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  • 协方差函数

    2014-03-31 19:37:59
    C 协方差 数值代数 原创 开发技术 代码 函数可以直接调用的
  • 1. 样本自协方差函数2. 自协方差函数3. 自相关函数4. 偏自相关系数1. 样本自协方差函数对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:2. 自协方差函数自...

    1. 样本自协方差函数

    2. 自协方差函数

    3. 自相关函数

    4. 偏自相关系数

    1. 样本自协方差函数

    对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:

    2b84305fe24d99b08d763da932f205c0.png

    2. 自协方差函数

    自协方差函数是描述随机信号

    在任意两个不同时刻t,t-k,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述
    在两个时刻取值的
    起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

    协方差定义为:

    时间序列的自协方差指:时间序列或者信号,经过时间平移后,与自己的协方差

    f203179d04ca3d35fab90232c219745a.png

    而对于中心化AR模型,均值为0,即

    所以上式表示为

    07599226333c527ed874b945a5146d2d.png

    在平稳AR模型等式两边同乘以

    再取数学期望可得

    95619ae7118abdd6520007cdc28b5c79.png

    得到自协方差函数的递推公式

    59fbc12311760cc30d10ffdfb888e490.png

    Yule-Walker方程
    平稳AR序列的自协方差函数满足

    feb195adf35c1516708ab5f84b54658f.png

    其中

    c031ab7484e77864997bb70681077766.png

    a2500988b9bebccc8db3801c785f5312.png

    此方程的意义在于:
    已知AR模型的具体形式,可计算出自协方差函数;已知自协方差函数,可以估计出模型的未知参数。而在实际应用中,选用样本自协方差函数估计自协方差函数


    3.自相关函数(Autocorrelation function)

    自相关函数是描述随机信号

    在任意两个不同时刻t,t+k的取值之间的
    相关程度
    公式定义

    0aed5b872b1b7760d7035a9dc0db4857.png

    对于零均值的平稳AR序列,自相关函数为

    105509b63bd1077d07d59f5873497ed9.png

    自相关系数的递推公式

    1b060f2c377d42c067d3b655e49072e2.png

    自相关系数按负指数衰减且具有拖尾性

    4 . 偏自相关系数

    自相关系数直接反映了随机变量

    之间的相关关系,不考虑中间k-1个随机变量的影响

    偏自相关系数把中间k-1个随机变量看作已知的条件下来研究
    之间的相关关系

    公式定义

    63dfc3db37eea6687394178cd1538fd7.png

    其中,

    条件期望

    ddd153d555532ce226f67051e4e3618d.png

    考虑中心化平稳AR序列,可用过去的k个序列作k阶回归拟合

    ,即:

    c3e57386da01d75d300852b50a5ddcb9.png

    两边取数学期望得:

    8afae58f503b8c508ae82b5497904262.png

    则有:

    94f288960ea648361d3f2520dc14d6b4.png

    所以, 偏自相关系数恰好就等于k阶自回归拟合中的滞后k阶偏自相关系数

    a12977b070dad9e7acc04ecd4c0b536c.png

    也就是说,计算偏自相关系数可用通过计算k阶自回归拟合得到

    Levinson递推公式

    如果

    正定,对

    36cc3a92bc0c6cb3a3eb5cdbfa26aa8d.png

    偏自相关系数在p之后的值均为0 ,即截尾性

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  • 文章目录期望方差协方差协方差矩阵相关系数自协方差协方差函数 / 核函数期望函数 期望   对离散型随机变量X,其概率分布函数(probability density function,PMF)为P(X)P(X)P(X),则: E(X)=μ=∑i=1nXiP(Xi)E(X...

    期望

      对离散型随机变量X,其概率分布函数(probability density function,PMF)为P(X)P(X),则:
    E(X)=μ=i=1nXiP(Xi)E(X)=\mu=\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}P(X_{i})
      如果等概,就退化成我们从小就接触到的平均值E(X)=i=1nXinE(X)=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}}{n}
      对连续性随机变量X,其概率密度函数(probability mass function,PDF)为f(x)f(x),则:
    E(X)=μ=+xf(x)dxE(X)=\mu=\int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx
      附带说一下,累计分布函数(cumulative distribution function,CDF)是PDF的积分形式,设其为F(x)F(x),则:
    F(x)=xf(x)dxF(x)=\int ^{x}_{-\infty}f(x)dx


    方差

      对离散型随机变量X,其概率分布函数为P(X)P(X),则:
    Var(X)=D(X)=σ2=E((XE(X))2)=i=1n(XiE(X))2P(Xi)Var(X)=D(X)=\sigma^{2}=E((X-E(X))^{2})=\sum\limits^{n}_{i=1}(X_{i}-E(X))^{2}P(X_{i})
    =i=1nXi2P(Xi)E(X)2=E(Xi2)E(X)2=\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}^{2}P(X_{i})-E(X)^{2}=E(X_{i}^{2})-E(X)^{2}
      如果等概,就退化成我们从小就接触到的方差公式D(X)=i=1n(XiE(X))2nD(X)=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1}(X_{i}-E(X))^{2}}{n}

      需要说明的是,以上的方差计算公式是在我们得到的n就是总体个数的情况下,直接计算总体的方差,例如要统计一个班的高中生的身高的方差,这个班总共40人,n=40;如果X是样本统计量,也就是说,没有得到总体的数据,只有采样样本数据,就要考虑无偏估计,例如我们要统计一个省的高中生的身高的方差,只有采样的一些高中生的身高数据,此时方差公式应为D(X)=i=1n(XiE(X))2n1D(X)=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1}(X_{i}-E(X))^{2}}{n-1},其实就是分母变为n-1,如果还用总体方差公式对样本求方差,求得的方差要小于实际的总体方差(有偏估计),关于这一点可以看blog:https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/77859173。
      对连续性随机变量X,其概率密度函数为f(x)f(x),则:
    Var(X)=D(X)=σ2=E((XE(X))2)=+(xE(X))2f(x)dxVar(X)=D(X)=\sigma^{2}=E((X-E(X))^{2})=\int^{+\infty}_{-\infty} (x-E(X))^{2}f(x)dx
    =+x2f(x)dxE(X)2=E(X2)E(X)2=\int^{+\infty}_{-\infty} x^{2}f(x)dx-E(X)^{2}=E(X^{2})-E(X)^{2}


    协方差

      对于单一的随机变量,我们考虑其期望与方差,当想比较两个随机变量,我们引入了协方差(两个随机变量可以对应数据分析中的两个字段)。协方差,看名字就知道,其定义来源于方差。对两个随机变量X和Y,其协方差就是:
    cov(X,Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]=E(XY)E(X)E(Y)cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)
      如果等概,就退化成我们从小就接触到的协方差公式cov(X,Y)=i=1n(xixˉ)(yiyˉ)n1cov(X,Y)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{n-1},这个公式考虑了无偏估计。

    1. 当X=Y,cov(X,Y)=cov(X,X)=D(X)cov(X,Y)=cov(X,X)=D(X)
    2. 当X,Y独立,cov(X,Y)=0cov(X,Y)=0,因为E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y),但是cov(X,Y)=0cov(X,Y)=0,不一定X,Y独立,此时称为不相关。
    3. 协方差为正,两者正相关,协方差为负,两者负相关。

      协方差是会受到单位的影响的,而相关系数就是消除了量纲的影响,来看两者的相关性。

    协方差矩阵

      协方差只能处理两个随机变量,当有多个随机变量,就引出了协方差矩阵。以三个随机变量X,Y,Z为例:
    cov=[cov(X,X)cov(X,Y)cov(X,Z)cov(Y,X)cov(Y,Y)cov(Y,Z)cov(Z,X)cov(Z,Y)cov(Z,Z)] cov= \left[ \begin{matrix} cov(X,X) & cov(X,Y) & cov(X,Z) \\ cov(Y,X) & cov(Y,Y) & cov(Y,Z) \\ cov(Z,X) & cov(Z,Y) & cov(Z,Z) \end{matrix} \right]

    相关系数

    ρX,Y=cov(X,Y)σXσY\rho_{X,Y} = \frac{cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}

    1. ρX,Y=0\rho_{X,Y}=0,与cov(X,Y)=0cov(X,Y)=0等价,均表示不相关。
    2. ρX,Y1\rho_{X,Y}\leq 1
    3. ρX,Y=1\rho_{X,Y}= 1的充要条件是P(Y=aX+b)=1P(Y=aX+b)=1,即X,Y线性相关。

    自协方差

      一般指时间序列或者信号,经过时间平移后,与自己的协方差,在随机过程中体现较多。


    协方差函数 / 核函数

      设随机过程为X(t),定义域为D,t1,t2Dt_{1},t_{2}\in D,定义协方差函数CX(t1,t2)C_{X}(t_{1},t_{2})t1t_{1}t2t_{2}的协方差,形成的函数。
    CX(t1,t2)=E{[X(t1)μX(t1)][X(t2)μX(t2)]}C_{X}(t_{1},t_{2})=E\{[X(t_{1})-\mu_{X}(t_{1})][X(t_{2})-\mu_{X}(t_{2})]\}
      其中μ(t)\mu(t)为期望函数。
      可以看出,协方差函数默认指的是随机过程的自协方差函数。若考虑互协方差函数,就需要考虑两个随机过程X(t)与Y(t),互协方差函数定义如下。
    CX,Y(t1,t2)=E{[X(t1)μX(t1)][Y(t2)μY(t2)]}C_{X,Y}(t_{1},t_{2})=E\{[X(t_{1})-\mu_{X}(t_{1})][Y(t_{2})-\mu_{Y}(t_{2})]\}


    期望函数,方差函数

      对随机过程X(t)而言,期望函数定义如下:
    μX(t)=E[X(t)]\mu_{X}(t)=E[X(t)]
      其实就是随机过程每个点的期望,形成的函数。

      对随机过程X(t)而言,方差函数定义如下:
    σX2(t)=E{[X(t)μX(t)]2}\sigma^{2}_{X}(t)=E\{[X(t)-\mu_{X}(t)]^{2}\}
      其实就是随机过程每个点的方差,形成的函数。


    参考资料:
    https://blog.csdn.net/wzgbm/article/details/51680540
    https://www.cnblogs.com/hyb221512/p/8975624.html
    https://wenku.baidu.com/view/c272331f5f0e7cd18425366e.html

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  • c语言实现协方差函数

    2015-10-23 14:13:25
    用c语言实现协方差函数,方便c语言算法的学习。把c语言用在应用数学上,解析数学公式。
  • 半变异函数和协方差函数将邻近事物比远处事物更相似这一假设加以量化。半变异函数和协方差都将统计相关性的强度作为距离函数来测量。
  • 稳定性 与自协方差函数

    千次阅读 2018-10-03 22:26:19
    二、自协方差函数(时间序列) (1)目标 a,记录各类随机变量,并且找出两个随机变量之间的协方差 b, 明确,时间序列描述为一系列随机过程的实现 c, 定义自协方差函数 (2)什么是协方差 X,Y 是两个随机变量,协方差则是...

    一、稳定性问题
    (1) 弱稳定性的几个特征:
    a, 均值并没有系统性的变化(无趋势)
    b,方差也没有系统性的变化
    c,没有周期性的浮动

    二、自协方差函数(时间序列)
    (1)目标
    a,记录各类随机变量,并且找出两个随机变量之间的协方差
    b, 明确,时间序列描述为一系列随机过程的实现
    c, 定义自协方差函数

    (2)什么是协方差
    X,Y 是两个随机变量,协方差则是测量这X Y 线性相关程度的

    Cov(X,Y)=E[(Xμx)(Yμy)]=Cov(Y,X)Cov(X,Y) = E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]=Cov(Y,X)

    (3)什么是随机过程
    就是随机变量的一个集合
    X1,X2,X3,...X_1,X_2,X_3,...是随时间变化的各个随机变量,且过程是随机的
    而且满足,XtX_t~distribution(μ,σ)distribution(\mu ,\sigma)

    (4)自协方差函数
    对于在时间点s和在时间点t的两个随机变量而言
    我们首先这样定义
    γ(s,t)=Cov(Xs,Xt)\gamma_{(s,t)} = Cov(X_s , X_t)
    γ(t,t)=Cov(Xt,Xt)=Var(Xt)=σt2\gamma_{(t,t)} = Cov(X_t , X_t) = Var(X_t) = \sigma_t^2

    γk=γ(t,t+k)ck\gamma_k = \gamma_(t,t+k) \approx c_k
    这时候我们称呼γ\gamma是自协方差函数,而ckc_k为自协防差函数系数。为什么呢?因为在一个稳定的时间序列里面,我们会发现,在相同的时间段里面,首尾两个端点应该满足一些线性关系

    展开全文
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    协方差函数变差函数都是衡量空间自相关性的变化情况。

     

    (一)在理解协方差函数和变差函数之前先弄清楚协方差相关系数的含义:

    参考知乎回答:https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/134902061

    这里直接给出结论:

    协方差

    公式理解

    如果有x和y两个变量,每个时刻的 “x值与其均值之差” 乘上 “y值与其均值之差” 得到一个乘机,再对每个时刻的乘机求和并计算期望值。

    可以通俗理解为:

    (1)协方差值的正负可以反映 x y两个变量在变化过程中是同向变化还是反向变化

    (2)协方差值的大小可以反映 x y两个变量同向或反向变化的程度

    公式化简:

     

    相关系数:

     或   

    公式理解:

    相关系数为x y 变量的协方差除以 x变量的标准差和 y变量的标准差。

    目的:消除x y变量的量纲影响,即消除变量的变化幅度对协方差大小的影响,可以理解为标准化的协方差。

     

    (二)

    协方差函数

    情况一:在随机过程中,协方差函数是指随机过程z(t)在t1和t2时刻两个随机变量的z(t1)和z(t2)的二阶混合中心矩。

     

     

    情况二:如果Z(x)为区域化变量,协方差函数是指空间两点x和x+h处两个随机变量z(x)和z(x+h)的二阶混合中心矩。

     

     

    变差函数:

    区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半

    公式化简:

     

     

     

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    2015-05-21 19:25:00
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  • matlab中的协方差函数

    万次阅读 2017-07-29 14:43:40
    协方差:引入协方差的公式 说明:这里有n个样本,计算时以n-1代替n是以较小的样本集逼近总体的标准差,即统计上的“无偏估计”,matlab中方差、标准差、协方差计算都是默认n-1,后面会有验证。 仿照方差的定义...
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  • 协方差函数matlab代码

    千次阅读 2012-11-07 11:34:14
    z=[1,5;3,4;4,6;5,3]; ...%matlab函数结果 % b=cov(z) %  % 2.9167 -0.8333 % -0.8333 1.6667 %% z_mean=mean(z); result = zeros(2,2); for i = 1:2  for j=1:2  result(i,j)=(z(:,i
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空空如也

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协方差函数