模拟信号的离散时间采样的频域分析

◆采样信号表示如下

◆对(1)式两边分别取傅里叶变换

时域采样定理

频域采样定理

1、频域采样定理的主要内容是:
(a)对信号$x(n)$的频谱函数 $X (e^{jw} )$ 在$[0,2\pi )$上等间隔采样 N点，得到：

$$X_N(k)=X(e^{jw})|_{w=2\pi k/N}　，　　k=0,1,2,...,N-1$$

则N点IDFT$[X_N(k)]$得到的序列就是原序列$x(n)$以N为周期延拓后的主值区序列，公式为：

$$x_{N}(n)=IDFT[X_N(k)]_N=[\sum_{i=-\propto }^{\propto }x(n+iN)]R_N(n)$$

(b)频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M (即$N\geqslant M$)，才能使时域不产生混叠，且N点$IDFT[X_N(k)]$得到的序列$x_N(n)$ 就是原序列$x(n)$，即 $x_N(n)=x(n)$ 。如果$N > M$，$x_N(n)$比原序列多$N -M$个零点；如果$N < M$，则$x_N(n)=IDFT[X_N(k)]$发生了时域混叠失真，而且$x_N(n)$的长度也比 $x(n)$ 的长度短。
2、应用
　　典型的频域采样定理应用是雷达目标距离像的提取。当雷达用不同的频率照射目标时，将会得到对应不同频率的反射回波的幅值。图1是频域采样定理的示意图。其中，图1.1为频域连续信号、图1.2为频域采样得到的数字信号、图1.3为连续傅立叶变换、图1.4为离散傅立叶变换。常见的雷达目标识别信号处理过程基本上都是基于频域采样定理展开的。
　　
3、频域采样定理的matlab验证
给定信号如下：

$$\left\{\begin{matrix} n+1，0\leqslant n\leqslant 13 \\ 27-n，14\leqslant n\leqslant 26 \\ 0，　　　其他　　　 \end{matrix}\right.$$
对频谱函数 $X（e^{jw}）=FT[x（n）]$在区间 $[0，2\pi]$上等间隔32 点采样，得到 $X_{32}（k）$。再对 $X_{32}（k）$进行32 点IFFT。分别画出 $X（e^{jw}）、X_{32}（k）$的幅度谱，并绘图显示 $x（n）、X_{32}（n）$的波形。

clear all;
M=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列 x(n)
xa=0:floor(M/2); 
xb= ceil(M/2)-1:-1:0; 
xn=[xa,xb];
Xk=fft(xn,1024); %1024 点FFT[x(n)],用于近似序列x(n)的TF
X32k=fft(xn,32) ;%32 点FFT[x(n)]
x32n=ifft(X32k); %32 点IFFT[X32(k)]得到x32(n)
subplot(2,2,2);stem(n,xn,'.');box on
title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])

k=0:1023;wk=2*k/1024; %
subplot(2,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');
xlabel ('\omega/\pi');ylabel ('|X (e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])

k=0:N-1;
subplot(2,2,3);stem(k,abs(X32k),'.');box on
title('(e) 32 点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])

n1=0:N-1;
subplot(2,2,4);stem(n1,x32n,'.');box on
title ('(f) 32 点 IDFT [X_3_2 (k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])

定义：为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

 

香农采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。采样是将一个信号（即时间或空间上的连续 函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。公式为：fs≥2fmax。采样率越高，稍后恢复的波形就越接近原信号，但是对系统的要求就更高，转换电路必须具有更快的转换速度。

 分别是采样频率大于、等于和小于奈奎斯特采样的情况，小于的情况下直接出现了混叠。

 

网上找到图片

所以说：采样定理是连续信号和离散信号之间的桥梁。

举个列子：

 采样定理的作用和意义：

       采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、分时制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。