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乘子法
考虑带约束的优化问题$(P)$
$\min f(x)\\ s.t. \quad h_i(x)=0, i=1, \dots, l$
可行集为$S$.
罚函数法$\min\limits_x P(x, \sigma)=f(x)+\sigma\sum h_i^2(x)$.
(1).
如果$x^k：\min P(x, \sigma_k)$的全局最优解，则$\bar{x}$是$P$的全局最优解.
如果$x^k：\nabla_xP(x^k, \sigma_k)=0$，$\bar{x}$在$\nabla h_i(\bar{x})$线性无关，则$\bar{x}$是$P$问题的KKT点，且$2\sigma_kh_i(x^k)\to \lambda_i^*, i=1,\dots, l$.
(2).
对于某个$\sigma_k：\min P(x, \sigma_k)$得到$x^k$，如果$\sum h_i^2(x^k)=0, (x^k\in S)$.
由$\nabla_x P(x^k, \sigma_k)=\nabla f(x^k)+2\sigma_k\sum h_i(x^k)\nabla h_i(x^k)=0$
可以得到$\nabla f(x^k)=0$.
建立增广拉格朗日函数
$L_A(x, \lambda, \sigma)=f(x)+\sum\lambda_ih_i(x)+\sigma\sum h_i^2(x)$
得到无约束优化问题
$\min\limits_x L_A(x, \lambda, \sigma)$
step 0: 取$x^0，\lambda^1, \sigma_1>0, \varepsilon>0, k:=1$
step 1: 以$x^{k-1}$为初始点，求解无约束问题
$\min\limits_x f(x)+\sum\lambda_ih_i(x)+\sigma\sum h^2_i(x)$
得到解$x^k$
step 2: 如果$\sum h_i^2(x^k)\leq \varepsilon$，算法终止.
step 3: 更新$\lambda^{k+1}, \sigma_{k+1}, k=k+1$转step 1.
$\lambda^k$的更新策略
由于$x^k$满足$\nabla_xL_A(x^k, \lambda^k, \sigma_k)=0$，即
\begin{aligned} &\nabla f(x^k)+\sum\lambda_i^k\nabla h_i(x^k)+2\sigma_k\sum h_i(x^k)\nabla h_i(x^k)=0\\ &\nabla f(x^k)+\sum(\lambda_i^k+2\sigma_kh_i(x^k))\nabla h_i(x^k)=0 \end{aligned}
可以得到$\lambda_i^{k+1}$的更新策略
$\lambda_i^{k+1}=\lambda_i^k+2\sigma_kh_i(x^k), i=1,2,\dots, l$
性质：设$x^*\in S$且是$(P)$的KKT点，对应乘子为$\lambda^*$，且在$x^*$处有二阶充分条件成立. 则存在$\sigma^*>0$，当$\sigma\geq \sigma^*$时，$x^*$是$\min\limits_x L_A(x, \lambda^*, \sigma)$严格局部最优解.
引理：已知$A_{n\times n}, B_{m\times n}$，如果对于$\forall$满足$Bz=0$的非零$z$均有$z^TAz>0$，则存在$\sigma^*>0$，当$\sigma\geq \sigma^*$时，$A+\sigma B^TB$正定.
证明：只要证明$z^T(A+\sigma B^TB)z>0, \forall z\neq 0，\forall z\in K=\{z\mid \lVert z\rVert=1\}$，$K$为有界闭集合，$K=K_1\cup K_2$，其中$K_1=\{z\in K\mid z^TAz>0\}，K_2=\{z\in K\mid z^TAz\leq 0\}$.
(1).$z^TAz+\sigma z^TB^TBz>0,\forall \sigma>0, \forall z\in K_1$
(2).任取$z\in K_2$，则$Bz\neq 0$，即$z^TB^TBz>0$.
可以知道
$\min\limits_{z\in K_2}\{z^TAz+\sigma z^TB^Tz\}\geq \min\limits_{z\in K_2} z^TAz+\sigma\min\limits_{z\in K_2} z^TB^TBz\triangleq a+\sigma b$
其中$b>0$，令$a+\sigma b>0$，即$\sigma>-\frac{a}{b}=\sigma^*$
当$\sigma>\sigma^*$时，有$z^TAz+\sigma z^TB^TBz>0, \forall z\in K_2$.
由于$x^*$是KKT点，且二阶充分条件成立，则
$\nabla f(x^*)+\sum\lambda_i^*\nabla h_i(x^*)， h_i(x^*)=0， i=1,\dots, l\\ d^T(\nabla^2f(x^*)+\sum\lambda_i^*\nabla^2h_i(x^*))d>0，\forall d\in\{d\neq 0\mid \nabla h_i(x^*)^Td=0\}$
结论只要证明$\nabla L_A(x, \lambda^*, \sigma)=0, \nabla^2L_A(x, \lambda^*, \sigma)\succ 0$.
根据定义可知
一阶条件
$\nabla L_A(x^*, \lambda^*, \sigma)=\nabla f(x^*)+\sum\lambda_ih_i(x^*)+2\sigma_k\sum h_i(x^*)\nabla h_i(x^*)=0$
二阶条件
$\nabla^2L_A(x^*, \lambda^*, \sigma)=\nabla^2f(x^*)+\sum\lambda_i^*\nabla^2h_i(x^*)+\underbrace{2\sigma h_i(x^*)\nabla^2h_i(x^*)}_{=0}+2\sigma\sum\nabla h_i(x^*)\nabla h_i(x^*)^T$
令$A=\nabla^2f(x^*)+\sum x_i^*\nabla h_i(x^*)，B_{l\times n}^T=(\nabla h_1(x^*), \nabla h_2(x^*), \dots, \nabla h_l(x^*))$.
则
$\nabla^2L_A(x^*, \lambda^*, \sigma)=A+2\sigma B^TB$
即$d^TAd>0, \forall \{d\neq 0\mid Bd=0\}$.
不等式约束
如果存在不等式约束
$\min f(x)\\ s.t. \quad g_i(x)\leq 0, i=1,\dots, m$
(1) $g_(x)+s^2=0$
建立增广拉格朗日函数
$L_A=f(x)+\sum \lambda_i(g_i(x)+s^2)+\sigma\sum(g_i(x)+s^2)^2$
(2) $g_i(x)+s_i=0, s_i\geq 0$
建立增广拉格朗日函数
$L_A=f(x)+\sum \lambda_i(g_i(x)+s_i)+\sigma\sum(g_i(x)+s_i)^2$
参考资料
乘子法 上海财经大学 崔雪婷


展开全文 • 增广拉格朗日乘子法 关于拉格朗日的定义，具体见：http://mp.blog.csdn.net/mdeditor/79341632 概述 增广拉格朗日乘子法（Augmented Lagrange Method），是用于解决等式约束条件下的优化问题。相对于朴素...
增广拉格朗日乘子法

关于拉格朗日的定义，具体见：http://mp.blog.csdn.net/mdeditor/79341632

概述

增广拉格朗日乘子法（Augmented Lagrange Method），是用于解决等式约束条件下的优化问题。相对于朴素拉格朗日，它增加对偶上升法的鲁棒性和放松函数f的强凸约束，使得转换后的问题能够更容易求解，不至于因条件数变大不好求

形式：在朴素拉格朗日形式上加上一个惩罚项 ρ2‖φ(x)‖22ρ2‖φ(x)‖22<!--//--><![CDATA[//><!--
\frac{\rho}{2} \lVert \varphi(x) \rVert^2_2
//--><!]]>s.t.minf(x)φ(x)=0}⇒L(x,λ)=f(x)+λφ(x)+ρ2‖φ(x)‖22，其中惩罚因子 ρ>0(1)(1)minf(x)s.t.φ(x)=0}⇒L(x,λ)=f(x)+λφ(x)+ρ2‖φ(x)‖22，其中惩罚因子 ρ>0<!--//--><![CDATA[//><!--
\left.\begin{array}{l}
& \min{f(x)} \\
{\bf s.t.} & \varphi(x)=0
\end{array}\right\} \Rightarrow
L(x,\lambda)=f(x)+\lambda \varphi(x)+\frac{\rho}{2} \lVert \varphi(x) \rVert^2_2，\text{其中惩罚因子 } \rho > 0 \tag{1}
//--><!]]>
关于范数，见：http://blog.csdn.net/Michael__Corleone/article/details/75213123

更新迭代

假设 λkλk<!--//--><![CDATA[//><!--
\lambda^k
//--><!]]> 为当前 kk<!--//--><![CDATA[//><!--
k
//--><!]]> 轮迭代的对偶问题最优解
求解 xk+1xk+1<!--//--><![CDATA[//><!--
x^{k+1}
//--><!]]>：xk+1=argminxL(x,λk)xk+1=arg⁡minxL(x,λk)<!--//--><![CDATA[//><!--
x^{k+1}=\arg\min_x{L(x,\lambda^k)}
//--><!]]>，其中 L(x,λ)L(x,λ)<!--//--><![CDATA[//><!--
L(x,\lambda)
//--><!]]> 定义如上（1）式
梯度上升法更新 λλ<!--//--><![CDATA[//><!--
\lambda
//--><!]]>：λk+1=λk+α⋅∂L(x,λ)∂λ|x=xk+1,λ=λkλk+1=λk+α⋅∂L(x,λ)∂λ|x=xk+1,λ=λk<!--//--><![CDATA[//><!--
\lambda^{k+1}=\lambda^k+\alpha \cdot \frac{\partial{L(x,\lambda)}}{\partial{\lambda}}|_{x=x^{k+1},\lambda=\lambda^k}
//--><!]]>
ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)

概述

交替方向乘子算法：将对偶上升法的可分解性和乘子法的上界收敛属性融合在一起的算法

博客链接1 博客链接2
展开全文 • 增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题，http://www.cnblogs.com/lochan/p/6000678.html 假定需要求解的问题如下：　minimize　f(X)　s.t.:　h(X)=0其中，f:Rn-&gt;R; h:Rn-&gt;Rm 朴素...
增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题，http://www.cnblogs.com/lochan/p/6000678.html 假定需要求解的问题如下：　　　　minimize　　 f(X)　　　　s.t.:　　　　　h(X)=0其中，f:Rn->R; h:Rn->Rm 朴素拉格朗日乘子法的解决方案是：　　　　L(X,λ)=f(X)+μh(X);　　μ:Rm　　　　此时，求解L对X和μ的偏导同时为零就可以得到最优解了。 增广拉格朗日乘子法的解决方案是：　　　　Lc(x,λ)=f(X)+μh(X)+1/2c|h(X)|2　　　　每次求出一个xi，然后按照梯度更新参数μ，c每次迭代逐渐增大（使用ALM方法好像还有一些假设条件）　　　　整个流程只需要几步就可以完成了，一直迭代就可得到最优解了。 参考文献：　　Multiplier and Gradient Methods,1969　　constrained optimization and lagrange multiplier methods(page 104),1982 wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_Lagrangian_methodLet us say we are solving the following constrained problem: subject to This problem can be solved as a series of unconstrained minimization problems. For reference, we first list the penalty method approach: The penalty method solves this problem, then at the next iteration it re-solves the problem using a larger value of (and using the old solution as the initial guess or "warm-start").The augmented Lagrangian method uses the following unconstrained objective: and after each iteration, in addition to updating , the variable is also updated according to the rule where is the solution to the unconstrained problem at the kth step, i.e. The variable is an estimate of the Lagrange multiplier, and the accuracy of this estimate improves at every step. The major advantage of the method is that unlike the penalty method, it is not necessary to take in order to solve the original constrained problem. Instead, because of the presence of the Lagrange multiplier term, can stay much smaller.The method can be extended to handle inequality constraints. For a discussion of practical improvements, see.
展开全文 • 转载自：增广拉格朗日乘子法（Augmented Lagrange Method） 增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题， 假定需要求解的问题如下： 　minimize　f(X) 　s.t.:　h(X)=0 其中，f:Rn->R; h:Rn...
转载自：增广拉格朗日乘子法（Augmented Lagrange Method）
增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题，

假定需要求解的问题如下：
minimize　　 f(X)
s.t.:　　　　　h(X)=0
其中，f:Rn->R; h:Rn->Rm

朴素拉格朗日乘子法的解决方案是：
L(X,λ)=f(X)+μh(X);　　μ:Rm
此时，求解L对X和μ的偏导同时为零就可以得到最优解了。

增广拉格朗日乘子法的解决方案是：
Lc(x,λ)=f(X)+μh(X)+1/2c|h(X)|2
每次求出一个xi，然后按照梯度更新参数μ，c每次迭代逐渐增大（使用ALM方法好像还有一些假设条件）
整个流程只需要几步就可以完成了，一直迭代就可得到最优解了。 参考文献：
Multiplier and Gradient Methods,1969
constrained optimization and lagrange multiplier methods(page 104),1982

wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_Lagrangian_method
Let us say we are solving the following constrained problem: subject to This problem can be solved as a series of unconstrained minimization problems. For reference, we first list the penalty method approach: The penalty method solves this problem, then at the next iteration it re-solves the problem using a larger value of (and using the old solution as the initial guess or "warm-start").
The augmented Lagrangian method uses the following unconstrained objective: and after each iteration, in addition to updating , the variable is also updated according to the rule where is the solution to the unconstrained problem at the kth step, i.e. The variable is an estimate of the Lagrange multiplier, and the accuracy of this estimate improves at every step. The major advantage of the method is that unlike the penalty method, it is not necessary to take in order to solve the original constrained problem. Instead, because of the presence of the Lagrange multiplier term, can stay much smaller.
The method can be extended to handle inequality constraints. For a discussion of practical improvements, see.

转载于:https://www.cnblogs.com/hellowooorld/p/6955921.html
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千次阅读 2019-09-25 13:13:01
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2019-12-09 10:24:39
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