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  • 此代码有助于通过使用粒子群优化找出非线性等式和不等式约束的最小值
  • 以下为不等式约束不等式约束可以类比等式约束,将不等式约束分为边界和内部两种情况考虑,再综合得出结论: 其对偶函数为: 求解条件(KKT条件)稍微有些变化: 即最后得到的解必须符合上面6个条件,(2),(5)是...

    等式约束本质是将约束问题转为无约束问题,求解无约束函数的极值点参数(由原问题参数和拉格朗日乘子参数组成),抽取原问题的极值点(极大或极小)。

    以下为等式约束:
    在这里插入图片描述
    这其实就是求L的极值点的方程组,满足上述条件的点一定是原问题的极值点,证明
    设当前已有的一组拉格朗日乘子,在当前这组乘子下的极值点(参数值)为(x0,y0,z0),若客观上存在另一极值点(x1,y1,z1)满足所有等式约束,并且使得L1更优于L0,那么在已有的这组拉格朗日乘子下,仍有L1的参数偏导数全为0这一事实,但这个极值点必然在既有解中

    通常拉格朗日参数不为0,因为这样相当于约束无效。
    求解过程可以通过求解方程组本身解开,但这样的点可能是极小,可能是极大,如上图。

    以下为不等式约束:
    在这里插入图片描述
    其拉格朗日函数为:
    在这里插入图片描述
    max min L= min max L
    求解过程利用拉格朗日对偶性(确定原问题的下界) 将 min max L 转换为 max min L 的方式解开,对应原问题的极小值。这里极值点不一定是 L 的极值,等式约束是 L 的极值。

    最优解满足以下条件(即KKT条件),这也是充要条件
    在这里插入图片描述
    min max L 转换为 max min L,求得的值满足KKT,理解上从等式约束出发,考虑从客观事实上,解存在于全部不等式约束内部、全部不等式约束边界、或者部分不等式约束边界,部分不等式约束内部三种情况,对于(3)(6),若在内部,则人为至该不等式拉格朗日乘子为0,不等式约束无效,若在边界上,退化为等式约束,因为原函数(极小化)的梯度和约束函数的梯度是反的,所以(3)必为正。
    拉格朗日乘子为0的情况需要枚举比较。
    总之,三种情况都有KKT成立。

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  • 文章目录不等式约束极小值点落在可行域内(不包含边界)极小值点落在可行域外(包含边界)总结 不等式约束 对于不等式约束g(x)<=0,和等式约束h(x)=0不一样,h(x)=0可以在平面上画出一条等高线,而g(x)<=0是一...

    不等式约束

    对于不等式约束g(x)<=0,和等式约束h(x)=0不一样,h(x)=0可以在平面上画出一条等高线,而g(x)<=0是一个区域,很多个等高线堆叠而成的一块区域,我们把这块区域称为可行域。

    不等式约束分两种情况来讨论,第一种是极小值点落在可行域内(不包含边界),第二种是极小值点落在可行域外(包含边界)。

    下面举两个例子来解释这两种情况,然后总结两种情况给出转换求解。

    极小值点落在可行域内(不包含边界)

    考虑目标函数f(x)=x12+x22f(x) = x_1^2 + x_2^2,不等值约束g(x)=x12+x221g(x) = x_1^2 + x_2^2 -1,显然f(x)的极小值为原点(0,0),落在可行域内。可行域以原点为圆心,半径为1。

    这种情况约束不起作用,考虑极小值点xx^*,这个时候,g(x)<0g(x^*) < 0f(x)f(x^*)的梯度等于0。

    在这里插入图片描述

    极小值点落在可行域外(包含边界)

    考虑目标函数f(x)=(x12)2+(x2+2)2f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 + 2)^2 ,不等值约束g(x)=x12+x221g(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1,显然f(x)的极小值为原点(2, -2),落在可行域外。可行域以原点为圆心,半径为1。

    这种情况约束起作用,要考虑求解f(x)在可行域内的极小值点。

    对于f(x)而言要沿着f(x)的负梯度方向走,才能走到极小值点,如下图的蓝色箭头

    这个时候g(x)的梯度往区域外发散,如下图红色箭头

    显然,走到极小值点的时候,g(x)的梯度和f(x)的负梯度同向。因为极小值点在边界上,这个时候g(x)等于0。

    在这里插入图片描述

    总结

    极小值点落在可行域内(不包含边界):这个时候可行域的限制不起作用,相当于没有约束,直接f(x)的梯度等于0求解,这个时候g(x极小值点)<0(因为落在可行域内)。

    极小值点落在可行域外(包含边界):可行域的限制起作用,极小值点应该落在可行域边界上即g(x)=0,类似于等值约束,此时有g(x)的梯度和f(x)的负梯度同向。

    在这里插入图片描述

    总结以上两种情况,可以构造拉格朗日函数来转换求解问题。

    对于不等式约束的优化,需要满足三个条件,满足这三个条件的解xx^*就是极小值点。

    这三个条件就是著名的KKT条件,它整合了上面两种情况的条件。

    特别注意:优化问题是凸优化的话,KKT条件就是极小值点(而且是全局极小)存在的充要条件。

    在这里插入图片描述

    上面就是著名的KKT条件!

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  • 不等式约束优化问题及KKT条件理解 我们只考虑不等式约束下的优化问题,如: minf(x) minf(x) minf(x) s.t.g(x)≤0 s.t.g(x)\leq0 s.t.g(x)≤0 这里xxx是多维的向量,约束不等式g(x)≤0g(x)\leq0g(x)≤0表示的是多维...
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  • 等式约束与不等式约束问题

    万次阅读 2017-02-26 17:07:40
    包括梯度法、求解线性等式约束问题的投影梯度法、适用于含有等式约束规划和含有不等式规划的拉格朗日乘子法、针对不等式约束的KKT条件法、罚函数法等。 等式约束问题 设目标函数为f(x),约束条件为hk(x)h_k(x),...

    针对特殊约束条件下的优化问题,有着不同类别适应不同条件的求解算法。包括梯度法、求解线性等式约束问题的投影梯度法、适用于含有等式约束规划和含有不等式规划的拉格朗日乘子法、针对不等式约束的KKT条件法、罚函数法等。

    等式约束问题

    设目标函数为f(x),约束条件为hk(x),形如

    minf(x)s.t.hk(x)=0k=1,2,k

    则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法不再多说,拉格朗日法这里在提一下,因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。

    L(x,λ)=f(x)+k=1lλkhk(x)

    其中λk是各个约束条件的待定系数。
    然后解偏导方程组:
    Fxi=0Fλk=0

    至于为什么这么做可以求解最优化?维基百科上给出了一个比较好的直观解释。

    举个二维最优化的例子:

    minf(x,y)s.t.g(x,y)=c

    这里画出z=f(x,y)的等高线:
    这里写图片描述

    绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率,和等高线的法线平行。从梯度的方向上来看,显然有d1>d2
    绿色的线是约束,也就是说,只要正好落在这条绿线上的点才可能是满足要求的点。如果没有这条约束,f(x,y)的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。
    而现在加上了约束,最小值点应该在哪里呢?显然应该是在f(x,y)的等高线正好和约束线相切的位置,因为如果只是相交意味着肯定还存在其它的等高线在该条等高线的内部或者外部,使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小,只有到等高线与目标函数的曲线相切的时候,可能取得最优值。

    如果我们对约束也求梯度g(x,y),则其梯度如图中绿色箭头所示。很容易看出来,要想让目标函数f(x,y)的等高线和约束相切,则他们切点的梯度一定在一条直线上。
    即:f(x,y)=λg(x,y)C)
    其中λ可以是任何非0实数。

    一旦求出λ的值,将其带入下式,易求在无约束极值和极值所对应的点。

    F(x,y)=f(x,y)+λ(g(x,y)c)

    这就是拉格朗日函数的由来。

    不等式约束问题

    考虑一般形式的优化问题:

    Minf(x)s.t.h(x)=0g(x)0

    由上式,对于一个不等式约束gj(x)0,如果在xgj(x)=0,那么称该不等式约束是x处的起作用约束;如果在xgj(x)0,那么称该约束是处的不起作用约束。
    按惯例,把等式约束hi(x)=0当作总是起作用的约束。

    由此,定义不等式约束下的拉格朗日函数L,则L表达式为:

    L(X,λ,μ)=f(X)+j==1pλjhj(X)+k=1qμkgk(X)

    其中f(x)是原目标函数,hj(x)是第j个等式约束条件,λj是对应的约束系数,gk是不等式约束,μk是对应的约束系数。

    常用的方法是KKT条件,同样地,把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子,简化为L(a,b,x)=f(x)+ag(x)+bh(x)

    KKT条件是说最优值必须满足以下条件:

    1)Lxi=0对x求导为零;

    2)h(x) =0;

    3)a*g(x) = 0;

    求取这些等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣,因为g(x)<=0,如果要满足这个等式,必须a=0或者g(x)=0. 这是SVM的很多重要性质的来源,如支持向量的概念。

    KKT的推导:

    首先不加证明的给出对偶问题结论:

    Minω,bMaxbL(ω,b,α)=MaxbMinω,bL(ω,b,α)

    这里写图片描述

    参考资料:
    [1].Edwin K.P.Chong and Stanisslaw H.Zak 最优化导论(第四版)
    [2].http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7919597

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  • 大型不等式约束与控制英文原文毕业设计翻译工科类学院
  • 等式约束优化与不等式约束优化

    千次阅读 2019-01-12 22:18:30
    在学习SVM的原理时,接触到了等式约束优化与不等式约束优化,下面是根据相关资料自己总结出来的自己的,希望对大家有所帮助,这是第一篇博客。 1.等式约束优化 1.1.问题描述 当目标函数加上等式约束条件之后,...

    在学习SVM的原理时,接触到了等式约束优化与不等式约束优化,下面是根据相关资料自己总结出来的自己的,希望对大家有所帮助,这是第一篇博客。

    1.等式约束优化

    1.1.问题描述

    当目标函数加上等式约束条件之后,原本的非约束优化变成了等式约束优化,如下:

    \min_{x} f(x)  .....................................................................................(1)

    s.t. \ \ \ h(x)=0  ............................................................................(2)

    因为存在约束条件,所以将f(x)的解限定在了一个可行域的区域,此时可能找不到可以使得\nabla_xf(x)为0的点,但是我们的目的是找到可行域范围内f(x)的最小值即可。

    1.2.解法

    利用拉格朗日乘子法,引入拉格朗日算子 \alpha \in R^m ,构建拉格朗日函数如下:

    L(x,\alpha)=f(x)+\alpha*h(x) ..........................................................(3)

    然后对拉格朗日函数L(x,\alpha)x的偏导,令偏导为0,即:

    \nabla_xL(x,\alpha)=0 ..............................................................................(4)

    对(2)(4)式进行求解即得到此类问题的最优解。

    1.3.解释

    假设我们的目标函数为二维的,即f(x,y),在平面中画出f(x,y)的等高线,如下图的虚线所示

    显而易见,只有当等高线与目标函数的曲线相切时才有可能得到可行解。因此拉格朗日取得极值的必要条件是目标函数与约束函数相切,这时两者的法向量是平行的,即

    \nabla_xf(x)-\alpha\nabla_xh(x)=0 ................................................................(5)

    所以正好可以得到(3)式,需要注意的是,\alpha仅仅要求不等于0即可,正负号不需要确定。

     

    2.不等式约束优化

    2.1.问题描述

    不等式约束优化问题为:

    \min_{x} f(x) ...........................................................................................(6)

    s.t. \ \ \ g(x)\leq0 ..................................................................................(7)

    2.2.解法

    首先构建拉格朗日函数如下:

    L(x,\alpha)=f(x)+\beta *h(x) ...............................................................(8)

    对(8)式关于x求偏导,可得

    \nabla_xL(x,\beta)=0 ...................................................................................(9)

    另外还有KKT条件如下:

            \beta=0 \ and \ h(x)> 0  或者 \beta> 0 \ and \ h(x)=0 .....................(10)

    由(9)(10)两式可以得出最后的最优解。对于(10)式的解释请看2.3节。

    2.3.解释        

    假设我们的目标函数为二维的,下图给出了目标函数的等高线与不等式约束:

    根据上图可知,可行解存在于g(x)< 0或者g(x)=0的区域里取到,存在下列两种情况:

    a)当可行解x落在g(x)< 0的区域内,此时约束条件不起作用,直接极小化f(x)即可,所以(1)式L(x,\alpha)=f(x)+\beta *h(x)中,只需满足\beta=0即可。即上图左侧所示.

    b)当可行解x落在g(x)= 0的区域内,此时等价于等式约束优化问题。即上图右侧所示。此时目标函数的梯度方向为指向中心位置的反方向,而约束函数h(x)由约束区域指向非约束区域。由下图可以看出,在最优解的位置,约束函数的梯度方向于目标函数的梯度方向正好相反,从而有:

     -\nabla_xf(x)=\beta*\nabla_xg(x) ..................................................(11)

    (11)式其实就是(9)式的变形。当然(11)式有一个限制条件 \beta> 0

     

     

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