'].j=0;

    143 mp['0'].i=1;mp['0'].j=1;

    144 for(int i=0;i<3;i++){

    145 for(int j=0;j<3;j++){

    146 cin>>c.s[i][j];

    147 }

    148 char x=getchar();

    149 }

    150 cin>>c.i>>c.j;

    151 c.fx=0;

    152 cout<

    153 BFS();

    154 cout<

    155 Greedy_best_first_search();

    156 cout<

    157 A_star();

    158 return 0;

    159 }

    160 /*

    161 283162 164163 705164 2 1165 */

    172208565_3_20191001011240237.gif

    结果显示:

    1、仅考虑代价函数:36步。

    2、仅考虑贪婪优先:5步。

    3、A*算法:5步。

    明显,在引入了启发式信息后,大大的提高了搜索的效率。

    引申问题: 第 k 短路问题。

    思路: 先从终点求出最短路,作为 h(x) 。然后维护优先队列,维护 F(x) 最小,第一次出来的终点是最短路,终点第二次出来的是次短路……

    求第k短路时,A*算法优化的是查找的次数,可以理解为剪枝,更快速的找到最短路,次短路……

    其他操作和正常的求最短路没有什么区别,找到终点第k次出队的值,就是第k短路。

    (可能你会说在无向图中存在有回头路,没错,有可能次短路只是最短路走了一次回头路,但这确实也是一条次短路)。

    展开全文
  • 作业笔记lgm: 估价函数 f(x)=deep(搜索深度)+distance(与目标状态距离)f...1.主函数:实现八数码的求解:start,end,heuristic(启发函数) def eight_digit(start, end, heuristic=None): # 初始化结点 node = Node()

    作业笔记lgm:
    在这里插入图片描述

    估价函数

    f ( x ) = d e e p ( 搜 索 深 度 ) + d i s t a n c e ( 与 目 标 状 态 距 离 ) f(x)=deep(搜索深度)+distance(与目标状态距离) f(x)=deep()+distance()
    distance: 曼哈顿距离,棋盘错位距离

    1.主函数:实现八数码的求解:start,end,heuristic(启发函数)

    def eight_digit(start, end, heuristic=None):
        # 初始化结点
        node = Node()
        node.state = start
        node.distance =  distance(node.state,end,heuristic)
        node.deep = 0
        node.value = node.distance + node.deep
    
        # 初始化openList,closedList
        openList = []
        closedList = []
        
        openList.append(node)
        
        # 是否寻找到目标状态
        complete = False
        
        while openList:
            # 是否使用启发函数
            if heuristic:
                openList.sort(key=lambda x: x.value)
            node = openList.pop(0)
            closedList.append(node)
            
            # 四个移动的方向
            directions = ['up','down','left','right']
            for direction in directions:
                move_node = move(node, end, heuristic, direction)
                if move_node:
                    if not node_in_list(move_node,openList):
                        if not node_in_list(move_node,closedList):
                            openList.append(move_node)
                    # 到达目标状态
                    if move_node.distance==0:
                        closedList.append(move_node)
                        complete = True
                        break
            if complete:
                break
        
        # 提取开始状态到目标状态的所经历的状态
        node = closedList.pop()
        process_state = []
        while node:
            process_state.insert(0,(node.direction,node.state))
            node = node.parent
    
        return process_state
    

    2.结点Node数据类型

    class Node:
        state = None
        distance = None
        deep = None
        value = None
        parent = None
        direction = None
    

    3.距离

    def distance(state:list, end:list, heuristic='Manhattan'):
        # 错位距离
        distance = 0
        if heuristic == 'misplace':
            for i in range(9):
                if state[i]!=end[i]:
                    distance += 1
            return distance
        
        # 曼哈顿距离
        distance = 0
        for num in range(1,9):
            index = state.index(num) + 1
            sta_row = index//3 if index%3==0 else index//3 + 1
            sta_col = 3 if index%3==0 else index%3
            index = end.index(num) + 1
            end_row = index//3 if index%3==0 else index//3 + 1
            end_col = 3 if index%3==0 else index%3
            distance += abs(sta_col-end_col) + abs(sta_row-end_row)
        return distance
    

    4.数码移动

    # 空格移动
    def move(last_node:Node, end, heuristic, direction=None):
        if not direction: return None
        node = deepcopy(last_node)
        index = node.state.index(0)
        
        # 判断是否能完成指定方向的移动
        if direction=='up' and 0<=index<=2: return None
        if direction=='down' and 6<=index<=8: return None
        if direction=='left' and index in [0,3,6]: return None
        if direction=='right' and index in [2,5,8]: return None
        
        # 移动
        if direction == 'up': step = -3
        elif direction == 'down': step = 3
        elif direction == 'left': step = -1
        elif direction == 'right': step = 1
        node.direction = direction
        node.state[index] = node.state[index + step]
        node.state[index+step] = 0
        node.distance = distance(node.state, end, heuristic)
        node.deep = node.deep + 1
        node.value = node.distance + node.deep
        node.parent = last_node
        return node
    

    5.判断结点是否在list中

    def node_in_list(node:Node, nodeList:list):
        state_list = [n.state for n in nodeList]
        if node.state in state_list:
            return True
        else:
            return False
    

    6.测试

    def main(start,end):
        show(start)
        show(end)
        start_time = time.time()
        result_M = eight_digit(start,end)
        end_time = time.time()
        spend_time0 = round(end_time - start_time, 2)
    
    
        start_time = time.time()
        result_M = eight_digit(start,end,'misplace')
        end_time = time.time()
        spend_time1 = round(end_time - start_time, 2)
    
        start_time = time.time()
        result_ = eight_digit(start,end,'Manhattan')
        end_time = time.time()
        spend_time2 = round(end_time - start_time, 2)
    
    
        print('非启发式搜索: ', 'step',len(result_M),'time', spend_time0,'s')
        print('启发函数,错位距离: ','step',len(result_), 'time',spend_time1,'s')
        print('启发函数,曼哈顿距离: ','step',len(result_M), 'time', spend_time2,'s')
    start = [0,8,3,1,6,4,7,2,5]
    end = [1,2,3,8,0,4,7,6,5]
    main(start,end)
    

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空空如也

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