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  • 相关系数r和决定系数R2的那些事

    万次阅读 多人点赞 2019-01-07 11:09:28
    有人说相关系数(correlation coefficient,rrr)和决定系数(coefficient of determination,R2R^2R2,读作R-Squared)都是评价两个变量相关性的指标,且相关系数的平方就是决定系数?这种说法对不对呢?...

    相关系数rr和决定系数R2R^2的那些事

    有人说相关系数(correlation coefficient,rr)和决定系数(coefficient of determination,R2R^2,读作R-Squared)都是评价两个变量相关性的指标,且相关系数的平方就是决定系数?这种说法对不对呢?请听下文分解!

    协方差与相关系数

    要说相关系数,我们先来聊聊协方差。在之前的博文《使用Python计算方差协方差相关系数》中提到协方差是计算两个随机变量XXYY 之间的相关性的指标,定义如下:

    Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)]\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]

    但是协方差有一个确定:它的值会随着变量量纲的变化而变化(covariance is not scale invariant),所以,这才提出了相关系数的概念:

    r=Corr(X,Y)=Cov(X,Y)σXσY=E[(XEX)(YEY)]E[XEX]2E[YEY]2r = \mathrm{Corr}(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]}{\sqrt{\mathrm{E}[X - \mathrm{E}X]^2}\sqrt{\mathrm{E}[Y - \mathrm{E}Y]^2}}

    对于相关系数,我们需要注意:

    1. 相关系数是用于描述两个变量线性相关程度的,如果r>0r \gt 0,呈正相关;如果r=0r = 0,不相关;如果r<0r \lt 0,呈负相关。
    2. 如果我们将XEXX - \mathrm{E}XYEYY - \mathrm{E}Y看成两个向量的话,那rr刚好表示的是这两个向量夹角的余弦值,这也就解释了为什么rr的值域是[-1, 1]。
    3. 相关系数对变量的平移和缩放(线性变换)保持不变(Correlation is invariant to scaling and shift,不知道中文该如何准确表达,?)。比如Corr(X,Y)=Corr(aX+b,Y)\mathrm{Corr}(X, Y) = \mathrm{Corr}(aX + b, Y)恒成立。

    决定系数(R方)

    下面来说决定系数,R方一般用在回归模型用用于评估预测值和实际值的符合程度,R方的定义如下:

    R2=1FVU=1RSSTSS=1i(yifi)2i(yiy^)2R^2 = 1 - \mathrm{FVU} = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2}

    上式中yy是实际值,ff是预测值,y^\hat{y}是实际值的平均值。FVU\mathrm{FVU}被称为fraction of variance unexplained,RSS叫做Residual sum of squares,TSS叫做Total sum of squares。根据R2R^2的定义,可以看到R2R^2是有可能小于0的,所以R2R2不是rr的平方。一般地,R2R^2越接近1,表示回归分析中自变量对因变量的解释越好。

    对于R2R^2可以通俗地理解为使用均值作为误差基准,看预测误差是否大于或者小于均值基准误差。

    此外,我们做这样一个变形:R2=1i(yifi)2/ni(yiy^)2/n=1RMSEVarR^2 = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2 / n}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2 / n} = 1 - \frac{\mathrm{RMSE}}{\mathrm{Var}},可以看到变成了1减去均方根误差和方差的比值(有利于编程实现)。

    另外有一个叫做Explained sum of squares,ESS=i(fiy^)2\mathrm{ESS} = \sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2

    在一般地线性回归模型中,有ESS+RSS=TSS\mathrm{ESS} + \mathrm{RSS} = \mathrm{TSS}(证明过程参见:Partitioning in the general ordinary least squares model

    在这种情况下:我们有R2=1RSSTSS=ESSTSS=i(fiy^)2i(yiy^)2R^2 = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\mathrm{ESS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2}

    对于R2R^2我们需要注意:

    1. R2R^2一般用在线性模型中(虽然非线性模型总也可以用),具体参见:Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

    2. R2R^2不能完全反映模型预测能力的高低

    最后,这篇文章《8 Tips for Interpreting R-Squared》里面指出了不错误解读R2R^2的地方,读完之后,我觉得以后还是少用R2R^2,对于模型的评估可以选择其它一些更适合的指标。

    参考资料

    [1]. The relationship between correlation and the coefficient of determination

    [2]. Coefficient of determination

    [3]. Explained sum of squares

    [4]. Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

    [5]. 8 Tips for Interpreting R-Squared

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  • 决定系数R2

    千次阅读 2019-03-19 16:33:03
    决定系数 表示:y的波动有多少能被你和直线所描述。 当直线拟合的很好,y到拟合线的差值会很小,此时决定系数接近1.表示y值基本都被拟合直线所描述了。 ...

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    决定系数 表示:y的波动有多少能被你和直线所描述。

    在这里插入图片描述
    当直线拟合的很好,y到拟合线的差值会很小,此时决定系数接近1.表示y值基本都被拟合直线所描述了。

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  • 统计学——线性回归决定系数R2

    万次阅读 多人点赞 2018-01-10 13:19:17
    决定系数(coefficient ofdetermination),有的教材上翻译为判定系数,也称为拟合优度。 决定系数反应了y的波动有多少百分比能被x的波动所描述,即表征依变数Y的变异中有多少百分比,可由控制的自变数X来解释. ...

    决定系数(coefficient ofdetermination),有的教材上翻译为判定系数,也称为拟合优度

    决定系数反应了y的波动有多少百分比能被x的波动所描述,即表征依变数Y的变异中有多少百分比,可由控制的自变数X来解释.


    表达式:R2=SSR/SST=1-SSE/SST

    其中:SST=SSR+SSE,SST(total sum of squares)为总平方和,SSR(regression sum of squares)为回归平方和,SSE(error sum of squares) 为残差平方和。

    注:(不同书命名不同)


    回归平方和:SSR(Sum of Squares forregression) = ESS (explained sum of squares)

    残差平方和:SSE(Sum of Squares for Error) = RSS(residual sum of squares)

    总离差平方和:SST(Sum of Squares fortotal) = TSS(total sum of squares)

    SSE+SSR=SST RSS+ESS=TSS



    意义:拟合优度越大,自变量对因变量的解释程度越高,自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。

    取值范围:0-1.


    举例:


    假设有10个点,如下图:


    我们R来实现如何求线性方程和R2:

    # 线性回归的方程
    mylr = function(x,y){
      
      plot(x,y)
      
      x_mean = mean(x)
      y_mean = mean(y)
      xy_mean = mean(x*y)
      xx_mean = mean(x*x)
      yy_mean = mean(y*y)
      
      m = (x_mean*y_mean - xy_mean)/(x_mean^2 - xx_mean)
      b = y_mean - m*x_mean
      
      
      f = m*x+b# 线性回归方程
      
      lines(x,f)
      
      sst = sum((y-y_mean)^2)
      sse = sum((y-f)^2)
      ssr = sum((f-y_mean)^2)
      
      result = c(m,b,sst,sse,ssr)
      names(result) = c('m','b','sst','sse','ssr')
      
      return(result)
    }
    
    x = c(60,34,12,34,71,28,96,34,42,37)
    y = c(301,169,47,178,365,126,491,157,202,184)
    
    f = mylr(x,y)
    
    f['m']
    f['b']
    f['sse']+f['ssr']
    f['sst']
    
    R2 = f['ssr']/f['sst']

    最后方程为:f(x)=5.3x-15.5

    R2为99.8,说明x对y的解释程度非常高。




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  • 决定系数R2 sklearn.metrics中r2_score 格式 sklearn.metrics.r2_score(y_true,y_pred,sample_weight=None,multioutput=’uniform_average’) R^2 (coefficient of determination) regression score ...

    决定系数R2

     

    sklearn.metrics中r2_score

    格式

    sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred, sample_weight=None, multioutput=’uniform_average’)

    R^2 (coefficient of determination) regression score function.

    R2可以是负值(因为模型可以任意差)。如果一个常数模型总是预测y的期望值,而忽略输入特性,则r^2的分数将为0.0。

    Best possible score is 1.0 and it can be negative (because the model can be arbitrarily worse). A constant model that always predicts the expected value of y, disregarding the input features, would get a R^2 score of 0.0.

    Parameters:
    y_true array-like of shape = (n_samples) or (n_samples, n_outputs)

    Ground truth (correct) target values.

    y_pred array-like of shape = (n_samples) or (n_samples, n_outputs)

    Estimated target values.

    sample_weight array-like of shape = (n_samples), optional

    Sample weights.

    multioutput string in [‘raw_values’, ‘uniform_average’, ‘variance_weighted’] or None or array-like of shape (n_outputs)

    Defines aggregating of multiple output scores. Array-like value defines weights used to average scores. Default is “uniform_average”.

    ‘raw_values’ :

    Returns a full set of scores in case of multioutput input.

    ‘uniform_average’ :

    Scores of all outputs are averaged with uniform weight.

    ‘variance_weighted’ :

    Scores of all outputs are averaged, weighted by the variances of each individual output.

    Returns:
    z float or ndarray of floats

    The R^2 score or ndarray of scores if ‘multioutput’ is ‘raw_values’.

    注意:

    This is not a symmetric function. (R2是非对称函数!注意输入顺序。)

    Unlike most other scores, R^2 score may be negative (it need not actually be the square of a quantity R).(R2可以是负值,它不需要是R的平方!)

     

    from sklearn.metrics import r2_score
     y_true = y_true = [3, -0.5, 2, 7]
     y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
     r2_score(y_true, y_pred)
     # 结果:0.9486081370449679
     r2_score(y_true, y_pred, multioutput= 'uniform_average')
     # 结果:0.9486081370449679
     y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
     y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
     r2_score(y_true, y_pred, multioutput='variance_weighted')
     # 结果:0.9382566585956417
     y_true = [1, 2, 3]
     y_pred = [1, 2, 3]
     r2_score(y_true, y_pred)
     # 结果: 1.0
     y_true = [1, 2, 3]
     y_pred = [2, 2, 2]
     r2_score(y_true, y_pred)
     # 结果:0.0
      y_true = [1, 2, 3] # bar{y} = (1+2+3)/ 3 = 2
      y_pred = [3, 2, 1] # y - hat{y}(即y_true - y_pred) = [-2, 0, 2]
      r2_score(y_true, y_pred)
      # 结果:-3.0
      y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
      y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
      r2_score(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
      # 结果:array([0.96543779, 0.90816327])

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/jiangkejie/p/10677858.html

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  • MATLAB 线性拟合 决定系数R2求解

    万次阅读 2016-06-21 15:40:40
    线性拟合之后总是需要求解决定系数R2,网上找了一下发现没啥靠谱的中文回答。还是老外的方法比较靠谱。 线性拟合求解决定系数
  • R2系数

    2019-09-28 08:59:33
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  • (转)决定系数R2

    千次阅读 2018-11-08 16:06:00
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  • 决定系数大于1

    千次阅读 2019-09-30 09:43:35
    本来这是一个不可能的事,用的r2_score进行计算的,发现有的时候负值有的时候大于1 后来换了一下,自己手动写计算r2,还是出现这样的,甚至数值特别大 def R2(y_test,y_pred): SStot=np.sum((y_test-np.mean(y_...
  • 机器学习-模型决定系数

    千次阅读 2018-01-19 11:26:00
    决定系数决定系数反应了y的波动有多少百分比能被x的波动所描述,即表征依变数Y的变异中有多少百分比,可由控制的自变数X来解释.表达式:R2=SSR/SST=1-SSE/SST其中:SST=SSR+SSE,SST(total sum of squares)为总平方和...
  • 最近在用python处理数据,在进行精度评价的时候需要计算决定系数(R2),结果python的计算结果大大超出了我的预料。一般我们计算R2认为它是相关系数(r)的平方。 当你去网上查python如何计算R2,都是这么告诉你的,通过...
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  • sklearn.metrics.r2_score

    2018-12-02 12:08:38
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空空如也

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r2决定系数