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  • 素数筛选法

    千次阅读 2018-12-30 11:22:34
    素数筛选法 素数筛选法的目的就是筛选出在某一区间[m,n)内的所有素数,常见的办法有如下几种。 1.朴素的筛选法 朴素的筛选法思路很简单,先写一个判断是否是素数的函数isPrime(),然后从2到n分别调用isPrime()...

    素数筛选法

    素数筛选法的目的就是筛选出在某一区间[m,n)内的所有素数,常见的办法有如下几种。

    1.朴素的筛选法

    朴素的筛选法思路很简单,先写一个判断是否是素数的函数isPrime(),然后从2到n分别调用isPrime()函数来检查。检查是否是质数的算法是核心,使用从2到n的开根的数作为除数(为什么是开根数呢?因为如果当前筛选到p,则说明1*p,2*p.....(p-1)*p已经在筛选1,2,3……p-1的时候被处理过了,现在我们只需要接着处理p*p即可,即要求p*p <=n)。复杂度大概是O(n*log(n)).虽然复杂度看起来比较和谐,但是显然直觉告诉我们调用函数次数过多。

     

    bool isPrime(int n)
    {
    	//if we process p turn,then ,2*p,3*p,4*p,....(p-1)*p was processed
    	//so we begin with p*p < n;
    
    	int i,sqr = sqrt((double)n);
    	for(i=2; i<=sqr; ++i)
    	{
    		if ( (n%i) == 0 )
    			return false;
    	}
    	return true;
    }

    接下来如果需要找到[m,n)的素数,只需要在[m,n)上调用isPrime()函数n-m次即可。

     

     

     

    2.比朴素法更高效的筛选法

    我们知道要求某一区间内的素数,只需要将这一区间内的合数去除,即筛除即可,这种办法利用的就是这种思想。

    例如:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.......

    第一遍筛掉2的倍数:剩下2,3,5,7,9,11,13,15.....

    第二遍筛掉3的倍数:剩下2,3,5,7,11,13,....

    第三遍筛掉5的倍数:(为什么是5而不是4,因为4已经被2的倍数筛掉了,再筛已经无意义)

    第四遍筛掉7的倍数:(为什么是7而不是6,同理因为6已经被之前的2,3筛掉了再筛也没有意义了)

    下面用程序去模拟这个过程:

     

    #include<iostream>
    #include<string>
    using namespace std;
    
    const int N = 30;
    int Prime[5000]; //保存素数
    bool isPrime[5000];//标记该位是否是素数
    int len;
    
    //fin [2,N] 's prime
    void SetPrime()
    {
    	int i,j;
    	len = 0;
    	memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    	for(i=2; i<=N; ++i)
    	{
    		if(isPrime[i])
    		{
    			Prime[len++] = i;
    			for(j=i+i; j<=N; j += i)
    				isPrime[j] = false;
    		}
    	}
    }
    int main()
    {
    	SetPrime();
    	int i;
    	for(i=0; i<len; ++i)
    		cout << Prime[i] <<' ';
    	cout << endl;
    	return 0;
    }

    3.用动态规划进行素数筛选

     

    这种办法较之上面的办法在效率上没有改进,几乎效率相同,但是思路很新颖,而且可以省下上面的isPrime[]数组的

    不必要开销。这种办法用到一个知识。即如果我们已经知道线性表的前边k个数中一共有m个素数(2,3,5,7...),假定对于第k+1个元素,如果Array[k+1]不能被前m个素数整除,说明Array[k+1]是素数,新增之,如果Array[k+1]能被前m个素数中的某一个素数整除,则说明Array[k+1]不是素数,可以排除之,继续往后迭代,直至到达区间的末尾。

     

    //Dynamic Programming find primes
    //first step : find Status Prime[0] = 2,
    //second step: find the Transfer formula,
    //when the number A[i] can % prime[0...i] == 0,
    //it's not a prime,else it is a prime.
    int prime[50000];
    int pLen;
    void SetPrime()//dp set prime
    {
    	int i,j;
    	pLen = 1;
    	bool isPrime;
    	prime[0] = 2;
    	for (i=3; i<50000; i += 2)
    	{
    		isPrime = true; //assume it's a prime
    		for(j=0; j<pLen; ++j)
    		{
    			if ( (i%prime[j]) == 0 )
    			{
    				isPrime = false; //if i mod prime[j] ==0,than it's not a prime
    				break;
    			}
    		}
    		if ( isPrime )
    			prime[pLen++] = i;
    	}
    }

     

    4.工程方法筛选素数

    如果我们需要经常用到素数表,为何要每用一次就调用一次函数呢?直接将素数表打印到文件中,到用时再直接读取不就可以了吗?

    下面是[2,5000]内的素数表:

     

    2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
    53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
    127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
    199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
    283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379
    383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
    467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571
    577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
    661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761
    769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
    877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977
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    1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
    1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427
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    3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
    3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539
    3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643
    3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769
    3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
    3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019
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    4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261
    4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
    4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523
    4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
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