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  • 增广拉格朗日乘子法

    2014-09-18 10:39:20
    这是一个描述增广拉格朗日乘子法原理及Java算法的文档,很值得大家学习!
  • 增广拉格朗日乘子法ALM算法是机器学习中十分常用且有效的一种优化算法,经常用于低秩和稀疏问题的优化求解中,这个包是增广拉格朗日乘子法的matlab代码
  • 字符矫正是光学字符识别(OCR)系统预处理过程中的重要步骤,针对传统的增广拉格朗日乘子法(ALM)求解字符矫正问题时收敛性和计算速度的不足,本文研究了并行分离的增广拉格朗日乘子法,综合考虑字符矫正模型的建立过程,...
  • 增广拉格朗日乘子法求解约束优化

    乘子法

    考虑带约束的优化问题(P)(P)
    minf(x)s.t.hi(x)=0,i=1,,l \min f(x)\\ s.t. \quad h_i(x)=0, i=1, \dots, l
    可行集为SS.
    罚函数法minxP(x,σ)=f(x)+σhi2(x)\min\limits_x P(x, \sigma)=f(x)+\sigma\sum h_i^2(x).
    (1).
    如果xkminP(x,σk)x^k:\min P(x, \sigma_k)的全局最优解,则xˉ\bar{x}PP的全局最优解.
    如果xkxP(xk,σk)=0x^k:\nabla_xP(x^k, \sigma_k)=0xˉ\bar{x}hi(xˉ)\nabla h_i(\bar{x})线性无关,则xˉ\bar{x}PP问题的KKT点,且2σkhi(xk)λi,i=1,,l2\sigma_kh_i(x^k)\to \lambda_i^*, i=1,\dots, l.
    (2).
    对于某个σkminP(x,σk)\sigma_k:\min P(x, \sigma_k)得到xkx^k,如果hi2(xk)=0,(xkS)\sum h_i^2(x^k)=0, (x^k\in S).
    xP(xk,σk)=f(xk)+2σkhi(xk)hi(xk)=0\nabla_x P(x^k, \sigma_k)=\nabla f(x^k)+2\sigma_k\sum h_i(x^k)\nabla h_i(x^k)=0
    可以得到f(xk)=0\nabla f(x^k)=0.
    建立增广拉格朗日函数
    LA(x,λ,σ)=f(x)+λihi(x)+σhi2(x) L_A(x, \lambda, \sigma)=f(x)+\sum\lambda_ih_i(x)+\sigma\sum h_i^2(x)
    得到无约束优化问题
    minxLA(x,λ,σ) \min\limits_x L_A(x, \lambda, \sigma)
    step 0: 取x0λ1,σ1>0,ε>0,k:=1x^0,\lambda^1, \sigma_1>0, \varepsilon>0, k:=1
    step 1: 以xk1x^{k-1}为初始点,求解无约束问题
    minxf(x)+λihi(x)+σhi2(x) \min\limits_x f(x)+\sum\lambda_ih_i(x)+\sigma\sum h^2_i(x)
    得到解xkx^k
    step 2: 如果hi2(xk)ε\sum h_i^2(x^k)\leq \varepsilon,算法终止.
    step 3: 更新λk+1,σk+1,k=k+1\lambda^{k+1}, \sigma_{k+1}, k=k+1转step 1.
    λk\lambda^k的更新策略
    由于xkx^k满足xLA(xk,λk,σk)=0\nabla_xL_A(x^k, \lambda^k, \sigma_k)=0,即
    f(xk)+λikhi(xk)+2σkhi(xk)hi(xk)=0f(xk)+(λik+2σkhi(xk))hi(xk)=0 \begin{aligned} &\nabla f(x^k)+\sum\lambda_i^k\nabla h_i(x^k)+2\sigma_k\sum h_i(x^k)\nabla h_i(x^k)=0\\ &\nabla f(x^k)+\sum(\lambda_i^k+2\sigma_kh_i(x^k))\nabla h_i(x^k)=0 \end{aligned}
    可以得到λik+1\lambda_i^{k+1}的更新策略
    λik+1=λik+2σkhi(xk),i=1,2,,l \lambda_i^{k+1}=\lambda_i^k+2\sigma_kh_i(x^k), i=1,2,\dots, l
    性质:设xSx^*\in S且是(P)(P)的KKT点,对应乘子为λ\lambda^*,且在xx^*处有二阶充分条件成立. 则存在σ>0\sigma^*>0,当σσ\sigma\geq \sigma^*时,xx^*minxLA(x,λ,σ)\min\limits_x L_A(x, \lambda^*, \sigma)严格局部最优解.
    引理:已知An×n,Bm×nA_{n\times n}, B_{m\times n},如果对于\forall满足Bz=0Bz=0的非零zz均有zTAz>0z^TAz>0,则存在σ>0\sigma^*>0,当σσ\sigma\geq \sigma^*时,A+σBTBA+\sigma B^TB正定.
    证明:只要证明zT(A+σBTB)z>0,z0zK={zz=1}z^T(A+\sigma B^TB)z>0, \forall z\neq 0,\forall z\in K=\{z\mid \lVert z\rVert=1\}KK为有界闭集合,K=K1K2K=K_1\cup K_2,其中K1={zKzTAz>0}K2={zKzTAz0}K_1=\{z\in K\mid z^TAz>0\},K_2=\{z\in K\mid z^TAz\leq 0\}.
    (1).zTAz+σzTBTBz>0,σ>0,zK1z^TAz+\sigma z^TB^TBz>0,\forall \sigma>0, \forall z\in K_1
    (2).任取zK2z\in K_2,则Bz0Bz\neq 0,即zTBTBz>0z^TB^TBz>0.
    可以知道
    minzK2{zTAz+σzTBTz}minzK2zTAz+σminzK2zTBTBza+σb \min\limits_{z\in K_2}\{z^TAz+\sigma z^TB^Tz\}\geq \min\limits_{z\in K_2} z^TAz+\sigma\min\limits_{z\in K_2} z^TB^TBz\triangleq a+\sigma b
    其中b>0b>0,令a+σb>0a+\sigma b>0,即σ>ab=σ\sigma>-\frac{a}{b}=\sigma^*
    σ>σ\sigma>\sigma^*时,有zTAz+σzTBTBz>0,zK2z^TAz+\sigma z^TB^TBz>0, \forall z\in K_2.
    由于xx^*是KKT点,且二阶充分条件成立,则
    f(x)+λihi(x)hi(x)=0i=1,,ldT(2f(x)+λi2hi(x))d>0d{d0hi(x)Td=0} \nabla f(x^*)+\sum\lambda_i^*\nabla h_i(x^*), h_i(x^*)=0, i=1,\dots, l\\ d^T(\nabla^2f(x^*)+\sum\lambda_i^*\nabla^2h_i(x^*))d>0,\forall d\in\{d\neq 0\mid \nabla h_i(x^*)^Td=0\}
    结论只要证明LA(x,λ,σ)=0,2LA(x,λ,σ)0\nabla L_A(x, \lambda^*, \sigma)=0, \nabla^2L_A(x, \lambda^*, \sigma)\succ 0.
    根据定义可知
    一阶条件
    LA(x,λ,σ)=f(x)+λihi(x)+2σkhi(x)hi(x)=0 \nabla L_A(x^*, \lambda^*, \sigma)=\nabla f(x^*)+\sum\lambda_ih_i(x^*)+2\sigma_k\sum h_i(x^*)\nabla h_i(x^*)=0
    二阶条件
    2LA(x,λ,σ)=2f(x)+λi2hi(x)+2σhi(x)2hi(x)=0+2σhi(x)hi(x)T \nabla^2L_A(x^*, \lambda^*, \sigma)=\nabla^2f(x^*)+\sum\lambda_i^*\nabla^2h_i(x^*)+\underbrace{2\sigma h_i(x^*)\nabla^2h_i(x^*)}_{=0}+2\sigma\sum\nabla h_i(x^*)\nabla h_i(x^*)^T
    A=2f(x)+xihi(x)Bl×nT=(h1(x),h2(x),,hl(x))A=\nabla^2f(x^*)+\sum x_i^*\nabla h_i(x^*),B_{l\times n}^T=(\nabla h_1(x^*), \nabla h_2(x^*), \dots, \nabla h_l(x^*)).

    2LA(x,λ,σ)=A+2σBTB \nabla^2L_A(x^*, \lambda^*, \sigma)=A+2\sigma B^TB
    dTAd>0,{d0Bd=0}d^TAd>0, \forall \{d\neq 0\mid Bd=0\}.

    不等式约束

    如果存在不等式约束
    minf(x)s.t.gi(x)0,i=1,,m \min f(x)\\ s.t. \quad g_i(x)\leq 0, i=1,\dots, m
    (1) g(x)+s2=0g_(x)+s^2=0
    建立增广拉格朗日函数
    LA=f(x)+λi(gi(x)+s2)+σ(gi(x)+s2)2 L_A=f(x)+\sum \lambda_i(g_i(x)+s^2)+\sigma\sum(g_i(x)+s^2)^2
    (2) gi(x)+si=0,si0g_i(x)+s_i=0, s_i\geq 0
    建立增广拉格朗日函数
    LA=f(x)+λi(gi(x)+si)+σ(gi(x)+si)2 L_A=f(x)+\sum \lambda_i(g_i(x)+s_i)+\sigma\sum(g_i(x)+s_i)^2

    参考资料

    乘子法 上海财经大学 崔雪婷

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  • 增广拉格朗日乘子法、ADMM

    万次阅读 2018-02-22 01:04:04
    增广拉格朗日乘子法 关于拉格朗日的定义,具体见:http://mp.blog.csdn.net/mdeditor/79341632 概述 增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method),是用于解决等式约束条件下的优化问题。相对于朴素...

    增广拉格朗日乘子法

    关于拉格朗日的定义,具体见:http://mp.blog.csdn.net/mdeditor/79341632

    概述

    增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method),是用于解决等式约束条件下的优化问题。相对于朴素拉格朗日,它增加对偶上升法的鲁棒性和放松函数f的强凸约束,使得转换后的问题能够更容易求解,不至于因条件数变大不好求

    形式:在朴素拉格朗日形式上加上一个惩罚项 ρ2φ(x)22ρ2‖φ(x)‖22

    s.t.minf(x)φ(x)=0}L(x,λ)=f(x)+λφ(x)+ρ2φ(x)22 ρ>0(1)(1)minf(x)s.t.φ(x)=0}⇒L(x,λ)=f(x)+λφ(x)+ρ2‖φ(x)‖22,其中惩罚因子 ρ>0

    关于范数,见:http://blog.csdn.net/Michael__Corleone/article/details/75213123

    更新迭代

    1. 假设 λkλk 为当前 kk 轮迭代的对偶问题最优解
    2. 求解 xk+1xk+1xk+1=argminxL(x,λk)xk+1=arg⁡minxL(x,λk),其中 L(x,λ)L(x,λ) 定义如上(1)式
    3. 梯度上升法更新 λλλk+1=λk+αL(x,λ)λ|x=xk+1,λ=λkλk+1=λk+α⋅∂L(x,λ)∂λ|x=xk+1,λ=λk

    ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)

    概述

    交替方向乘子算法:将对偶上升法的可分解性和乘子法的上界收敛属性融合在一起的算法

    博客链接1
    博客链接2

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  • 增广拉格朗日乘子法ALM

    千次阅读 2018-06-26 17:57:55
    增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题,http://www.cnblogs.com/lochan/p/6000678.html 假定需要求解的问题如下: minimize f(X) s.t.: h(X)=0其中,f:Rn->R; h:Rn->Rm 朴素...

    增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题,http://www.cnblogs.com/lochan/p/6000678.html

     

    假定需要求解的问题如下:

        minimize   f(X)

        s.t.:     h(X)=0

    其中,f:Rn->R; h:Rn->Rm

     

    朴素拉格朗日乘子法的解决方案是:

        L(X,λ)=f(X)+μh(X);  μ:Rm

        此时,求解L对X和μ的偏导同时为零就可以得到最优解了。

     

    增广拉格朗日乘子法的解决方案是:

        Lc(x,λ)=f(X)+μh(X)+1/2c|h(X)|2

        每次求出一个xi,然后按照梯度更新参数μ,c每次迭代逐渐增大(使用ALM方法好像还有一些假设条件)

        整个流程只需要几步就可以完成了,一直迭代就可得到最优解了。

        

     

     

    参考文献:

      [1]Multiplier and Gradient Methods,1969

      [2]constrained optimization and lagrange multiplier methods(page 104),1982

     

    wiki:https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_Lagrangian_method

    Let us say we are solving the following constrained problem:

    \min f({\mathbf  {x}})

    subject to

    c_{i}({\mathbf  {x}})=0~\forall i\in I.

    This problem can be solved as a series of unconstrained minimization problems. For reference, we first list the penalty method approach:

    \min \Phi _{k}({\mathbf  {x}})=f({\mathbf  {x}})+\mu _{k}~\sum _{{i\in I}}~c_{i}({\mathbf  {x}})^{2}

    The penalty method solves this problem, then at the next iteration it re-solves the problem using a larger value of \mu _{k} (and using the old solution as the initial guess or "warm-start").

    The augmented Lagrangian method uses the following unconstrained objective:

    \min \Phi _{k}({\mathbf  {x}})=f({\mathbf  {x}})+{\frac  {\mu _{k}}{2}}~\sum _{{i\in I}}~c_{i}({\mathbf  {x}})^{2}-\sum _{{i\in I}}~\lambda _{i}c_{i}({\mathbf  {x}})

    and after each iteration, in addition to updating\mu _{k}, the variable \lambda is also updated according to the rule

    \lambda _{i}\leftarrow \lambda _{i}-\mu _{k}c_{i}({\mathbf  {x}}_{k})

    where {\mathbf  {x}}_{k} is the solution to the unconstrained problem at the kth step, i.e. {\mathbf  {x}}_{k}={\text{argmin}}\Phi _{k}({\mathbf  {x}})

    The variable \lambda is an estimate of the Lagrange multiplier, and the accuracy of this estimate improves at every step. The major advantage of the method is that unlike the penalty method, it is not necessary to take \mu \rightarrow \infty in order to solve the original constrained problem. Instead, because of the presence of the Lagrange multiplier term, \mu can stay much smaller.

    The method can be extended to handle inequality constraints. For a discussion of practical improvements, see.[4]

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  • 转载自:增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method) 增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题, 假定需要求解的问题如下:  minimize f(X)  s.t.: h(X)=0 其中,f:Rn->R; h:Rn...

    转载自:增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method)

    增广拉格朗日乘子法的作用是用来解决等式约束下的优化问题,

     

    假定需要求解的问题如下:

        minimize   f(X)

        s.t.:     h(X)=0

    其中,f:Rn->R; h:Rn->Rm

     

    朴素拉格朗日乘子法的解决方案是:

        L(X,λ)=f(X)+μh(X);  μ:Rm

        此时,求解L对X和μ的偏导同时为零就可以得到最优解了。

     

    增广拉格朗日乘子法的解决方案是:

        Lc(x,λ)=f(X)+μh(X)+1/2c|h(X)|2

        每次求出一个xi,然后按照梯度更新参数μ,c每次迭代逐渐增大(使用ALM方法好像还有一些假设条件)

        整个流程只需要几步就可以完成了,一直迭代就可得到最优解了。

        

     

     

    参考文献:

      [1]Multiplier and Gradient Methods,1969

      [2]constrained optimization and lagrange multiplier methods(page 104),1982

     

    wiki:https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_Lagrangian_method

    Let us say we are solving the following constrained problem:

    \min f({\mathbf  {x}})

    subject to

    c_{i}({\mathbf  {x}})=0~\forall i\in I.

    This problem can be solved as a series of unconstrained minimization problems. For reference, we first list the penalty method approach:

    \min \Phi _{k}({\mathbf  {x}})=f({\mathbf  {x}})+\mu _{k}~\sum _{{i\in I}}~c_{i}({\mathbf  {x}})^{2}

    The penalty method solves this problem, then at the next iteration it re-solves the problem using a larger value of \mu _{k} (and using the old solution as the initial guess or "warm-start").

    The augmented Lagrangian method uses the following unconstrained objective:

    \min \Phi _{k}({\mathbf  {x}})=f({\mathbf  {x}})+{\frac  {\mu _{k}}{2}}~\sum _{{i\in I}}~c_{i}({\mathbf  {x}})^{2}-\sum _{{i\in I}}~\lambda _{i}c_{i}({\mathbf  {x}})

    and after each iteration, in addition to updating\mu _{k}, the variable \lambda is also updated according to the rule

    \lambda _{i}\leftarrow \lambda _{i}-\mu _{k}c_{i}({\mathbf  {x}}_{k})

    where {\mathbf  {x}}_{k} is the solution to the unconstrained problem at the kth step, i.e. {\mathbf  {x}}_{k}={\text{argmin}}\Phi _{k}({\mathbf  {x}})

    The variable \lambda is an estimate of the Lagrange multiplier, and the accuracy of this estimate improves at every step. The major advantage of the method is that unlike the penalty method, it is not necessary to take \mu \rightarrow \infty in order to solve the original constrained problem. Instead, because of the presence of the Lagrange multiplier term, \mu can stay much smaller.

    The method can be extended to handle inequality constraints. For a discussion of practical improvements, see.[4]

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/hellowooorld/p/6955921.html

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  • RPCA的算法推导-增广拉格朗日乘子法- PPT讲解

    千次阅读 多人点赞 2019-12-01 21:16:46
    去求解这个问题有不同的算法,如加速近端梯度算法,对偶法等,在这里我们采用增广拉格朗日乘子法来进行求解,第一步,我们构造出一个拉格朗日函数,将有约束问题转化为无约束问题,其中Y指的是拉格朗日乘子,按理论...
  • 增广拉格朗日乘子法解RPCA(笔记)

    千次阅读 2018-11-05 15:25:17
  • 拉格朗日乘子法、罚函数法、乘子罚函数法

    万次阅读 多人点赞 2017-10-24 14:14:56
    增广拉格朗日乘子法 1 定义 2 求解 本文简单总结一些相关概念,具体证明以后再补充; 1. 拉格朗日乘子法 2. 罚函数法:外罚函数与内罚函数法 3. 增广拉格朗日乘子法 1. 拉格朗日乘子法1.1 无约束问题无约束...
  • 卡罗需-库恩-塔克条件 Karush-Kuhn-Tucker Conditions,KKT条件,KT条件 ...也称拉格朗日乘子法 约束问题只有等式约束条件,则可通过乘子将约束问题转化为无约束问题 乘子的求解 增广拉格朗日惩罚函数法
  • 基本的拉格朗日乘子法就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。其主要思想是将约束条件函数与原函数联系到一起,使能配成与变量数量相等的等式方程,从而求出得到原函数极值的各个变量的解...
  • 1 拉格朗日乘子法的数学背景 当使用前面介绍的罚函数法求解约束问题时,为获得足够好的近似解,罚参数需取足够大的值,这将导致增广目标函数的黑森矩阵出现病态,从而导致数值计算上的困难。因此提出拉格朗日乘子法...
  • 于是就有了今天的增广拉格朗日法和ADMM。 学习笔记 一、增广拉格朗日法(Augmented Lagrange Method) 1、定义 一句话总结:在拉格朗日的基础上,将拉格朗日函数替换为增广拉格朗日函数。 有问题形如: min⁡f(x)s...
  • 增广拉格朗日法.zip

    2020-04-28 10:55:11
    matlab代码////增广拉格朗日算法////精确步长、可调节函数、可调节步长等等, ALM(增广拉格朗日算法)被认为最常用的约束优化算法、运用二阶信息、拉格朗日乘子、罚项转为无约束优化
  • 其中,λλλ是拉格朗日乘子,附加的二次项是线性约束Ax=bAx = bAx=b的惩罚项(penalty),增广拉格朗日法的第kkk次迭代始于一个给定的λλλk, 并通过如下式子得到wwwk+1 =(xxxk+1,λλλk+1): 这等价于: ...
  • 罚函数之乘子法

    2019-01-03 14:55:00
    外罚函数主要用于对于等式约束问题的求解,内点法主要是对于不等式问题的求解,...广义乘子法是拉格朗日乘子法与罚函数法的结合,构造增广函数: φ(x,λ,σ)=f(x)+λTg(x)+1/2σgT(x)g(x) 在罚函数的基础上增加...
  • 上一节我们介绍了对偶梯度上升法和增广拉格朗日方法(也叫作乘子法)。在最后我们提到,对偶梯度上升法虽然可以做变量分解,但是需要较强的约束条件保证收敛;而对于乘子法而言,虽然有较好的收敛性,但是却失去了可...
  • 修复后的问题

    2021-04-09 19:24:23
    针对增广的拉格朗日乘子法在求解鲁棒性主成分分析,特别是当数据同时受到稀疏噪声和高斯噪声的干扰时,计算精度会降低,数据降维去噪任务不能很好完成的情况,提出改进的增广拉格朗日乘子法来解决上述问题....
  • 交替方向乘子法

    2019-10-19 20:02:31
    1、解决的问题: ...为了是函数更凸,加入惩罚项形成增广拉格朗日函数(ALM): 接下来就是通过逐一固定变量更新其他变量最终完成优化问题的求解: step1: step2: step3: 不断重复,直至不变(谷...
  • 针对传统背景建模方法的缺点,基于稀疏与低秩矩阵分解理论,在增广拉格朗日乘子法框架下,研究了一种收敛更快的非精确增广拉格朗日乘子法(IALM),直接实现监控视频序列中背景和前景的分离。该算法采用块Lanczos...
  • ialm_rpca背景建模

    2017-09-08 10:48:28
    本代码用python实现RPCA背景建模,RPCA的优化采用非精确增广拉格朗日乘子法( the inexact augmented Lagrange multiplier)
  • 在原有的含投资者风险偏好参数的投资组合模型的基础上,加入交易成本函数,使模型更具现实意义。交易成本函数的类型有两大类:凸交易成本函数...采用拉格朗日乘子法和增广拉格朗日乘子法进行求解,并对模型进行了实例检验。
  • 约束优化算法

    千次阅读 2019-09-25 13:13:01
    下面内容是根据自己看书,对拉格朗日乘子法、罚函数法、增广拉格朗日乘子法做一个小结: 一、“拉格朗日乘子法和罚函数法都用于将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题” 比如最小化目标函数 ,约束等式为 ,...
  • ADMM

    2019-12-09 10:24:39
    代码适用于 等式约束最小化问题: ADMM文档 增广拉格朗日乘子法 ADMM:将大问题分布为小问题求解 DiffuserCam
  • An efficient augmented Lagrangian method with applications to total variation ...目标:基于经典的增广拉格朗日乘子法(the classic augmented Lagrangian multiplier method) 提出一种可解决一类等式约束非...
  • 提出了一种加权稀疏表示和对偶增广拉格朗日乘子法(DALM) 相结合的人脸识别算法WSRC_DALM 算法. 该算 法主要采用高斯核函数计算每个训练样本与测试样本之间的相关性, 即获得训练样本相对于测试样本的权

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增广拉格朗日乘子法