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  • 协方差矩阵计算

    2018-04-22 15:56:00
     协方差的定义,EX为随机变量X的数学期望,同理,EXY是XY的数学期望  举例:  Xi 1.1 1.9 3  Yi 5.0 10.4 14.6  E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2  E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10  E(XY)=(1.1×5.0+1...

    cov(x,y)=EXY-EX*EY
     
      协方差的定义,EX为随机变量X的 数学期望,同理,EXY是XY的 数学期望
     
      举例:
     
      Xi 1.1 1.9 3
     
      Yi 5.0 10.4 14.6
     
      E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2
     
      E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10
     
      E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02
     
      Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02
     
      此外:还可以计算:D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(1.1^2+1.9^2+3^2)/3 - 4=4.60-4=0.606 σx=0.778888
     
      D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=(5^2+10.4^2+14.6^2)/3-100=15.44 σy=3.93
     
      X,Y的相关系数:
     
      r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.778888×3.93) = 0.986
     
      表明这组数据X,Y之间相关性很好!
     
     
    补充:计算协方差矩阵
            如计算矩阵    1     2     3
                    10    20    30  的协方差矩阵。
    计算结果为:
            40.5000   81.0000   121.5000
            81.0000   162.0000  243.0000
            121.5000  243.0000  364.5000
     

    协方差  ?https://www.cnblogs.com/terencezhou/p/6235974.html

    通常,在提到协方差的时候,需要对其进一步区分。(1)随机变量的协方差。跟数学期望、方差一样,是分布的一个总体参数。(2)样本的协方差。是样本集的一个统计量,可作为联合分布总体参数的一个估计。在实际中计算的通常是样本的协方差。

    随机变量的协方差

    在概率论和统计中,协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关,协方差越大,完全线性无关,协方差为零。定义如下。
     
    cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]
    当X,Y是同一个随机变量时,X与其自身的协方差就是X的方差,可以说方差是协方差的一个特例。
     
    cov(X,X)=E[(X−E[X])(X−E[X])]
     
    var(X)=cov(X,X)=E[(X−E[X])2]
    由于随机变量的取值范围不同,两个协方差不具备可比性。如X,Y,Z分别是三个随机变量,想要比较X与Y的线性相关程度强,还是X与Z的线性相关程度强,通过cov(X,Y)与cov(X,Z)无法直接比较。定义相关系数η为
     
    通过X的方差var(X)与Y的方差var(Y)对协方差cov(X,Y)归一化,得到相关系数η,η的取值范围是[−1,1]。1表示完全线性相关,−1表示完全线性负相关,0表示线性无关。线性无关并不代表完全无关,更不代表相互独立。

    样本的协方差

    在实际中,通常我们手头会有一些样本,样本有多个属性,每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点,我们需要分析两个维度之间的线性关系。协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数,由于不知道具体的分布,只能通过样本来进行估计。
    设样本对应的多维随机变量为X=[X1,X2,X3,...,Xn]TX=[X1,X2,X3,...,Xn]T,样本集合为{x⋅j=[x1j,x2j,...,xnj]T|1⩽j⩽m},m为样本数量。与样本方差的计算相似,a和b两个维度样本的协方差公式为,其中1⩽a⩽n,1⩽b⩽n,n为样本维度
     
    这里分母为m−1m−1是因为随机变量的数学期望未知,以样本均值代替,自由度减一。

    转载于:https://www.cnblogs.com/shanlizi/p/8907716.html

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  • 协方差矩阵计算方法

    2018-12-25 11:01:00
    协方差矩阵计算方法 2017年11月09日 16:05:51Rise_1024阅读数:5468 1. 协方差定义 X、Y 是两个随机变量,X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为: 其中: 、 2. 协方差矩阵定义 矩阵中的...

    协方差矩阵计算方法

     

    1. 协方差定义

     

    X、Y 是两个随机变量,X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为:

    其中:

     、

     

    2. 协方差矩阵定义

    矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的,这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample),那么每一列就是一个随机变量。

     

    协方差矩阵:

    协方差矩阵的维度等于随机变量的个数,即每一个 observation 的维度。在某些场合前边也会出现 1 / m,而不是 1 / (m - 1).

    3. 求解协方差矩阵的步骤

    举个例子,矩阵 X 按行排列:

     
     

    1. 求每个维度的平均值

     
     

    2. 将 X 的每一列减去平均值

     
     
    其中:
     

    3. 计算协方差矩阵

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/jeasonit/p/10172748.html

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  • 详解协方差与协方差矩阵计算

    千次阅读 2018-01-26 21:31:18
    对于一般的分布,直接代入E(X)之类的就可以计算出来了,但真给你一个具体数值的分布,要计算协方差矩阵,根据这个公式来计算,还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多,这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么...

    协方差的定义

     

    对于一般的分布,直接代入E(X)之类的就可以计算出来了,但真给你一个具体数值的分布,要计算协方差矩阵,根据这个公式来计算,还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多,这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。

    记住,X、Y是一个列向量,它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定

    则X表示x轴可能出现的数,Y表示y轴可能出现的。注意这里是关键,给定了4个样本,每个样本都是二维的,所以只可能有X和Y两种维度。所以

     

     

    用中文来描述,就是:

    协方差(i,j)=(第i列的所有元素-第i列的均值)·(第j列的所有元素-第j列的均值)

    注:这里(第i列的所有元素-第i列的均值)形成的行向量·(第j列的所有元素-第j列的均值)形成的行向量的转置,再将该点乘结果做平均(在这里,就是除以4)才得到协方差(i,j),但是,由于下面的例子中要求的协方差阵中各个协方差均需要取相同的平均4,因此该协方差求解中省去了求平均的过程,最后求的协方差阵与未求平均的协方差阵拥有相同的特征向量(特征根变为原来的1/4),所以不做平均也可以

    这里只有X,Y两列,所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵,下面分别求出每一个元素:

           所以,按照定义,给定的4个二维样本的协方差矩阵为:

    (注:实际python求解该X,Y的协方差阵也是得到其各个元素的1/4),如下图所示

           






     

        

    用matlab计算这个例子

    z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

    cov(z)

    ans =

        2.9167   -0.3333

       -0.3333    4.0000

    可以看出,matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以,协方差的matlab计算公式为:

        协方差(i,j)=(第i列所有元素-第i列均值)*(第j列所有元素-第j列均值)/(样本数-1)

           下面在给出一个4维3样本的实例,注意4维样本与符号X,Y就没有关系了,X,Y表示两维的,4维就直接套用计算公式,不用X,Y那么具有迷惑性的表达了。

     

     常见的4维样本的计算如下:

     

        

                    

            (3)与matlab计算验证

                         Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]

                         cov(Z)

                         ans =

                              1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                              1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                             -1.0000   -1.0000    1.3333    0.6667

                              -1.0000   -1.0000    0.6667    1.3333

           可知该计算方法是正确的。我们还可以看出,协方差矩阵都是方阵,它的维度与样本维度有关(相等)。参考2中还给出了计算协方差矩阵的源代码,非常简洁易懂,在此感谢一下!

     

    参考:

    [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

    [2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html

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  • 协方差矩阵的一个计算性质:Cov(AX+a)=ACov(X)A^T,具体推导过程如下图: 记录一下,备忘~ 转自:https://zhidao.baidu.com/question/565572069073332924.html

    协方差矩阵的一个计算性质:Cov(AX+a)=ACov(X)A^T,具体推导过程如下图:

     记录一下,备忘~

    转自:https://zhidao.baidu.com/question/565572069073332924.html

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空空如也

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协方差矩阵计算