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    softmax是一个多分类器,可以计算预测对象属于各个类别的概率。

    公式

    y i = S ( z ) i = e z i ∑ j = 1 C e z j , i = 1 , . . . , C y_i=S(\boldsymbol{z})_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{C}e^{z_j}},i=1,...,C yi=S(z)i=j=1Cezjezii=1,...,C

    • z \boldsymbol{z} z是上一层的输出,softmax的输入, 维度为 C C C
    • y i y_i yi为预测对象属于第 c c c类的概率

    梯度

    变量间的计算图如上,已知 y \boldsymbol{y} y的梯度 ∂ l ∂ y i , i = 1 , . . . , C \frac{\partial l}{\partial y_i}, i=1,...,C yil,i=1,...,C,要计算 z \boldsymbol{z} z的梯度 ∂ l ∂ z j , j = 1 , . . . , C \frac{\partial l}{\partial z_j}, j=1,...,C zjl,j=1,...,C

    从计算图中可以看到, z \boldsymbol{z} z的分量 z j z_j zj y \boldsymbol{y} y的每一个分量都有贡献,因此:
    ∂ l ∂ z j = ∑ i = 1 C ∂ l ∂ y i ∂ y i ∂ z j \frac{\partial l}{\partial z_j} = \sum_{i=1}^{C}\frac{\partial l}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial z_j} zjl=i=1Cyilzjyi

    由于 ∂ l ∂ y i \frac{\partial l}{\partial y_i} yil已知,因此计算 ∂ y i ∂ z j \frac{\partial y_i}{\partial z_j} zjyi即可!

    为方便记 ∑ j = 1 C e z j \sum_{j=1}^{C}e^{z_j} j=1Cezj ∑ C \sum_C C

    (1) i = j i=j i=j时:
    ∂ y i ∂ z j = e z i ∑ C − e z i e z i ∑ C 2 = e z i ∑ C − e z i ∑ C 2 = y i − y i 2 = y i ( 1 − y i ) \begin{aligned} \frac{\partial y_i}{\partial z_j} & = \frac{e^{z_i}\sum_C-e^{z_i}e^{z_i}}{{\sum_C}^2} \\ &=\frac{e^{z_i}}{\sum_C} - \frac{e_{z_i}}{\sum_C}^2 \\ & = y_i-y_i^2 \\ & = y_i(1-y_i) \end{aligned} zjyi=C2eziCeziezi=CeziCezi2=yiyi2=yi(1yi)
    (2) i ≠ j i \neq j i̸=j
    ∂ y i ∂ z j = 0 ∑ C − e z i e z j ∑ C 2 = − e z i ∑ C e z j ∑ C = − y i y j \begin{aligned} \frac{\partial y_i}{\partial z_j} &= \frac{0\sum_C - e^{z_i}e^{z_j}}{{\sum_C}^2} \\ &= -\frac{e_{z_i}}{\sum_C}\frac{e_{z_j}}{\sum_C} \\ &=-y_iy_j \end{aligned} zjyi=C20Ceziezj=CeziCezj=yiyj

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  • Softmax公式推导

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    softmax函数可用一下公式表示: 其中,k表示神经网络的多个输出或类别数,v为输出向量, vj为 v中第j个输出或类别的值,i表示当前需要计算的类别,计算结果在0到1之间,且所有类别的softmax值求和为1。 import ...

    转载: https://zhuanlan.zhihu.com/p/279142777

    神经网络的多个输出是难于直观理解的,因可能的取值范围不同难以直接进行比较和反向传播。需要借助softmax将值压缩到(0,1)的开区间,从而简化学习过程。softmax函数可用一下公式表示:
    在这里插入图片描述

    其中,k表示神经网络的多个输出或类别数,v为输出向量, vj为 v中第j个输出或类别的值,i表示当前需要计算的类别,计算结果在0到1之间,且所有类别的softmax值求和为1。

    import numpy as np
    z = np.array([1.0, 2.0, -3.0, 4.0, 0.5, 0.6])
    print(np.exp(z)/sum(np.exp(z)))
    
    #[3.98422484e-02 1.08302460e-01 7.29736235e-04 8.00252952e-01 2.41655452e-02 2.67070578e-02]
    

    进行函数分类,直接找softmax之后最大值对应的类别就可以了。

    那为什么不直接用神经网络的输出的最大值呢?直接用一个max函数搞定?因为这样会导致函数不可导,也就很难学习。

    推导过程:
    ……

    转载:https://zhuanlan.zhihu.com/p/279142777

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  • 多分类问题 softmax公式的使用

    一、多分类问题使用sigmod解决的问题

    在这里插入图片描述
    使用sigmod对每一个计算权值

    如何使用sigmod计算权值?看这里
    玩耍:
    在这里插入图片描述

    [[-0.9697223 ]
     [19.13764586]]
    

    学习:
    在这里插入图片描述

    [[ 0.02997379]
     [-0.15720643]]
    

    跳舞&#x

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