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  • 导言如果你是一名数学工作者,在研究二阶线性微分方程的通解,你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式:如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动,或许你会很快想到特征方程或者复数法,但是,物理里的方程仅仅是这个...

    导言

    如果你是一名数学工作者,在研究二阶线性微分方程的通解,你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式:

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    如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动,或许你会很快想到特征方程或者复数法,但是,物理里的方程仅仅是这个一般的方程中其中 p(x), q(x) 及 f(x)都是取到某些特殊的值情况下的方程,把这些方法应用到解一般的情况下会遇到困难,下文我将以求解这个方程的通解为主线,探讨整体的理论架构。

    整体的概览

    对于原二阶线性非齐次微分方程,其对应的二阶线性齐次微分方程是:

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    我们有以下结论:

    二阶线性非齐次的微分方程的通解等于其一个特解与相应的二阶线性齐次的微分方程的通解之和。

    即有如下定理:

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    在该定理的基础上,现在我们的问题归结于以下几个问题:

    1.非齐次方程的特解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    2.齐次方程的通解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    我们先来讨论第二个问题。

    齐次方程的通解的求解

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    对于齐次方程很容易验证下面的结论定理若是齐次方程的解其中是任意常数,则与的线性组合也是齐次方程的解

    假设齐次方程的通解是存在的(注意现在是假设,其证明我们会在后面会有定理给出)

    那么其通解一定可以表示为

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    那么这里引入了线性无关解的的概念,关于这个概念,你可以这样理解:我们把具有具有一种特殊的关系的两个解称为线性相关的,反之则称为线性无关的。(其真正的定义你可以去看附录),为了不打断我们的思路,正文中我们先不提这些概念。

    那么是否一定会存在这样的一组线性无关解呢?

    17d2ce8f598110a14c4fb66d08ab990f.png

    既然这样,假如我们获得了两个解,我们如何判断这两个解是否是线性无关解呢?

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    那么为了讨论两个解是否是线性无关解我们又引入了Wronski行列式的概念,为了方便讨论,我们简要介绍一下该概念。

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    Wronski行列式有一个很独特的性质:

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    Wronski行列式对于判断两个函数是否是线性相关有很大的价值。

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    这里的两条定理给出了判断两个函数是否线性相关的方法。

    事实上,

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    现在我们已经证明了齐次方程的通解的存在性,但是我们不知道如何确切的找到这个解,对此我们有以下的结论:

    0bb60021d4103f62b20e73b6be385993.png

    至于找一个解的方法,用得最多的是观察法。

    非齐次方程的通解的求解

    在齐次方程通解已经解出的情况下,我们的问题落到第一个问题:非齐次方程的特解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    当然是存在的,因为我们可以找到它。

    那么如何找到它呢?

    首先还是观察法

    第二在已知齐次方程的通解的情况下,我们可以得到这个特解

    0ffc28569967f454cf7455313a2c63c8.png

    最后的一个问题

    我们来检查一下我们目前已有的结论,非齐次方程的一个特解与齐次方程的一个通解之和就是非齐次方程的通解,而非齐次方程的一个特解可以由齐次方程的通解得到,齐次方程的通解需要两个线性无关解,而一个解可以用另一个解导出,所以我们的问题在于找到齐次方程的一个特解。

    有如下的结论:

    3007f83afcbdd39c979f7455406be5b7.png

    至此,所有的问题被全部解决。

    附录

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    读者如果希求本文中定理的证明,可以参考有关的论著(如《数学分析教程》(中国科学技术大学出版社))

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  • 二阶线性微分方程的打靶法二阶线性微分方程的打靶法 计算思路 主要分为以下五步: 给定容许误差ε,迭代初始值γ1,对k=1,2,...做: (1)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问,得出u1之后取其在γk的值,从而...

    二阶非线性常微分方程的打靶法

    二阶非线性常微分方程的打靶法 计算思路 主要分为以下五步: 给定容许误差ε,迭代初始值γ1,对k=1,2,...做: (1)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问,得出u1之后取其在γk的值,从而得到F(γk)=u1(b,γk)-β (2)若|F(γk)|<ε,则u1 即为所求,跳出循环。 否则: (3)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问题 由此得到F'(γk)=v1(b,γk) (4)用牛顿迭代计算γk+1,即 (5)置k+1→k,转(1)直到误差在范围内。 综上,实现了打靶法对非线性方程的拟合。 接下来是每一步的代码: 程序开头各变量的设置 function ys=ndbf(f,g,a,b,alfa,beta,n,eps,s0) %f 为二阶导数,y''=f(x,y,y'),g 为f 对y 求偏导后的 %(a,b)为自变量迭代区间 %alfa,beta 为给定的边值条件 %eps 题目规定的精度 %n 为迭代次数 %选取适当的s0 的初值 循环第一步 x0=[alfa,s0]; %选取合适的迭代初值 y0=RK4(f,a,b,h,x0); %龙格库塔算出u1(γk) constant=y0(n,1)-beta; 这里的y0(n,1)即是u1(γk,b),constant即为F(γk) 循环第二步 检验误差以跳出 if abs(constant)

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  • 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB 求解* 云 文 在 ( 包头师范学院 数学科学学院,内蒙古 包头 014030) 摘 要: 本文给出二阶线性微分方程边值问题数值算法的 MATLAB 实现,并举例进行了求解仿真及与解 析解的...

    2012 年 3 月第 26 卷 第 1 期 阴 山 学 刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar. 2012 Vo1. 26 No. 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB 求解* 云 文 在 ( 包头师范学院 数学科学学院,内蒙古 包头 014030) 摘 要: 本文给出二阶线性微分方程边值问题数值算法的 MATLAB 实现,并举例进行了求解仿真及与解 析解的精度比较。 关键词: 边值问题; 初值问题; MATLAB 中图分类号: O175 文献标识码: A 文章编号:1004 -1869( 2012) 01 -0023 -02 微分方程数值解中,侧重研究初值问题,即已知 x0 对其他时刻状态变量值进行求解的方法。在实际问题中,经常会遇到这样的问题: 已知部分状态在t = 0时刻的值,还知道部分状态在时刻t0 = tf 的值,这类问题即所谓边值问题。而在 MATLAB 语言中边值问题也是 ode45( ) 类函数无法直接求解的一类问题。本文采用将边值问题转化为初值问题的方法,给出二阶线性微分方程的边值问题的计算机求解。 1 边值问题的数学描述 二阶线性微分方程的边值问题的数学描述: ¨ y( x) + p( x)  y( x) + q( x) y( x) = f( x) ( 1) 其中 p( x) 、q( x) 和 f( x) 均为给定函数。假设在区间[a,b]上研究该方程的解,且已知在这两个边界点 上满足边界条件 y( a) = γa,y( b) = γb ( 2) 2 数值求解方法 由于不能直接获得在初始时刻的各个变量的值,因此求解初值问题的通常算法在解边值问题时是不能直接使用的。边值问题数值解法的基本思想是找出能够满足式( 2) 边值的相应初值 y( 0) 和  y( 0) ,然后再利用初值问题算法来求解这一初值问题。该算法也称为打靶算法( shooting method) 。 算法步骤: 求出下面方程初值问题的数值解 y1( b) ¨ y1( x) + p( x)  y1( x) + q( x) y1( x) = 0, y1( a) = 1, y1( a) = 0 求出下面方程初值问题的数值解 y2( b) ¨ y2( x) + p( x)  y2( x) + q( x) y2( x) = 0, y2( a) = 0, y2( a) = 1 求出下面方程初值问题的数值解 yp( b) ¨ yp( x) + p( x)  yp( x) + q( x) yp( x) = 0, yp( a) = 0, yp( a) = 1 若 y2( b) ≠ 0,则计算 m = γb - γay1( b) - yp( b) y2( b) 求出下面方程初值问题的数值解,则 y( x) 即为原边值问题的数值解 ¨ y( x) + p( x)  y( x) + q( x) y( x) = f( x) , y( a) = γa, y( a) = m 3 上面算法的 MATLAB 实现 求解时应该首先得出对应的一阶微分方程组模型,即设x1 = y,x2 =  y,则得出式( 1) 对应的方程组为:  x1 = x2  x2 = - q( x) x1 - p( x) x2 + f( x{ ) 则上面算法的 MATLAB 实现为 Function [t,y] = shooting( f1,f2,tspan,x0f,varargin) 32 * 收稿日期:2011 -11 -04 基金项目: 内蒙古自治区自然科学基金项

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  • 本文主要内容:介绍一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解求解举例,以及二阶微分方程可用该通解求解的情形。一、方程通解公式 一阶非齐次线性微分方程的解析式为:y'+p(x)=q(x),则其通解表达式如下:y=e^[-∫p...

    本文主要内容:介绍一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解求解举例,以及二阶微分方程可用该通解求解的情形。

    一、方程通解公式

    一阶非齐次线性微分方程的解析式为:y'+p(x)=q(x),

    则其通解表达式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

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    二、通解公式的实际应用

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    本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.

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    本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.

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    本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.

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    本例中,先要将y'前面的系数x变形除后,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.

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    本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.

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    此例中,要反过来用一阶非齐次线性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.

    三、用公式求特解情况举例

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    本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求满足y(x=1)=0时的特解。

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    本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求满足y(x=1)=0时的特解。

    四、二阶微分方程可使用通式求解举例

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    y''+y'/x=4,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=4。

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    y''=y'+x,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=-1,Q=x。

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    xy''+y'=lnx,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=lnx/x.

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  • 二阶常系数线性微分方程求解

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    原文:https://www.q-math.com/?p=282
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  • 常见微分方程求解小结

    千次阅读 2020-04-24 09:17:27
    这篇总结是针对同济版《高等数学》上册第七章微分方程的部分内容,主要目的是为了便于我自己以后的查找调用,因而省略了大部分推导过程,只是一个结论的总结。 这分总结分为三部分:齐次方程、二阶常系数非齐次线性...
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  • 2.齐次线性微分方程

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    0.引言   本节关于二阶微分方程,首先泛化欧拉方法到二阶...求解方法是化为一组一阶微分方程 x˙=u(1)\dot{x}=u\tag{1}x˙=u(1) u˙=f(t,x,u)(2)\dot{u}=f(t, x, u)\tag{2}u˙=f(t,x,u)(2) 其中u=x˙u=\dot{x}u=x˙。
  • 微分方程求解方法

    千次阅读 2020-12-13 09:21:34
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