1. 基本概念

1.1欧拉角

欧拉旋转定理指出：任何一个旋转都可以用三个旋转的参数来表示。

1. 三个旋转角的组合方式（是xyz还是yzx还是zxy）

为了方便，我们用x指代只绕x轴的旋转，用y指代只绕y轴进行的旋转。在描述欧拉角的时候可以有以下方式：xyz， yzx，zxy 或者是反向顺序 zyx xzy yxz，共六种。

2. 旋转角度的参考坐标系统（旋转是相对于固定的坐标系还是相对于自身的坐标系）

在描述这3个旋转角的时候，可以是相对于某个固定的坐标系统（称为extrinsic rotations），也可以是相对于物体自身的坐标系统（称为intrinsic rotations）

3. 使用旋转角度是左手系还是右手系

旋转角度是正还是负，如果是右手系，那么符合右手定则决定正负，左手系则符合左手定则决定正负。

4. 三个旋转角的记法
   
   图 旋转的记法

1.2左乘右乘

左乘还是右乘

左乘——相对于固定坐标系进行变换，（固定坐标系—我们上面提到的固定x轴旋转……，这里的固定，其实我们已经暗暗地定义了一个坐标系，这个坐标系我们潜意识认为它是不变的，这也就是世界坐标系。除了平时我们假设了固定坐标系就是我们认识的世界坐标系，其他情况是我们需要将坐标系1变换到坐标系2，这时，我们的坐标系2可以设为该固定坐标系）

V’ = R * V = Rz * Ry * Rx V，变换顺序是先绕x转，再绕y转，最后绕z转。
右乘——相对于自身坐标系进行变换，每变一次下一次需要以新坐标系为标准进行变换。比如第一次变换后，原x轴的位置变为y轴，那么下一次绕y轴的变换，就会绕之前的x轴变换。

参考 https://blog.csdn.net/silence1214/article/details/8634664

https://blog.csdn.net/a6333230/article/details/88343282?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.control

1.3东北天坐标系

1. 姿态角范围

   (1) 俯仰角(-90 ~ 90deg)；
    (2) 横滚角(-180 ~ 180deg)；
    (3) 航向角(-180 ~ 180deg，可转换为0~360deg)；

2. 轴向

   X轴向东：绕此轴旋转决定俯仰角；
   Y轴向北：绕此轴旋转决定横滚角；
   Z轴向上：绕此轴旋转决定航向角。

1.4载体坐标系

　右手坐标系（正负符合右手定则）：

  X轴向右：绕此轴旋转决定俯仰角；
  Y轴向前，速度的方向：绕此轴旋转决定横滚角；
  Z轴向上：绕此轴旋转决定航向角。

1.5捷联惯性导航系统

捷联惯性导航系统（Strap-down Inertial Navigation System）是把惯性仪表直接固连在载体上，用计算机来完成导航平台功能的惯性导航系统。

将惯性测量器件直接固连在载体上，再将其输出通过数学平台（又称捷联矩阵之转换到导航坐标系的参量），进行导航解算。系统的惯性测量器件为角速率陀螺仪和加速度计，它们固连在载体上，测得的都是载体坐标系下的物理量。

2. 通过ECEF转换到参考点附近的ENU坐标系上

推导过程参考：导航中坐标系及坐标转换

使用ECEF坐标系下求解三维度距离，并在参考点附近进行转换

• 1.参考点P=[lat,lon,height],经纬度

图转换过程

3. 东北天坐标系到载体坐标系

• 使用右手定则确定正负
• 转换使用右乘矩阵（矩阵左乘）的方式，即旋转时是绕载体自己的轴进行旋转，动态
• 旋转顺序为 Z -> X -> Y ，第一次绕 Z 轴旋转，称为航向角 Yaw，第二次 X 绕 轴旋转，称为俯仰角 Pitch，
  第三次绕 Y 轴旋转，称为翻滚角 Roll

各轴正向的旋转矩阵，如下图所示：

图 旋转矩阵

因为偏航角的正方向与定义的方向相反，故矩阵有所变化，指导过程如下，以下为手写计算图：

图推导过程

1. GPS坐标WGS84到东北天坐标系ENU
2. 常用导航坐标系 及 转换关系 （理论+程序）
3. 初等矩阵的左乘右乘与行列变换的关系
4. 导航中坐标系及坐标转换
5. 左乘右乘

简述

由于东北天坐标系是站心系，随着坐标原点，相对坐标在变化，因此需要确定站心的参考坐标值，即想要转换WGS-84坐标系$P_1$到东北天坐标系时，需要给出东北天坐标系坐标原点所在的位置的WGS-84坐标值$P_2$.
基本思路是首先将2个WGS84坐标系转换到地心地固坐标系ECEF中，计算两个参考坐标之间的差，而后在指定的参考点附近进行展开。

一、从WGS-84坐标系到ECEF坐标系

1.先将经纬度坐标转为弧度坐标

2.转ECEF坐标

WGS坐标为$P=[lat,lon,height]$,ECEF坐标为$E=[x,y,z]$
则
$$x=\frac{a\ast cos(lon）}{\sqrt{1+(1-e^2)\ast (tan(lat){)}^2}}+height\ast cos(lon)\ast cos(lat)$$
$$y=\frac{a\ast sin(lon）}{\sqrt{1+(1-e^2)\ast (tan(lat){)}^2}}+height\ast sin(lon)\ast sin(lat)$$
$$z=\frac{a\ast (1-e^2)\ast sin(lat）}{\sqrt{1-e^2\ast (sin(lat){)}^2}}+height\ast sin(lat)$$

经过此步骤后获得地心地固坐标系下的坐标$E_1,E_2$

#  ENU坐标系转换至WGS84坐标系，输入ENU坐标x,y,z和参考点经纬高，输出WGS84坐标
def enu2llh( enu,  orgllh):		
	for item in range(2):
		orgllh[item]=orgllh[item]*PI/180	

	xyz=enu2xyz(enu, orgllh)
	result=xyz2llh(xyz)

	for item in range(2):
		result[item]=result[item]*180/PI
	return result

#  WGS84坐标系转换至ECEF坐标系，输入经纬高，输出ECEF坐标x,y,z

def llh2xyz(llh):

	lat = llh[0]
	lon = llh[1]
	height = llh[2]

	slat = np.sin(lat)
	clat = np.cos(lat)
	slon = np.sin(lon)
	clon = np.cos(lon)

	t2lat = (np.tan(lat))*(np.tan(lat))
	tmp = 1 - e * e
	tmpden = np.sqrt(1 + tmp * t2lat)
	tmp2 = np.sqrt(1 - e * e*slat*slat)

	x = (a*clon) / tmpden + height * clon*clat
	y = (a*slon) / tmpden + height * slon*slat
	z = (a*tmp*slat) / tmp2 + height * slat
	return [x,y,z]

二、 通过ECEF转换到参考点附近的ENU坐标系上

使用ECEF坐标系下求解三维度距离，并在参考点附近进行转换

1.在参考点$P_2=[lat,lon,height]$附近的旋转矩阵$R$

$$R=\left[\begin{array}{ccccc}& -sin(lon),& cos(lon),& 0& \\ & -sin(lat)\ast cos(lon),& -sin(lat)\ast sin(lon),& cos(lat)& \\ & co(lat)\ast cos(lon),& cos(lat)sin(lon),& sin(lat)& \end{array}\right]$$

2.旋转到ENU上得到坐标$N=[E,N,U]$

$$N=\left[\begin{array}{ccc}& E& \\ & N& \\ & U& \end{array}\right]=R\ast \Delta x=R\ast \left[\begin{array}{ccc}& x_1-x_2& \\ & y_1-y_2& \\ & z_1-z_2& \end{array}\right]$$

#  ECEF坐标系转换至ENU坐标系，输入ECEF坐标x,y,z和参考点经纬高，输出ENU坐标
def xyz2enu( xyz,  orgllh):

	lat = orgllh[0]
	lon = orgllh[1]
	height = orgllh[2]

	slat = np.sin(lat)
	clat = np.cos(lat)
	slon = np.sin(lon)
	clon = np.cos(lon)

	tmpxyz=[0,0,0]
	orgxyz=[0,0,0]
	tmporg=[0,0,0]
	difxyz= [0,0,0]
	enu=[0,0,0]

	orgxyz=llh2xyz(orgllh)


	for i in range(3):
		tmpxyz[i] = xyz[i]
		tmporg[i] = orgxyz[i]
		difxyz[i] = tmpxyz[i] - tmporg[i]

	R_list = [[-slon,clon,0] , [-slat * clon,-slat * slon,clat ], [clat*clon,clat*slon,slat ] ]

	for i in range(3):
		enu[0] = enu[0] + R_list[0][i] * difxyz[i]
		enu[1] = enu[1] + R_list[1][i] * difxyz[i]
		enu[2] = enu[2] + R_list[2][i] * difxyz[i]
	return enu

常用坐标系介绍

地理坐标系 (Geographic Coordinate System, GCS)

可以说是最为广泛应用的一个地球坐标系，它给出一点的大地纬度、大地经度和大地高程而更加直观地告诉我们该点在地球中的位置，故又被称作纬经高坐标系。WGS-84坐标系的X轴指向BIH(国际时间服务机构)1984.0定义的零子午面(Greenwich)和协议地球极(CTP)赤道的交点。Z轴指向CTP方向。Y轴与X、Z轴构成右手坐标系。

一句话解释就是：把前面提到的ECEF坐标系用在GPS中，就是WGS-84坐标系。

其中：
（1）：大地纬度是过用户点P的基准椭球面法线与赤道面的夹角。纬度值在-90°到+90°之间。北半球为正，南半球为负。
（2）：大地经度是过用户点P的子午面与本初子午线之间的夹角。经度值在-180°到+180°之间。
（3）：大地高度h是过用户点P到基准椭球面的法线距离，基准椭球面以内为负，以外为正。

参考资料:地理信息系统中常用坐标系

地心地固坐标系 (ECEF)

在GPS中使用的被称为地球中心，地球固定(ECEF)。ECEF使用三维XYZ坐标(以米为单位)来描述GPS用户或卫星。“地球”这个词来自于坐标轴的原点(0,0,0)位于质心处(通过多年的跟踪卫星确定轨迹)。“地球固定”这个词意味着坐标轴相对于地球是固定的(也就是说，它们随地球旋转)。其 x 轴延伸通过本初子午线（经度 0 度）和赤道（0度纬度）。z 轴延伸穿过真正的北极（即与地球自转轴重合）。y 轴完成右手坐标系，穿过赤道和 90 度经度，如图 1所示

图1 ECEF直角坐标系

当地东、北、上 (ENU) 坐标

站心坐标系也叫东北天坐标系 ENU，用于表示以观察者为中心的其他物体
的运动规律。以站心为坐标系原点，z 轴与椭球法线重合，向上为正，y 与椭球
短半轴重合（北向），x 轴与椭球长半轴重合（东向）

基坐标相互转化

地理坐标系到地心地固坐标系 (GCS to ECEF)

这里因为地球近似为一个椭球,所以沿着椭球表面的法线方向不在$O_e$与$M$的连线方向,首先我们假设它的椭球表面的法线方向的反向延长线交$Z$轴与于点$M{}^{\prime }$,设$|PQ|=N,|PM|=h$,$在X_{ECEF}{-}_{ECEF}{-}_{ECEF}$基坐标系下,根据几何关系,M的坐标为
$\left((N+h)\cos \left(\phi \right)\cos (\lambda ),(N+h)\cos \left(\phi \right)\sin (\lambda ),(N+h)\sin \left(\phi \right)\right)-OQ)$

然后我们将$M$点所在的子午圈椭圆投影到一个二维的平面上,如下图所示,(gps的高度h不是与地心在一条直线上)

首先设p点所在的子午圈的方程设为
$$\frac{x^2}{R_e^2}+\frac{z^2}{R_p^2}=1\text{\hspace{1em}①}$$ 椭圆的扁率定义为
$$f=\frac{R_e-R_p}{R_e}$$ 椭圆的离心率定义为
$$e=\frac{\sqrt{R_e^2-R_p^2}}{R_e}\text{\hspace{1em}②}$$由②式可得$$R_p=Re\sqrt{1-e^2}\text{\hspace{1em}③}$$
将椭圆方程①两边同时对$x$求导,并结合③式,可得$$\frac{2x}{R_e^2}+\frac{2z\mathrm{d}z/\mathrm{d}x}{R_e^2\left(1-e^2\right)}=0$$移项整理得$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-\left(1-e^2\right)\frac{x}{z}$$式中$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$表示椭圆在P点的切线的斜率,显然切线PE$\perp$法线PQ,所以$K_{PE}{K}_{PQ}=-1$,因为$PQ$的斜率为$\tan \phi$,则
$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\tan \phi =-\left(1-e^2\right)\frac{x}{z}\tan \phi =-1$
整理可得$$z=x\left(1-e^2\right)\tan \phi \text{\hspace{1em}④}$$
结合③④带入椭圆方程①中,可得到以地理纬度$\phi$的椭圆的参数方程$$\begin{array}{l}x=\frac{R_e}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}\cos \phi \\ z=\frac{R_e\left(1-e^2\right)}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}\sin \phi \end{array}\}\text{\hspace{1em}⑤}$$
根据子午圈投影的图可得$$x=Ncos\phi \text{\hspace{1em}⑥}$$ 将⑤中的$x$带入⑥式中$$N=\frac{R_e}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}$$
因此参数方程可以简写为$$\begin{array}{l}x=N\cos \phi \\ z=N\left(1-e^2\right)\sin \phi \end{array}\}\text{\hspace{1em}⑥}$$
通过上面的椭圆参数方程⑥,结合投影到$2D平面上的Z轴与ECEF的Z轴$是同一个可得$M$点的坐标系$z_M=N\left(1-e^2\right)\sin \phi +hsin\phi =($,结合之前所说的{ECEF坐标系下$P$的坐标系为$$\left((N+h)\cos \left(\phi \right)\cos (\lambda ),(N+h)\cos \left(\phi \right)\sin (\lambda ),(N+h)\sin \left(\phi \right)\right)-OQ)$$
可以得出
$x_M=(N+h)cos(\phi )cos(\lambda )$
$y_M=(N+h)cos(\phi )sin(\lambda )$
$z_M=\left(\frac{b^2}{a^2}N+h\right)\sin \phi$

附上各参数的含义
$\phi =latitude$
$\lambda =longitude$
$h=heightaboveellipsoid(meters)$
$N=RadiusofCurvature(meters),definedas:\frac{a}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}$,这里的a就是我们上面推导公式的$R_e$,详细的参考$⑥$下面的推导.

WGS84 Parameters
$a=6378137$(椭圆的长半轴)这里表示赤道椭圆的长半轴
$b=a(1-f)=6356752.31424518$
$f=\frac{1}{298.257223563}$
$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a^2}$详细含义参照②

我们把$M$点放大,来说说gps的高度

高度$h,$gps ,$的$altitude,(从上面图中可知gps的测量高度是GPS天线与参考椭球面的垂直距离,WGS84椭球面在世界范围内近似大地水准面),地球的长半轴$a$与短半轴$b$是已知的,然后地理纬度$\phi$也是已知的,所以M点在$ECEF$坐标系下已知.

地心地固坐标系到东北天、站心坐标系 ECEF to ENU

这里采用几何意义的方式来讲这个转化关系,这里为了直观,我们在p点画ENU坐标系
因为$East(xLocal)$的方向与M点所在的子午线(P点子午线)垂直,所以我们首先把绕着$Z_{ECEF}$旋转至$X_{ECEF}$与$East(xLocal)$的方向一致①$ECEF坐标系$绕着$Z_{ECEF}$逆时针旋转$(\frac{\pi }{2}+\lambda )$,然后绕着$X_{ECEF}$旋转至$Z_{ECEF}$与$Up(ZLocal)$方向一致②绕着$X_{ECEF}$逆时针旋转$(\frac{\pi }{2}-\phi )$③平移的部分就是之前LLA转到ECEF坐标系下的$M$的坐标
$R_{z_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}+\lambda )]=\left(\begin{array}{ccc}\cos [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& \sin [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& 0\\ -\sin [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& \cos [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$R_{x_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}-\phi )]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos [(\frac{\pi }{2}-\phi )]& \sin [(\frac{\pi }{2}-\phi )]\\ 0& -\sin [(\frac{\pi }{2}-\phi )]& \cos [(\frac{\pi }{2}-\phi )]\end{array}\right]$

$R_{x_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}-\phi )]R_{z_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}+\lambda )]=\left(\begin{array}{ccc}-\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ -\cos \lambda \sin \phi & -\sin \lambda \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \lambda \cos \phi & \sin \lambda \cos \phi & \sin \phi \end{array}\right)$

在车辆运动中,我们一般车辆启动假设gps天线的初始位置在 { X r , Y r , Z r } \left\{X_{r}, Y_{r}, Z_{r}\right\} {Xr​,Yr​,Zr​},车辆运动的位置为 { X p , Y p , Z p } \left\{X_{p}, Y_{p}, Z_{p}\right\} {Xp​,Yp​,Zp​},则基于启动为原点的ENU的坐标为:
$\left[\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ -\cos \lambda \sin \phi & -\sin \lambda \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \lambda \cos \phi & \sin \lambda \cos \phi & \sin \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_p-X_r\\ Y_p-Y_r\\ Z_p-Z_r\end{array}\right]$
这里讲的也很好

地理坐标系到东北天、站心坐标系(GCS to ENU)

GCS和ENU之间的坐标系转换通过先转换为ECEF实现。
代码有时间再放上来吧