• 递推最小二乘法 原理 过程 以及推导
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最小二乘法,递推最小二乘法C语言源程序//init input#define row_y 29#define col_y 4double uk[31]={ 0,1.147,0.201,-0.787,-1.589,-1.052,0.866,1.152,1.573,0.626,0.433,-0.958,0.810,-0.044,0.947,-1.474,-0.719,-0.086,-1.099,1.450,1.151,0.485,1.633,0.043,1.326,1.706,-0.340,0.890,1.144,1.177,-0.390};double yk[31];double **fai;void initinput(void){//ifstream inFile;int temp = 0;ofstream outFile;outFile.open("yk.txt");yk[0] = yk[1] = yk[2] = 0;for(int i = 3; i < 32; i++)yk[i]=-1.642*yk[i-1]-0.715*yk[i-2]+0.39*uk[i-1]+0.35*uk[i-2];for(i = 1; i < 32; i++){temp++;outFile<//if(i%5==0)outFile<}outFile<outFile.close;cout << "Over!" <//inFile.open("yk.txt");fai = new double *[row_y];for(i = 0; i < row_y; i++)fai[i] =new double [col_y];double *pyk = yk;double *puk = uk;double *pfai = *fai;pyk = &yk[1];puk = &uk[1];for(int j = 0; j < row_y; j++){pfai = &fai[j][0];*pfai = -(*(pyk+1));*(pfai+1) = -(*pyk);*(pfai+2) = *(puk+1);*(pfai+3) = *puk;pyk++;puk++;}}//iterative least square method#define rowPn 4#define colPn 9void iterative_least_square_method(void){double **Pn,*En_1,*Pn_En_1,*En_Pn_1,**PE,**Pn_1,**Pn_En_0;double En_Pn_En_1 = 0;double *pPn1;double *pPn2;double *Kn;double *siit0,En_siit0,*En_0,BB,*siit1;Pn = new double *[rowPn];for(int j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)Pn[j1] = new double [rowPn];Pn_En_1 = new double [rowPn];En_1 = new double [colPn];En_1 = &a[colPn][0];Pn_En_1 = new double [colPn];Pn_En_0 = new double *[rowPn];for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)Pn_En_0[j1] = new double [colPn];En_Pn_1 = new double [colPn];Kn = new double [colPn];PE = new double *[colPn];for (j1 = 0; j1 < colPn; j1++)PE[j1] = new double [colPn];Pn_1 = new double *[colPn];for(j1 = 0; j1 < colPn; j1++)Pn_1[j1] = new double [colPn];siit0 = new double [colPn];siit1 = new double [colPn];/*****************************************************************/for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){if( j1 == j2)Pn[j1][j2] = 1e6;else Pn[j1][j2] = 0;}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){if( j1 == j2)Pn_1[j1][j2] = 1e6;else Pn_1[j1][j2] = 0;}cout << endl;}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(siit1 + j1) = 1e-6;}/******************************************************************/for(int i = 1; i < 28 ;i++){En_1 = &a[i][0];for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){Pn[j1][j2] = Pn_1[j1][j2];}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(Pn_En_1 + j1) = 0;for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){*(Pn_En_1 + j1) += Pn[j1][j2]*(*(En_1 + j2));}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(En_Pn_1 + j1) = 0;
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用一步完成最小二乘法、递推最小二乘法、增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法、二步法辨识如下模型的参数：

噪声的成形滤波器

采样时间0.01

要求：

1.用matlab 写出程序代码；

2.画出实际模型和辨识得到的模型误差；

3.画出递推算法迭代时各辨识参数的变化曲线；

具体思路：

采用Z变换将系统和噪声滤波器的传递函数进行离散化，得到系统的差分方程：

产生m序列，获得系统输入：

然后利用各最小二乘法的公式，进行迭代求解：

增广最小二乘（辨识结果）

-0.0865   -0.1558    0.0116   -0.0125   -0.0031   -0.0198    0.0418    0.0061    0.0530    0.0152   -0.0220    0.0037    0.0894   -0.0027   -0.4287

递推最小二乘辨（辨识结果）

0.2914    0.4161   -0.0060   -0.0947   -0.1967    0.0093    0.0756   -0.2644    0.0262   -0.2307   -0.0284   -0.0255   -0.0943    0.0701   -0.3491

二步法（辨识结果）

10.9249  -11.5145    4.9972   -4.1236   10.4250

最小二乘法（辨识结果）

1.5000    0.7000    1.0000    0.5000

辅助变量法（辨识结果）

0   -2.2276   -0.0000    3.4309   -2.0860


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递推最小二乘法

主要用于求解超定方程的未知解

实现代码见博客最下方

算法实现

利用递推最小二乘法，求解Ax=b的解
A为m*x维的矩阵，元素服从独立同分布的正态分布
b为m维的已知向量，元素也是服从独立同分布的正态分布

设计思路

首先设置好迭代所需要的初始参数
将A中的10000个方程提取出来，依次做10000次迭代
最后将每一次迭代的x的结果输出

数值实验

递推最小二乘法未知解

结果分析

由上图可以得知，由于一开始的未知解是随机生成的，误差比较大，经过了10000次的迭代之后，开始震荡收敛于某个值。因为随机生成的矩阵的元素是正态分布的，因此10个未知解都大致收敛于0附近的值上。

代码实现

clear;
format long;
A = randn([10000 10]);
b = randn([10000 1]);
x = rand(10,1);
I = eye(10, 10);
P = (10^6) * I;

for k = 1:10000
Ak = A(k,:);
Q1 = P*(Ak');
Q2 = 1 + Ak * P * (Ak');
Q = Q1/Q2;
x = x + Q * (b(k) - Ak*x);
P = (I - Q*Ak)*P;
result2(:,k) = x;
result1(k) = k;
end
result1 = result1';
%result = [result1; result2];
plot(result1, result2);
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永磁同步电机的在线参数辨识仿真模型一一一最小二乘法的介绍
1.最小二乘法的简单介绍
最小二乘法的理论最早是由高斯（Gauss）于1795年在星体运动轨道预报研究过程中提出来的。该理论的原理比较简单，容易理解与掌握，编制程序也易于实现，重要的是具有良好的数学统计特性（无偏性、有效性、一致性等），因此在参数辨识中有相当广泛的应用。最小二乘法是系统参数辨识的基本方法，它是以准则函数最小化为目标推导出系统参数的辨识算法。为了提高基本递推最小二乘法（RLS）的辨识性能，发展了各种衍生算法，包括加权最小二乘法、遗忘因子法、增广最小二乘法、广义最小二乘法等。下面以最小二乘法为基础进行讲解：

2.递推最小二乘法的推导
批处理最小二乘法在每次处理数据时需要计算矩阵的逆，尤其是当尾数较大时，计算量较大，由式（1.6）可辨识模型中不变参数 ，是由于累积和迭代造成数据量过大，由此引入递推最小二乘法，即在更新模型时对上一步中的模型以及数据进行修正，如式（1.7）所示。

由此，只要确定输入量和输出量，以及辨识量，即可运用上述RLS的模型进行求解。
3.总结
RLS的通用求解公式，如下：

后续将依据电机PMSM的基本数学模型，对其运用RLS进行电阻、电感和转动惯量的辨识。
参考资料
[1]https://blog.csdn.net/qq_27436347/article/details/89766494
[2]https://zhuanlan.zhihu.com/p/53883828
[3]荀倩,王培良,李祖欣,蔡志端,秦海鸿.基于递推最小二乘法的永磁伺服系统参数辨识[J].电工技术学报,2016,31(17):161-169.


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• ## 递推最小二乘法RLS：推导

千次阅读 多人点赞 2019-08-23 16:24:09
递推最小二乘法RLS：推导 I use RLS as a method for parameter identification. Reference: https://blog.csdn.net/weixin_38451800/article/details/85384847 ...
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