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  • 当然实际问题应该在空间上和时间上有一定边界,那么所列的偏微分方程将涉及到对空间和时间的偏导。 这里需要注意的是,数学上的偏微分方程,并没有在抽象中做到与实际物理问题的完全等价。我们在对实际问题抽象时,...

    们针对一个实际问题,对其进行数学抽象,此时可能会用一个偏微分方程来表示。当然实际问题应该在空间上和时间上有一定边界,那么所列的偏微分方程将涉及到对空间和时间的偏导。

    这里需要注意的是,数学上的偏微分方程,并没有在抽象中做到与实际物理问题的完全等价。我们在对实际问题抽象时,只对该问题的普遍情况进行了抽象。这里的普通情况,针对的是该物理实体内部某一时刻的一般情形,所列的偏微分方程只是与这个一般情形相对应。而物理问题的边界(时间上的初始时刻、空间上的实体边缘)并没有列微分方程与之对应。

    因为没有完全对应,所列微分方程对实际问题的描述也就不充分。因而直接求解微分方程,得到的解并不是实际问题的解。要想得到实际问题的解,就需要在实际问题内部数学描述(微分方程)的基础上,再加上边界数学描述。这就是所谓的定解条件了。

    偏微分方程的定解条件包括初值条件边界条件。以偏微分方程
    x x x
    为例,

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  • 研究具体的物理系统,需要考虑研究对象所处的特定的“环境”,而周围环境的影响体现在边界上的物理状况,即边界条件。 常见的线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的...

          研究具体的物理系统,需要考虑研究对象所处的特定的“环境”,而周围环境的影响体现在边界上的物理状况,即边界条件

          常见的线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的数值;第二类边界条件,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上导数的数值;第三类边界条件,规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

    (未完待续……)

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  • 偏微分方程:指含有多元未知函数u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)u=u(x),x=(x1​,x2​,...,Xn​)及其若干阶偏导数的关系式 F(x,u,∂u∂x1,∂u∂x2,...,∂u∂xn,...,∂mu∂x1m1∂x2m2...∂xnmn)=0 ...

    偏微分方程:指含有多元未知函数 u = u ( x ) , x = ( x 1 , x 2 , . . . , X n ) u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n) u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)及其若干阶偏导数的关系式
    F ( x , u , ∂ u ∂ x 1 , ∂ u ∂ x 2 , . . . , ∂ u ∂ x n , . . . , ∂ m u ∂ x 1 m 1 ∂ x 2 m 2 . . . ∂ x n m n ) = 0 F(\bold x,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0 F(x,u,x1u,x2u,...,xnu,...,x1m1x2m2...xnmnmu)=0
    其中,最高阶导数的阶数 m = m 1 + m 1 + . . . + m n m=m_1+m_1+...+m_n m=m1+m1+...+mn
    方程的阶

    线性偏微分方程:偏微分方程中与未知函数有关的部分是 u u u u u u的偏导数的线性组合(系数与 u u u u u u的偏导数无关)。

    常系数线性微分方程:方程中u和u的偏导数的系数是常数

    意义:偏微分方程反映了变量u及多个自变量 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \bold x=(x_1,x_2,...,x_n) x=(x1,x2,...,xn)间的相互制约关系。

    数学物理方程:从物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程。有时还包括常微分方程和积分方程。

    偏微分方程的定解问题:泛定方程+定解条件

    • 泛定方程
    1. 波动方程 : ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 Δ u + f ( t , x → ) , a = T ρ , f ( t , x → ) = g ( t , x → ) ρ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),a=\sqrt{\frac{T}{\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{\rho} t22u=a2Δu+f(t,x ),a=ρT ,f(t,x )=ρg(t,x )

    2. 扩散方程: ∂ u ∂ t = a 2 Δ u + f ( t , x → ) ,   a = κ c ρ , f ( t , x → ) = g ( t , x → ) c ρ \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),\space a=\sqrt{\frac{\kappa}{c\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{c\rho} tu=a2Δu+f(t,x ), a=cρκ ,f(t,x )=cρg(t,x )

    3. 场位方程: Δ u = − f ( x ) x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , n = 1 , 2 , 3 \Delta u=-f(x) \quad \bold x=(x_1,x_2,...,x_n),\quad n=1,2,3 Δu=f(x)x=(x1,x2,...,xn),n=1,2,3

    • 定解条件
    1. 初始条件(历史情况的影响)

    2. 边界条件(周围环境对边界的影响)

      第I类边界条件(给顶端点值): u ∣ x = x i = μ i ( t ) u|_{x=x_i}=\mu_i(t) ux=xi=μi(t)

      第II类边界条件(给定端点梯度): ∂ u ∂ n ∣ x = x i = f i ( t ) \frac{\partial u}{\partial n}|_{x=x_i}=f_i(t) nux=xi=fi(t)

      第III类边界条件(混合I&II): [ a i u + β i ∂ u ∂ n ] x = x i = F i ( t ) [a_iu+\beta_i\frac{\partial u}{\partial n}]_{x=x_i}=F_i(t) [aiu+βinu]x=xi=Fi(t)

    3. 衔接条件(系统内部边界)

    实际应用:找出泛定方程+定解条件,然后利用多种方法解偏微分方程

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  • 该方法可以快速有效地求解具有初始边界值(IBVP)的线性和非线性偏微分方程。 根据边界条件,将初始条件扩展为傅立叶级数。 之后,将IBVP转换为K域中的迭代关系。 可以得到级数解或精确解。 通过比较FDTM获得的结果...
  • Matlab偏微分方程快速上手:使用pdetool工具箱求解二维偏微分方程,适用于数学建模、数学实验,简单的偏微分方程数值计算与工程问题。

    注:本人使用MatlabR2020a版本。

    1.pdetoolbox的调用

    打开MatlabR2020a,在命令行键入pdetool,进入pdetoolbox。
    输入pdetool进入pdetoolbox

    2.绘制定解区域(解的定义域)

    由图形界面可知,解的定义域是 x , y x,y x,y二维坐标构成的平面空间。我们必须设置自己的定解区域,才能定义自己的方程:
    导航栏下方的前5个按钮,分别对应绘制矩形求解区域、绘制按中心生成的矩形求解区域、绘制椭圆形(圆形)定解区域、绘制按中心生成的椭圆形(圆形)定解区域、绘制多边形求解区域。使用时,只需要点击后在绘图区域拖拽(多边形除外,多边形区域是在绘图区域点点以确定顶点),就可以生成定解区域了。
    这是前五个按钮
    上面这是前五个按钮。
    在这里,作者随意绘制了一个椭圆形区域,和一个矩形区域。操作的时候用鼠标拖动操作柄拖拽就可以。(也可以画好几个叠起来)
    在这里,作者随意绘制了一个椭圆形区域,和一个矩形区域
    真的是“随便”画一个就可以哦,因为在matlab下,求解区域的位置坐标精度达到了 1 0 − 16 10^{-16} 1016左右,手动画几乎不可能画准。所以下一步教大家怎么细致地调节边界的坐标。

    3.手动调整定解区域的大小

    双击刚刚绘制好的区域,弹出一个对话框,里面是我们的定解区域的边界坐标信息(注意不全是坐标),我们可以在这里手动调整定解区域的位置(以矩形区域为例):
    刚刚打开时的样子
    这就是刚刚打开时的样子。因为这个区域是作者随便画的,所以坐标信息就像随机数一样。下面我们输入精确的数值:Left: -1, Bottom: -1, Width: 2, Height: 2, Name 就用默认的就好。
    输入参数

    参数的意义:Left:左边界的坐标(x左),Bottom:底边界的坐标(y底),Width:区域宽度,Height:区域高度。这样就得到了 x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1],y\in[-1,1] x[1,1],y[1,1]的矩形求解区域。调整好的求解区域显示效果如下。绘制好的区域

    4.调整绘图窗口的显示区域(调整显示坐标限)

    有时候我们会发现我们的定解区域太大了,绘图窗口显示不下;或者定解区域太小了,看上去非常不协调。上一个例子中作者的纵坐标显然非常吻合,但是横坐标多出来了(显示了左右两边的白框),那么我强烈建议大家调整完定解区域的坐标以后,再调整一下绘图窗口的显示区域。
    点击导航栏Options,再点击Axes Limits…(意为调整坐标限),可以手动设置坐标限。这里作者勾选了Auto,这样matlab将自动帮我们调整坐标限,使得定解区域位于界面中央。Options还有其他操作,大家可以自己尝试一下,这里就不介绍了。调整坐标限

    调整后的效果如下。

    调整效果

    5.确定边界条件

    点击导航栏下方第6个按钮( ∂ Ω \partial \Omega Ω,意为 Ω \Omega Ω的边界条件),它用来显示边界。下面仍然以矩形区域为例。

    这个按钮
    双击边界

    此时显示了4个边界。双击任意一个边界,会弹出边界条件对话框,可以在这里随意设置边界条件。

    对话框

    在这里可以设置Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件(分别是第一、第二、第三边界条件),其中Robin边界条件和Neumann边界条件集成到一起了。按提示输入对应的系数就可。

    在这里作者使用了如下的边界条件:
    x = ± 1 , u = 0 ; y = ± 1 , ∂ u ∂ n = 0. x=\pm1,u=0;y=\pm1,\frac{\partial u}{\partial n }=0. x=±1,u=0;y=±1,nu=0.
    如果用了Dirichlet边界条件,边界将显示为红色;Neumann、Robin边界条件将显示蓝色,效果如下。

    边界条件

    6.确定偏微分方程的形式

    点击第7个图标(显示PDE字样),按提示输入偏微分方程的系数即可。在这里笔者求解波动方程: ∂ 2 u ∂ 2 t = ∇ u . \frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}=\nabla u. 2t2u=u.

    在这里插入图片描述

    工具箱提供的方程通式如下:
    1.椭圆型Elliptic,通用数学形式为 − ∇ ⋅ ( c ∇ u ) + a u = f ; -\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ; (cu)+au=f;
    2.抛物型Parabolic,通用数学形式为 d ∂ u ∂ t − ∇ ⋅ ( c ∇ u ) + a u = f ; d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ; dtu(cu)+au=f;
    3.双曲型Hyperbolic,通用数学形式为 d ∂ 2 u ∂ 2 t − ∇ ⋅ ( c ∇ u ) + a u = f ; d\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ; d2t2u(cu)+au=f;
    4.特征值方程Eigenmodes,若 λ \lambda λ为特征值,则数学形式为 − ∇ ⋅ ( c ∇ u ) + a u = λ d u . -\nabla \cdot(c\nabla u)+au=\lambda d u . (cu)+au=λdu.

    也可以自行指定求解的方程类型,比如比较常见的热传导、扩散等方程,可以在下面图示的下拉菜单中选择,但是仍然要按上面讲的方法手动设置系数。

    手动设置方程类型

    7.三角剖分

    由于Matlab pdetoolbox使用有限元方法求解,所以需要三角剖分。点击第8个图标(1个三角形图样)可以初始化剖分,点击第9个图标(4个三角形图样)可以增加剖分密度,这样可以提高计算精度,但是密度过高内存可能会爆掉,使用要谨慎。
    三角剖分

    8.设置初始条件,准备求解

    点击导航栏Solve,再点击Parameters…,进入求解参数设置器。在这里,第一行Time我们可以设置 t t t的求解范围及步长,默认情况下是不显示步长的(默认显示0:10意为从0求解到10,步长为1),我们按照Maltab等差数列的生成方法 a:j:b 就可以设置时间步长j了。

    第二行u(t0)、第三行u’(t0)表示 t 0 t_0 t0时刻的两个初始条件。这里作者使用了如下的初始条件。

    初始条件
    第四行和第五行表示相对容差和绝对容差,笔者查看了Matlab帮助中心,大概了解到这两个参数似乎与浮点数0的截断精度有关,太小的话会延长计算时间,如果你想了解更多,笔者把链接提供上来Absolute tolerance - MATLAB & Simulink - MathWorks 中国,假如我们对计算精度没有要求的话,使用默认值就可以了。这里笔者为了演示使用了0.001和0.0001。如果想跟着一起做,那么笔者把方程的代码也放上来:第一个是atan(cos(pi/2*x)),第二个是3*sin(pi*x).*exp(cos(pi*y))

    9.求解

    点击导航栏下方按钮(一个“ = = =”字样的按钮,就是增加三角剖分密度右边那个按钮),这个按钮表示开始求解。如果求解完成的话会显示这个图。在这里可以点击“放大镜”按钮寻找感兴趣的区域放大来观察细节(放大之后想要缩小就要用上面步骤4的方法重新设置坐标限了,没有找到缩小的快捷键)。求解结果
    它直接显示了 t = 10 t=10 t=10 u u u 求 解 区 域 Ω 求解区域\Omega Ω的图像。这样的输出缺乏直观性,我们点击导航栏下方一个长得像matlab的logo的按钮(就是“ = = =”按钮右边那个),调整绘图格式。

    输出格式窗口
    这个窗口有许多功能,作者就不再一一详述了。大家可以自行调试。比较常用的有“Contour”绘制等高线图,“Arrows”绘制向量场,“Height(3-D plot)”按3D模式输出(这个比较常用),“Animation”按动画形式输出(2D\3D都支持),此选项勾选后右边的Option选项会变亮,我们可以点进去在里面设置1秒显示的帧数、重复播放的次数。这里作者按照25阶变色、‘jet’ Colormap、向量场为 − ∇ u -\nabla u u的形式静态输出 t = 0.5 t=0.5 t=0.5时的结果,如下图所示。
    在这里插入图片描述

    这就是matlab pdetool工具箱的主要使用方法,本人也是小白一枚,所以欢迎大家批评指正,可以在评论区留下你的想法。

    参考:偏微分方程(姜礼尚《数学物理方程讲义》第三版)(更新完毕,附课件)来自于西北大学数统学院的马老师的数理方程视频课,是按数学系的讲法讲的数理方程,里面有那么两三个视频是讲如何用Matlab求解偏微分方程,如果你懂偏微分方程的话进去听一遍就会了。
    感觉应该是疫情期间这位老师的网课视频?那么西北大学的学生们也太幸福了,因为马老师讲的真的很好!人也很好玩哈哈,还去b站里别的老师的微分几何课程下面评论,正巧那个被评论的老师的同学就在b站讲拓扑哈哈,那个老师讲的也特别细我还给听完了(浙江理工庄老师)。扯远了!但是还是安利!!!

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空空如也

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偏微分方程边界条件