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  • 埃尔米特插值算法
    2021-08-04 20:04:59

    通过例子熟悉三次埃尔米特插值和三次样条插值的区别:

    population=[58260,69458,100818,113368,126583,133972,141178];
    year = [1953, 1964, 1982, 1990, 2000, 2010, 2020];
    p1 = pchip(year, population, 2021:2030)   %分段三次埃尔米特插值预测
    p2 = spline(year, population, 2021:2030)  %三次样条插值预测
    figure(1)
    plot(year, population,'o',2021:2030,p1,'r*-',2021:2030,p2,'bx-')
    legend('样本点','三次埃尔米特插值预测','三次样条插值预测','Location','SouthEast')

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    一、埃尔米特插值

    • 问题
      在实际问题中,对所构造的插值多项式,不仅要求函数值重合,而且要求导数重合
      即:要求插值函数 P ( x ) P(x) P(x) 满足: P ( x i ) P(x_i) P(xi) = f ( x i ) f(x_i) f(xi), P ‘ ( x i ) P^`(x_i) P(xi) = f ‘ ( x i ) f`(x_i) f(xi), i = 1 , 2 , . . . , n i=1,2,...,n i=1,2,...,n
      把此类插值多项式称为埃尔米特(Hermite)插值多项式或称带导数的插值多项式,记为 H ( x ) H (x) H(x)
      H ( x ) H (x) H(x) 存在且唯一

    • 实例分析
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      习题


    二、分段插值

    2.1 龙格现象

    一般总认为多项式插值函数 L n ( x ) L_n(x) Ln(x)的次数n越高逼近被插 f ( x ) f_(x) f(x)的精度越好,但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点,当n→∞时, L n ( x ) L_n(x) Ln(x)不一定收敛于 f ( x ) f_(x) f(x)
    20世纪初龙格(Runge)就给了一个等距节点插值多项式 L n ( x ) L_n(x) Ln(x)不收敛于 f ( x ) f_(x) f(x)的例子
    高次插值可能会使插值误差増大
    在这里插入图片描述

    • 实例解析
      在这里插入图片描述

    2.2 分段线性插值

    分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起
    来逼近 f ( x ) f(x) f(x).
    在这里插入图片描述
    通过定义我们了解到:
    在这里插入图片描述

    • 给定区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]划分: a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b a=x_0<x_1<...<x_n =b a=x0<x1<...<xn=b,如何求解分段线性插值多项式 I ( x ) I(x) I(x)?
      在这里插入图片描述
    • 误差估计⭐
    • 定理
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    • 证明
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      习题
    • 分段线性插值的缺点
      分段线性插值在节点处不可导,光滑性差

    2.3 分段三次Hermite插值

    分段线性插值:计算量小,误差为 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2).
    缺点:在节点处不可导, 光滑性差.

    • 问题
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    • 解决
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    • 误差
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    习题

    • 例题
    1. f ( x ) f(x) f(x)= x 4 x^4 x4在[ x i x_i xi, x i x_i xi + _+ + 1 _1 1]的3次Hermite插值多项式
      在这里插入图片描述
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    2. 在这里插入图片描述
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    • 例题
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    • 解析
      在这里插入图片描述

    展开全文
  • 数值计算之 插值法(5)分段插值,埃尔米特插值前言分段插值分段线性插值分段二次插值埃尔米特Hermite插值埃尔米特插值原理埃尔米特插值公式分段三次埃尔米特插值后记 前言 之前记录了多项式插值法和龙格现象,以及...

    前言

    之前记录了多项式插值法和龙格现象,以及使用切比雪夫零点插值的方法。本篇讲解分段插值和埃尔米特插值法。

    分段插值

    当多项式次数升高时,可能出现龙格现象,插值精度不一定升高。因此,可以将相邻的节点作为一个插值区间,形成多个插值多项式的组合。

    分段线性插值

    加入待插值函数 f ( x ) f(x) f(x)有节点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , … , ( x n , f ( x n ) ) , x 0 < x 1 < ⋯ < x n (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots,(x_n,f(x_n)),x_0<x_1<\dots<x_n (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),,(xn,f(xn)),x0<x1<<xn,则用线性函数 f i ( x ) f_i(x) fi(x)插值 ( x i , f ( x i ) ) , ( x i + 1 , f ( x i + 1 ) ) , 0 < i < n − 1 (x_i,f(x_i)),(x_{i+1},f(x_{i+1})),0<i<n-1 (xi,f(xi)),(xi+1,f(xi+1)),0<i<n1,然后将所有 f i f_i fi组合成 f ( x ) f(x) f(x)的插值结果。
    在这里插入图片描述
    由上图可以看出,分段插值结果精度较好,但不平滑。

    分段二次插值

    与分段线性插值类似,将每段用于插值的多项式换为二次多项式,就是分段二次插值。

    实际上,分段多次插值就是将插值区间分段后,运用多项式插值法处理每一段,拼接后获得插值结果。

    虽然分段多次插值法能够提升插值的精度,但是插值结果失去了平滑性。

    埃尔米特Hermite插值

    埃尔米特插值原理

    所谓平滑性,即插值结果在整个插值区间上的连续性和可导性。由于分段插值只考虑了局部节点的函数值,插值结果在整体区间上可能不可导。

    为了满足插值平滑性需求,插值不仅考虑节点处的函数值,还要考虑其导数值,就是埃尔米特插值法。

    埃尔米特插值原理:在插值区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,对于待插值函数 f ( x ) f(x) f(x),其节点函数值满足 ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , … , ( x n , f ( x n ) ) (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots,(x_n,f(x_n)) (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),,(xn,f(xn)),节点导数值满足 ( x 0 , f ′ ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ′ ( x 1 ) ) , … , ( x n , f ′ ( x n ) ) (x_0,f'(x_0)),(x_1,f'(x_1)),\dots,(x_n,f'(x_n)) (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),,(xn,f(xn)) a < x 0 < x 1 < ⋯ < x n < b a<x_0<x_1<\dots<x_n<b a<x0<x1<<xn<b,则存在唯一一个2n+1次多项式 H ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a 2 n + 1 x 2 n + 1 H(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{2n+1}x^{2n+1} H(x)=a0+a1x++a2n+1x2n+1作为 f ( x ) f(x) f(x)的插值结果。

    埃尔米特插值公式

    可以通过拉格朗日插值的思维来构造埃尔米特插值:
    H ( x ) = ∑ j = 0 n ( P j ( x ) f ( x j ) + Q j ( x ) f ′ ( x j ) ) P j ( x ) = { 0 , x ≠ x j 1 , x = x j Q j ( x ) = { 0 , x ≠ x j 0 , x = x j P j ′ ( x ) = { 0 , x ≠ x j 0 , x = x j Q j ′ ( x ) = { 0 , x ≠ x j 1 , x = x j H(x)=\sum_{j=0}^n (P_j(x)f(x_j)+Q_j(x)f'(x_j)) \\ \quad \\ P_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 1,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ Q_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 0,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ P'_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 0,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ Q'_j(x)=\begin{cases} 0,&x \ne x_j \\ 1,&x=x_j \\ \end{cases} \\ \quad \\ H(x)=j=0n(Pj(x)f(xj)+Qj(x)f(xj))Pj(x)={0,1,x=xjx=xjQj(x)={0,0,x=xjx=xjPj(x)={0,0,x=xjx=xjQj(x)={0,1,x=xjx=xj

    假设 L j ( x ) L_j(x) Lj(x)是使用拉格朗日插值法对 f ( x ) f(x) f(x)的函数值插值时的基函数,则埃尔米特插值公式可具体表示为:
    P j ( X ) = ( 1 − 2 ( x − x j ) L j ′ ( x j ) ) L j 2 ( x ) Q j ( x ) = ( x − x j ) L j 2 ( x ) H ( x ) = ∑ j = 0 n ( P j ( x ) f ( x j ) + Q j ( x ) f ′ ( x j ) ) P_j(X)=(1-2(x-x_j)L'_j(x_j))L_j^2(x) \\ \quad \\ Q_j(x)=(x-x_j)L_j^2(x) \\ \quad \\ H(x)=\sum_{j=0}^n (P_j(x)f(x_j)+Q_j(x)f'(x_j)) \\ \quad \\ Pj(X)=(12(xxj)Lj(xj))Lj2(x)Qj(x)=(xxj)Lj2(x)H(x)=j=0n(Pj(x)f(xj)+Qj(x)f(xj))

    分段三次埃尔米特插值

    埃尔米特插值的次数也很高,因此也会产生龙格现象。因此,以相邻两个节点分段,采用埃尔米特插值每一段函数的方法,就是分段三次埃尔米特插值法。
    在这里插入图片描述

    分段三次埃尔米特插值的结果在节点附近是比较平滑的。但是,三次埃尔米特插值只考虑了节点处的一阶导,因此其平滑性也有局限性。

    后记

    下篇将介绍样条插值,也是插值法的最后一章。

    展开全文
  • 要求:完成下列这些数据的插值,并将结果保存到一个EXCEL表格中。要求至少选取两种插值方法,并对1号池中的这些指标做出插值后图像(显示在同一个图像中)

    要求:完成下列这些数据的插值,并将结果保存到一个EXCEL表格中。要求至少选取两种插值方法,并对1号池中的这些指标做出插值后图像(显示在同一个图像中)
    在这里插入图片描述
    Z.mat在这里插入图片描述

    load Z.mat  
    x=Z(1,:) &1 3 5 7 9 11 13 15
    [n,m]=size(Z)
    Ytype={'周数','轮虫','溶氧','COD','水温','PH值','盐度','透明度','总碱度','氯离子','透明度','生物量'}
    P=zeros(n-1,15)  %插值后得到的值可以先保存到一个矩阵中,然后再复制到Excel中
    P1=zeros(n-1,15)
    

    数据比较多,可以用循环方式进行插值

    for i=2:n
        y=Z(i,:)
        new_x=1:15
        p=pchip(x,y,new_x) %调用三次埃尔米特插值函数
        p1=spline(x,y,new_x) %调用三次样条插值函数
        subplot(4,3,i-1) %将所有图依次变现在4*3的一幅大图上
        plot(x,y,'o',new_x,p,'k-',new_x,p1,'r-') %画出每次循环处理后的图像
        axis([0 15,-inf,inf]) %设置坐标轴的范围,这里设置横坐标轴0-15,纵坐标无要求
        xlabel('星期') %x轴标题
        ylabel(Ytype{i}) %y轴标题
        P(i-1,:)=p %插值结果保存在矩阵中
        P1(i-1,:)=p1
    end
    

    最后输出矩阵P和P1

    完整代码如下:

    load Z.mat
    x=Z(1,:)
    [n,m]=size(Z)
    Ytype={'周数','轮虫','溶氧','COD','水温','PH值','盐度','透明度','总碱度','氯离子','透明度','生物量'}
    P=zeros(n-1,15)
    P1=zeros(n-1,15)
    disp('正在进行三次埃尔米特插值与三次样条插值,请等待')
    for i=2:n
        y=Z(i,:)
        new_x=1:15
        p=pchip(x,y,new_x) %调用三次埃尔米特插值函数
        p1=spline(x,y,new_x) %调用三次样条插值函数
        subplot(4,3,i-1) %将所有图依次变现在4*3的一幅大图上
        plot(x,y,'o',new_x,p,'k-',new_x,p1,'r-') %画出每次循环处理后的图像
        axis([0 15,-inf,inf]) %设置坐标轴的范围,这里设置横坐标轴0-15,纵坐标无要求
        xlabel('星期') %x轴标题
        ylabel(Ytype{i}) %y轴标题
        P(i-1,:)=p %插值结果保存在矩阵中
        P1(i-1,:)=p1
    end
    legend('原始数据','三次埃尔米特插值数据','三次样条插值','Location','SouthEast')
    disp("三次埃尔米特插值结果")
    P=[1:15;P]
    disp("三次样条插值结果")
    P1=[1:15;P1]
    

    效果比较图:
    在这里插入图片描述

    展开全文
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