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  • 空间域和变换域
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    2021-05-29 18:58:38

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    一、引言

    在学习冈萨雷斯的《数字图像处理》一书时,涉及几个图像处理域,如时域、频域、空间域、变换域,这些域的概念初学者很容易一头雾水,本文结合《数字图像处理》原版、中译本、网上的几篇博文及自己的理解来谈谈图像处理域的概念。

    二、相关概念

    2.1、域的概念

    域是数域的简称,是一个数学上的概念。
    设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域,简称域。

    常见数域: 复数域C;实数域R;有理数域Q。

    更多介绍请参考《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112211720 人工智能数学

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    变换域在有些情况下,通过变换输入图像来表达处理任务,在变换域执行处理任务,然后再反变换到空间域会更好。 二维线性变换的通用形式可表示为: T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)r(x,y,u,v) T(u, v) = \sum_{x=...

    空间域(spatial domain)

    空间域,或称图像空间,是以图像左上为原点,横为y竖为x的二维平面。
    这里写图片描述

    变换域

    在有些情况下,通过变换输入图像来表达处理任务,在变换域执行处理任务,然后再反变换到空间域会更好,比如使用傅里叶变换将图像转换到频率域进行滤波,再转换回空间域得到滤波后的图像。

    二维线性变换的通用形式可表示为:
    T ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) r ( x , y , u , v ) T(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)r(x, y, u, v) T(u,v)=x=0M1y=0N1f(x,y)r(x,y,u,v)
    其中, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)是输入图像, r ( x , y , u , v ) r(x,y,u,v) r(x,y,u,v)称为正变换核 T ( u , v ) T(u, v) T(u,v)称为 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)正变换

    给定 T ( u , v ) T(u, v) T(u,v)后,可以用 T ( u , v ) T(u, v) T(u,v)的反变换还原 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y):
    f ( x , y ) = ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 T ( u , v ) s ( x , y , u , v ) f(x, y) = \sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}T(u, v)s(x, y, u, v) f(x,y)=u=0M1v=0N1T(u,v)s(x,y,u,v)
    s ( x , y , u , v ) s(x, y, u, v) s(x,y,u,v)称为反变换核。两个式子一起称为变换对

    线性变换域中的一般操作方法
    如果
    r ( x , y , u , v ) = r 1 ( x , u ) r 2 ( y , v ) r(x, y, u, v) = r_1(x, u)r_2(y, v) r(x,y,u,v)=r1(x,u)r2(y,v)
    那么正向变换核是可分的。如果 r 1 ( x , u ) r_1(x, u) r1(x,u)的作用等于 r 2 ( y , v ) r_2(y, v) r2(y,v),则称变换核是对称的。从而有
    r ( x , y , u , v ) = r 1 ( x , u ) r 1 ( y , v ) r(x, y, u, v) = r_1(x, u)r_1(y, v) r(x,y,u,v)=r1(x,u)r1(y,v)
    如果 s s s同样适用,则同样适用于反变换核。

    傅里叶变换

    傅里叶变换在图像处理中是一种很常用的变换方法,可以使图像从空间域转换到频率域从而进行一些图像处理操作。

    二维离散傅里叶变换的变换核为
    r ( x , y , u , v ) = e − j 2 π ( u x M + v y N ) r(x, y, u, v) = e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} r(x,y,u,v)=ej2π(Mux+Nvy)
    s ( x , y , u , v ) = 1 M N e j 2 π ( u x M + v y N ) s(x, y, u, v) = \frac{1}{MN}e^{j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} s(x,y,u,v)=MN1ej2π(Mux+Nvy)

    带入通用变换式中,可得离散傅里叶变换对
    T ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) T(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} T(u,v)=x=0M1y=0N1f(x,y)ej2π(Mux+Nvy)
    f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 T ( u , v ) e j 2 π ( u x M + v y N ) f(x, y) = \frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}T(u, v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} f(x,y)=MN1u=0M1v=0N1T(u,v)ej2π(Mux+Nvy)
    傅里叶核是对称且可分的(证明见附),并且可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换(证明见附)。


    证明:傅里叶核的对称性和可分性

    根据同底幂的乘法运算 a m ∗ a n = a m + n a^m*a^n = a^{m+n} aman=am+n,可得
    r ( x , y , u , v ) = e − j 2 π ( u x M + v y N ) = e − j 2 π u x M e − j 2 π v y N = r 1 ( x , u ) r 2 ( y , v ) r(x, y, u, v) = e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} = e^{-j2\pi\frac{ux}{M}}e^{-j2\pi\frac{vy}{N}} = r_1(x, u)r_2(y, v) r(x,y,u,v)=ej2π(Mux+Nvy)=ej2πMuxej2πNvy=r1(x,u)r2(y,v)
    可分性证毕
    由上式可得
    r 1 ( x , u ) r 2 ( y , v ) = e − j 2 π u x M e − j 2 π v y N = r 1 ( x , u ) r 1 ( y , v ) r_1(x, u)r_2(y, v) = e^{-j2\pi\frac{ux}{M}}e^{-j2\pi\frac{vy}{N}} = r_1(x, u)r_1(y, v) r1(x,u)r2(y,v)=ej2πMuxej2πNvy=r1(x,u)r1(y,v)
    r 1 r_1 r1 r 2 r_2 r2是等价运算。对称性证毕

    证明:可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换

    T ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) = ∑ x = 0 M − 1 e − j 2 π x u M ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π y v N = ∑ x = 0 M − 1 T ( x , v ) e − j 2 π x u M T ( x , v ) = ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π y v N \begin{align} T(u, v) & = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}\\ & = \sum_{x=0}^{M-1}e^{-j2{\pi}\frac{xu}{M}}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2{\pi}\frac{yv}{N}}\\ & = \sum_{x=0}^{M-1}T(x, v)e^{-j2{\pi}\frac{xu}{M}}\\ T(x, v) & = \sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2{\pi}\frac{yv}{N}} \end{align} T(u,v)T(x,v)=x=0M1y=0N1f(x,y)ej2π(Mux+Nvy)=x=0M1ej2πMxuy=0N1f(x,y)ej2πNyv=x=0M1T(x,v)ej2πMxu=y=0N1f(x,y)ej2πNyv


    • 一维连续傅里叶公式:
      F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt F(ω)=f(t)etdt
      根据欧拉公式
      e − j θ = c o s ( θ ) − j s i n ( θ ) e^{-j\theta} = cos(\theta) - jsin(\theta) ejθ=cos(θ)jsin(θ)
      一维傅里叶公式等价于
      F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) [ cos ⁡ ( ω t ) − j sin ⁡ ( ω t ) ] d t F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)[\cos(\omega t) - j\sin(\omega t)]dt F(ω)=f(t)[cos(ωt)jsin(ωt)]dt
    • 一维离散傅里叶公式:
      F ( ω ) = ∑ n = 0 N − 1 f ( n ) e − j ω n N F(\omega) = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-\frac{j\omega n}{N}} F(ω)=n=0N1f(n)eNjωn
    展开全文
  • 空间域滤波 原有的灰度级转换函数,例如线性变换函数、对数、幂次等非线性变换函数依托原有的数学函数表达式。衍生出的灰度直方图均衡法推导过程中,灰度级转换函数的求解也是从导数与积分的关系上入手。 本次转换...

    本文内容

    • 空域滤波的由来
    • 低通滤波器(均值、高斯低通滤波器)(平滑图像)
    • 中值滤波器
    • 高通滤波器(锐化图像,几个常见算子的由来)

    空间域滤波

    原有的灰度级转换函数,例如线性变换函数、对数、幂次等非线性变换函数依托原有的数学函数表达式。衍生出的灰度直方图均衡法推导过程中,灰度级转换函数的求解也是从导数与积分的关系上入手。
    本次转换思路,从信号与系统分析的角度来求解灰度级转换函数。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述附:线性时不变系统的定义
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    低通滤波器(实现图像平滑)

    • 均值滤波器
    • 高斯低通滤波器

    设定当前滤波器为均值滤波器后:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    高斯低通滤波器
    在这里插入图片描述
    空间低通滤波器的应用示例:

    • 去噪
    • 提取特定区域
    • 平滑
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    中值滤波器

    在这里插入图片描述如何解决:
    中值滤波器 即去除排序后位于中间灰度值的滤波器
    会明显地抑制噪声,而不影响周围点的数值,可以理解为保留了边缘信息
    在这里插入图片描述示例:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    高通滤波器(实现图像锐化)

    锐化即平滑的对立面
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述水平、垂直方向梯度的计算表达式:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    图像锐化的基本思路:
    在这里插入图片描述
    具体求解图像边缘,即梯度值的方法有多种:

    • Robert 交叉差分算法
    • Prewitt 算子
    • Sobel 算子
    • Laplace 算子

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    prewitt 算子效果示例:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述基于二阶差分
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    一、二阶差分的图像增强方法差异:

    在这里插入图片描述由此可以得出
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    展开全文
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  • 目录 一 基本概念 二 空间域滤波的计算过程 三 常见的灰度变换 1.图像翻转 ...问:什么空间域?...答:“空间域”主要是为了区别于“变换域”,“变换域”是将图像转换到其他的 域(如频率域),在变换域做...

    目录

     

    一 基本概念

    二 空间域滤波的计算过程

    三 常见的灰度变换

    1.图像翻转

    2.对数变换

    3.Gamma变换

    4.直方图均衡化


    一 基本概念

    问:什么空间域?

    答:“空间域”指图像平面本身,即:图像中的每个像素单元

     

    问:为什么要用“空间域”这种难解的名字?

    答:“空间域”主要是为了区别于“变换域”,“变换域”是将图像转换到其他的 域(如频率域),在变换域做完处理之后再通过反变换的方式转换回来。

     

    问:“空间域”图像处理包含哪些方面?

    答:“空间域”图像处理主要包括【灰度变换】和【空间域滤波】

     

    问:“空间域”滤波怎么理解?

    答:滤波名词出自于信号系统,从图像来说,图像是二维数据,二维数据传输的时候 是逐行传输的,对应于信号处理,就是一个连续的波形,对波形做一些处理,按预期 过滤掉波形中的某些成分,所以形象地表示为”滤波“。Tips: 所谓滤波就是对图像进行处理,比如:降噪,平滑等操作。

     

    二 空间域滤波的计算过程

    说明:用kernel 对图像做卷积

    三 常见的灰度变换

    1.图像翻转

     

    2.对数变换

    3.Gamma变换

    解释一下Gamma 变换:

    这里有一个容易理解错误的地方,输入灰度值(input intensity level) 应该是归一化到【0,1】区间内的小数值,所以应用上面的公式才有这样的曲线,如果是整数,曲线是不对的。

    直观理解的话,

    4.直方图均衡化

    由于图像的对比度不强,所以图像整体上较暗或较亮 (即图像灰度集中在直方图的两端),为了增加对比度,让图像 看起来更清楚,所以有了直方图均衡化

     

    展开全文
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