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  • 多元隐函数求导方法

    千次阅读 2021-03-29 15:26:44
    多元隐函数求导方法 一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数(条件1),且 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0 Fy′(x0,y0)≠0 F_{y}^{'} (x0,y0)\...

    多元隐函数求导方法


    一、一个方程的情形

    1.F(x,y)=0

    隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数(条件1),且
    F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0

    F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_{y}^{'} (x0,y0)\ne0 Fy(x0,y0)=0

    (条件2)则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的
    某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f (x),它满足条件 ,并有
    d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'} } dxdy=FyFx
    以上同时为隐函数的求导公式为

    1. F(x, y, z) = 0

      隐函数存在定理 2 设函数F(x, y, z)在点 P(x0,y,z0)某一领域内有连续的偏导数(条件1),且F(x0,y,z0)=0,
      F z ’ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_{z}^{’}(x0,y0,z0)\ne 0 Fzx0,y0,z0)=0
      (条件2)则方程F(x, y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一领域内恒有唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有
      ∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ \frac{\partial z }{\partial x}=-\frac{F_{x}^{'} }{F_{z}^{'} } xz=FzFx

      ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \frac{\partial z }{\partial y}=-\frac{F_{y}^{'} }{F_{z}^{'} } yz=FzFy

      对于求二次偏导,可以使用两种该方法:1、等式两边同时求偏导,利用类似一元隐函数的隐函数求导。

      2、利用上文展示的求导公式。

      warning

      在解法一中,我们在对x和y求偏导时,仍要将他们看作是z的自变量,亦指将z看作是(x,y)的二元函数;

      在解法二中,我们求F(x,y,z)的三个偏导数时要注意,要将xyz看作独立的自变量。

    ​ 3、对于一些式子还可以对于等式两边取微分。

    二、方程组的情形
    { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
    隐函数存在定理3 设F(x, y,u,v)、G(x, y,u,v)在
    点P(x0,y0,u0,v0)的某一领域内有对各个变量的连续偏导数(条件1,//可见连续偏导是最高级条件),且F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,(条件2)且偏导数所组成的函数行列式(雅可比式
    J = ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v ∣ J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} J=(u,v)(F,G)=uFuGvFvG
    在P点函数值不等于零(条件3),则方程组在P 的某一领域内恒有唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),且将P点带入,函数成立(条件4//与条件2类似,指符合P点要求)。

    ​ 对于偏导数的求值,应当采用推导证明法。

    例:
    { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
    有隐函数组:
    { v = v ( x , y ) u = u ( x , y ) \left\{\begin{matrix} v=v(x,y) \\ u=u(x,y) \end{matrix}\right. {v=v(x,y)u=u(x,y)
    则:
    { F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ≡ 0 G ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ≡ 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0\\ G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u(x,y),v(x,y))0G(x,y,u(x,y),v(x,y))0
    两边对于x求导
    { F x + F u ⋅ ∂ u ∂ x + F v ⋅ ∂ v ∂ x = 0 G x + G u ⋅ ∂ u ∂ x + G v ⋅ ∂ v ∂ x = 0 \left\{\begin{matrix} F_{x}+F_{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+F_{v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=0 \\ G_{x}+G_{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+G_{v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{matrix}\right. {Fx+Fuxu+Fvxv=0Gx+Guxu+Gvxv=0
    这是
    ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ x \frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x} xvxv
    的线性方程组,对于这个线性方程组运用克拉默法则,求解。

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  • 多元隐函数求导

    2020-04-05 13:01:19
    多元隐函数求导求助

    多元隐函数求导求助

    在这里插入图片描述

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    高数篇:隐函数求导

    1. 隐函数的定义笔者就不在这里复制粘贴了,教材里面的解释专业的多的多,认真读个十几分钟就能理解清楚;
    2. 主要记录下隐函数求解过程中需要了解清楚的东西,笔者认为这里还是有需要搞懂的细节点,特别是到了后面的多元微分求导就显得炒鸡重要了,没有理解清楚这些知识点,可能看到教材后面的解题步骤脑子里会有很多个十万个为什么;
    3. 笔者也是菜鸡,文中如有理解错误望各位大佬笔下留情且指点一二,3Q;

    求解隐函数前提条件(基础知识)

    1. 四则求导法则(重中之重)
    2. 复合求导法则(重点)
    3. 隐函数的定义

    为了复习方便,下面给出隐函数的大概介绍。

    隐函数的表达形式

    有隐就有显,在提出隐函数之前,先看看显函数是怎样的,显函数就是初高中数学书中的常见的函数表达形式,例如:
    在这里插入图片描述
    而隐函数就是以下这种函数的表达形式了:
    在这里插入图片描述
    两者区别在于:前者是等号左右端分别是因变量和自变量的符号,后者则更多的是把x和y都当成变量并且根据函数式计算等于右端值。

    PS知识点(为啥隐函数求导又不同于显函数):
    而隐函数转化显函数的形式又称为:隐函数的显化。
    众所周知,显函数求导相较于隐函数求导来说是简单的多的(不解释),但不是所有的隐函数都能转化为显函数而后再求导。
    那么不能转化,隐函数又怎么进行求导呢?

    解析隐函数的求导

    不能转化的,只能强行求导。/狗头
    Sorry,这里笔者自己就不编栗子了,下面我就上教材的栗子了:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (重中之重):
    很明显的教材也把重点注释了出来,在隐函数求导的过程中,只含x的变量式或者常数项是明显的显式求导,但:

    1. y的变量式或者含有y的变量式则把y当成了是关于x的函数(因为x和y本来就存在一种映射关系)。
    2. y的变量式或者含有y的变量式则是通过四则求导法则复合函数求导法则进行求解的。
      例如上述方程求导中,e的y次幂关于x的求导,则是利用了复合函数求导法则:(设u=e^y)du/dy*dy/dx=du/dx,则求出了e的y次幂关于x的导数。

    对数求导法(特定条件)

    满足一定条件的求导,可以应用对应的方法快速解答,如以下形式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    运用对数求导法需要了解清楚对数变形的四则运算性质,这个初高中的知识笔者就不介绍了,看的不是很懂的兄弟们就得复习下对数的相关知识了,上面如果看数学介绍就头晕的兄弟们可以直接看下面栗子:
    在这里插入图片描述
    提问:为什么要引入这个方法,用原始的求导法不行吗?
    对于上述幂指函数,这种特别的函数方程,原始的求导法肯定也是可以的,但是那样会增加计算的复杂程度和计算时间,如果采用对数求导法,就远远的把很多因素甩掉了,所以为什么不呢?

    [1]: 高等数学 第7版 上册 同济大学

    转载需注明出处

    https://blog.csdn.net/qq_49710945/article/details/112541377

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