02 复杂网络分析中的基本概念

2.1.复杂网络的表达方式
2.2.度、平均度、度分布
2.3.路径、距离与介数
2.4.集聚系数
2.5.网络稀疏性与联通性
2.6.度相关性
2.7.富人俱乐部
2.8.有向网络
2.9.加权网络


2.1复杂网络的表达方式
哥尼斯堡七桥问题

1736年 欧拉定理

如果图具有两个以上的奇数度的节点，则没有路径;如果图是连通的且没有奇数度节点，则它至少有一条路径。


网络的可视化表达 图表达



    

        

            
组成部分
            
节点，顶点
            
N=6
        
    
    

        

            
相互作用
            
连边，边
            
L=5
        
        

            
系统

            
网络，图
            
(N,L)
        
    

节点，顶点之间的相互作用，表达成连边或者是边，如此，网络变成了一个系统。该系统是由节点与节点之间相互作用抽象出来的连边所构成的

2. 集合表达

$V$ 点集 $\{$$1,2,3,4,5,6$$\}$

$E$ 边集 $\{$$e$$1$$,$$e$$2$,$e$$3$$,$$e$$4$$,$$e$$5$,$\}$
网络$G=(V,E)$,由点集$V(G)$和边集$E(G)$组成一个图，可分为无向、有向和加权网络

令$e∈E(G)$,每条边$e$$i$有$V(G)$中的一对点$(u,v)$与之对应；如果任意$(u,v)$与$(v,u)$对应同一条边，则称无向网络，否则成为有向网络；如果任意$|e$$i$$|$$=1$,则称无权网络，否则称为加权网络。

3. 链接矩阵

$\begin{Bmatrix}
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\
   1 & 1 & 0 & 1 & 0 &0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 1 &1 \\
   0 & 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\
   0 & 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\
  \end{Bmatrix} \tag{A}$

两个节点之间有边存在所对应的位置取值为1 无边则放0

在链接矩阵基础上，构造Laplace矩阵$L=K-A$;$A$为网络链接矩阵，$K$为对角矩阵，对角线上的元素对应的网络中各个节点的度。

链接矩阵及其对应的拉普拉斯矩阵的特征值和特征谱分析可以提供帮助。

什么是网络拓扑

网络是一个由多个节点组成的集合，节点之间有一定的连接。

拓扑指的是节点之间相互联系的模式




实例
节点
连接




国际互联网
路由器
光纤


科学引用网
文章
文章引用


社会网络
个体人
人际关系


2.2度、平均度、度分布

度


节点的度：与节点直接相连的连边数


k1=1 k2=3 k3=2 k4=2
*2节点的度最高*

通常，节点的度值是一个离散型随机变量，在计算中主要涉及以下统计量

均值
方差
标准差
n阶矩
x的分布




平均度




$k=\frac 1N\sum_{i=0}^Nk_i$


$k=\frac {2L}N$

$N$:图中节点数
$L$:图中连边数




度分布


将网络中节点的度值从小到大排列，统计值为k的节点，占整个网络节点数的比例$P(k)$,即$P(k)-N_k/N$

$N_k$ 度为k的节点数目
$N$ 网络中的节点总数


连续性变量表述：节点的度的概率密度函数
归一化条件

$\sum_0^\infin$$p_k=1$

$\int_m^\infin$$p(k)dk=1$

$m$是网络所有节点的度值中的最小值,一般从1开始取。




正则网络的度分布


全连接网络：n-1$\Delta$
最近邻居连接网络：$\Delta$
星型网络：中心点（特殊点）：n-1；其他点（边缘点）：1

2.3路径、距离与介数

路径


一条路径是指一个节点序列，其中每一对相邻的节点之间都有一条连边。
一条从节点$i_0$到$i_n$的长度为n的路径P经过n+1个节点和n条连边。
最短路径

两个节点之间的最短路径是指连接这两个节点的变数最少的路径。
两个节点之间的最短路径上的边数目，即两个节点之间的最短距离。


两点之间路径的条数

$N$$ij$两点间路径的条数。

如果节点$i$和$j$之间存在一条连边，则$A$$ij$$=1$,反之，$A$$ij$$=0$
如果节点$i$和$j$之间存在一条长度为2的连边，则$A$$ik$$A$$kj$$=1$,反之，$A$$ik$$A$$kj$$=0$
……
长度为n，如果节点$i$和$j$间存在一条长度为n的路径，则$A$$ik$$…A$$lj$$=1$，否则，$A$$ik$$…A$$lj$$=0$。
在节点ij之间长度为n的路径数量：

$N$$ij$$(n)$=$[A^n]$$ij$




网络直径与平均距离


直径$d$$max$:网络中任意两点间的最短距离的最大值。
平均路径长度（平均最短距离）$\langle d \rangle$

连通图 $\langle d \rangle$$≡\frac1{2L}\sum_{i,j+1}$$d$$ij$
无向图 $\langle d \rangle$$≡\frac1L\sum_{i,j+1}$$d$$ij$

将网络中任意一堆节点之间的最短距离求出来后进行求和，然后再除以这个网络当中节点对的数目。




直径 3；平均距离9/5

实例

全连接网络：平均距离为1
最近邻居网络：平均距离为N/8
星型网络：平均距离为$2-$$\frac{2(N-1)}{N(N-1)}$




介数


任意一堆节点间的最短路径所经过的次数

点介数
边介数


介数反映了响应的节点或边在整个网络中的作用和影响力，是一个全局几何量。

2.4集聚系数

节点集聚系数的定义

节点$i$的$k_i$个邻居节点之间实际存在的变数$E_i$和总的可能边数之比。

$C_i=$$\frac{2e_i}{k_i(k_i-1)}$

$e_i$指i点邻居之间存在连边的个数；

$k_i$指i点的度值；
$C_i=$$\frac{包含节点i的三角形数目}{以节点i为中心的连通三元组数目}$


网络集聚系数定义

网络中所有节点的集聚系数的平均值

$\langle C \rangle$$=\frac1N\sum_{i=1}^N$$C_i$

网络的传递性
$T=\frac{网络中三角形数目}{网络中连通三元组的数目/3}$

$T∈[0,1]$

如果T=1，则任意两个节点有连接。

如果T=0，则无三角形连接。



2.5网络稀疏性与连通性


完全连接网络

定义：如果一个网络中任意两个节点之间都有连边存在，则称之为完全连接网络，平均度为N-1

可能拥有的最大连边数：

$L$$max$=$C_N^2$ma


网络稀疏性

定义：网络稀疏程度定义为网络中实际存在的边数与最大可能的边数之比。

$L$/$Lmax$

L:网络中实际存在的边数

利用比值衡量稀疏程度，很多网络是稀疏网络


无向网络的联通

联通（无向）图：网络中任意两个节点之间都至少存在一条路径
最大连通集团：含有节点数最多的连通子图
对于不连通网络的邻接矩阵，所有的非零元素都存在于沿着矩阵对角线排列的一些方块中，其余部分元素均为零。

+（一般会选择最大连通集团进行性质分析



2.6度相关性

众多的社会关系网络，呈现出正向匹配特性；信息网络和神经网络则呈现出负向匹配特性；而常用的ER模型和BA模型则没有任何倾向性。
网络中两个节点度值之间的关系

同配：度大节点 倾向于连接 度大节点（对角线）
异配：度大节点 倾向于连接 度小节点（两轴）
中性：节点间的连接与它们自身的度值无关


衡量网络的度度相关性

可视化描述

$e$$jk$:网络中随机选取的一条边的两个端点的度分别为$j$和$k$的概率
$q_k$：网络中随机选取的一条边的断电的度为k的概率。
如果网络不具有度相关性：$e$$jk$$=q_j$$q_k$
计算$e$$jk$，并对其进行可视化，观察分布，判断网络度度相关性。


度相关函数

平均邻居度$k$$nn$$(k)$:度为k的节点的邻居节点的平均度。

$k$$nn$$(k)=ak^\mu$
$\mu>0$:同配
$\mu=0$:中性
$\mu<0$:异配


相关系数

如果网络是度相关的，$e$$jk$$!=q_jq_k$,可以考虑-的差值大小来刻画网络同配或异配的程度。

正值，同配；0，中性；负值，异配。

为了比较不同规模网络的同配或异配程度，通过归一化处理得到归一化的相关系数。


皮尔逊相关系数

取出网络中所有连边，计算每条连边两端节点的度值，并将其按从小到大排序，得到度小序列和度大序列，最后计算它们的皮尔逊相关系数。



2.7富人俱乐部
研究Internet的AS拓扑过程中发现，虽然AS拓扑具有异配特性，但高度节点之间仍然具有很高的连接概率，这个现象成为富人俱乐部现象。引入夫人俱乐部系数来对富人俱乐部现象进行量化描述。

富人俱乐部系数：$\phi(k)=$2$E$<sub>$>k$</sub>$/$N<sub>$>k$</sub>(N<sub>$>k$</sub>$-1)$

$E$$>k$:网络中度值大于k的节点之间的连边数。
$N$$>k$:网络中度值大于k的节点数。


标准化后的富人俱乐部系数

2.8有向网络

有向网络：在网络的连边上面存在方向。方向体现在链接矩阵中为非对称性；对角线为0

$A$$ij$$≠A$$ji$
$A$$ii$$=0$


度的进一步划分

节点$i$的出度 从节点i指向其他节点的边数目
节点$i$的入度  从其他节点指向节点i的边数目
节点的度（总度） 节点的入度和出度的加和
源 一个节点的入度$k$$in$$=0$
汇 一个节点的出度$k$$out$$=0$


平均度

平均入度
平均出度
总平均度

总平均入度=总平均出度


路径、最短距离

在有向网络中，路径只能沿着箭头的方向。因此，在有向网络中，从A到B的最短距离可能不等于从B到A的最短距离。
有向网络的集聚系数
有向网络的连通

将有向网络中的所有有向边替换为无向边，替换后的无向网络是一个连通图，则称该有向网络是一个弱连通图。

强定义：有向网络中必须任何两个节点之间都存在路径，强连通图。
度相关

实例食物网：一条有向边由节点A指向节点B，表示物种B以物种A为食物。四种模式下的度度相关性。

（out，in）
（in，out）
（out，out）
（in，in）


有向网络的模体

有向网络和随机网络模体，随机网络的生成方式,随机交叉换边，并且保证每个节点的入度和出度不变。

可以利用有向网络对实体系统进行抽象，再通过与随机化有向网络进行对比可以挑选出系统当中所存在的个数居多的模体模式。而模体模式可以揭示系统所具有的一些特征

2.9加权网络

多条边网络

节点之间对应的多条连边=>链接矩阵所对应位置上元素的数值表达。依旧可以利用无权网络的公式计算边数、平均度，链接矩阵也同时保持着对称的特征。
权重

权重（点、边）
加权网络中加权的赋予

加权方式：

a)利用网络中已有的物理量进行权重的抽象：因特网——带宽；电路网——电阻

b)相互作用的抽象：科学家合作网——合著文章数；演员合作网——合作次数；中药网；菜肴网


双顶点网络的抽象

顶点——事件   构成双顶点网

广义合作网投影到单顶点网
关于权重的定义

相似权（Similarity Weight）：概念与距离相反，边权越大，顶点之间越亲近（0为无连接）如合作次数
相异权(Dissimilarity Weight):概念与距离相同，边权越大，顶点间距离越远（∞为无连接）如里程数


节点距离计算

相异权 $d$$13$$=w$$12$$+w$$23$
相似权 $d$$13$$=1/w=$$1/w$$12$$+1/w$$23$





加权网络集聚系数

加权网集聚系数的定义满足以下4个条件:

在[0,1]之间
权重为0则无边连接
权重为1时回归无权网定义
与三角形每条边上的权重相关

文献给出了加权网络集聚系数的公式




参考文献



Watts, D.J. and Strogatz, S.H. (1998) Collective dynamics of “small world” networks. Nature, 393, 440-442. ↩︎

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Colizza, V.，Flammini, A.，Serrano, M. A., & Vespignani, A. . (2006). Detecting rich-club

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python
复杂网络分析库
NetworkX
阅读目录
无向图
有向图
加权图
经典图论算法计算
强连通、弱连通
子图
条件过滤
pred
，
succ
NetworkX
是一个用
Python
语言开发的图论与复杂网络建模工具，内置了常用的图与复
杂网络
分析算
法
，可以方便的进行复杂网络数据分析、
仿真建模等工作。
networkx
支持创
建简单无向图、有向图和多
重图
(
multigraph
)
；内置许多标准的图论算法，节点可为任
意数据；支持任意的边值维度，功能丰富，简
单易用。
引入模块
import networkx as nx
print nx
回到顶部
无向图
例
1
：
#!-*- coding:utf8-*-
import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt
print "number of edges:" , G.number_of_edges()
#
输出边的数量：
1
nx.draw(G) plt.savefig( "wuxiangtu.png" )
plt.show()
G = nx.Graph()
G.add_node(1)
G.add_edge(2,3)
#
建立一个空的无向图
G
#
添加一个节点
1
#
添加一条边
2-3
(
隐含着添加了两个节
点
3
)
G.add_edge(3,2)
边
print "nodes:" , G.nodes()
print "edges:" , G.edges()
#
对于无向图，边
3-2
与边
2-3
被认为
是
#
输出全部的节点：
[1, 2, 3]
#
输出全部的边：
[(2, 3)]
2
、
条
输出

常见的复杂网络分析方法
1.基本分析方法
2.关联分析方法


注：本文部分内容来自《复杂网络分析与应用》与《中国航空复杂网络的结构特征与应用分析》

1.赵正旭,郭阳,等.复杂网络分析与应用[M]北京:科学出版社,2018.

2.陈航宇,李慧嘉.中国航空复杂网络的结构特征与应用分析[J].计算机科学,2019,s1:300-304.

1.基本分析方法
1.1.度和度的分布：

度是指与该节点直接连接的节点个数。度值的大小反映了节点在整个网络中的重要性。度分布p(k)反映了网络节点中度值为k的节点所占的比例。
1.2.平均路径长度

相互连接的两个节点i和j之间边数最少的路径所包含的边数即为这两个节点间的距离dij。取尽网络中任意两节点的组合，网络的平均路径长度定义为所有组合之距离的平均值：


1.3.聚类系数

聚类系数Ci是指所有与节点i相连的节点之间实际相连的边数占这些点可能的最大连边数目的比例，聚类系数反映网络节点的聚类情况：



其中，ki为与节点i连接的其他节点的个数；Ei为这ki个节点间相互连接的边数（两点之间的双向边和单向边都按1条计数）。整个网络C定义为网络中所有节点聚类系数的平均值：



其中，C取1说明网络中的所有节点都相连。
1.4.介数

网络中包含节点m的最短路径的条数定义为节点m的介数。介数的大小反映了节点在整个航空网络中的必要性和影响力，介数越大的节点在网络中的中枢性越强。（注意：介数与度值的概念，一个是必要性大，一个是重要性大）
1.5.核数

一个图的k-核是指反复去掉度小于或等于k的节点所剩余的子图。存在于k-核的节点，在（k+1）-核中被除去，则k就是该节点的核数。节点核数中的最大值称为网络的核数。节点的核数可以表明节点在核中的深度。图的核数大，说明图中大部分节点不会因为其他节点收到破坏而轻易脱离出网络，整个网络具有较深的层次。
2.关联分析方法
2.1.度度相关性

首先计算节点的邻点平均度：



其中，k为节点度值，节点j与节点i相连。将网络中节点度值都为k的所有节点Nk的邻节点的平均度knn,i取平均，得到度为k的节点的邻点平均度：



如果knn(k)随k的增加而增加，即knn(k)-k曲线斜率大于零，则表示度大的节点倾向于连接其他度大的节点，成为度正相关（或同配性）；反之，如果knn(k)随k的增加而递减，表示度大的节点倾向于连接其他度小的节点，成为度负相关（或异配性）；如果knn(k)不随k的变化而变化，则称节点的度是不相关。
2.2.度权相关性

定义含权的节点i的所有邻节点j的平均加权度为：



分析邻节点平均加权度随节点的加权度值S的变化，以及邻节点平均加权度随节点的度值k的变化。

分别分析邻节点平均加权度与节点度值之间，邻节点平均加权度与节点的加权度值之间的关系。若均呈现负相关性，则说明度大的节点偏好连接加权度小的节点；且若邻节点平均加权度随着节点度值与节点加权度值的增大，相关性趋势减弱，则说明权值对节点间的影响较大。
2.3.介数相关性

介数相关性描述的是节点根据介数相互选择的偏好。一个介数为g的节点i，与j节点相连，则节点i的邻点平均介数记为：



将网络中节点介数都为g的所有节点Ng的邻节点的平均介数gnn，i进行平均，得到“介数为g的节点的邻点平均介数”：



分析网络节点的邻点平均介数gnn与介数g的分布关系，若呈现明显的负相关性，说明介数大的节点偏好连接其他介数小的节点，反之，则说明介数大的节点偏好连接其他介数大的节点。
2.4.簇度相关性

节点的邻节点相互连接的集聚程度与节点度值的相关性成为簇度相关性。分析节点的度与平均聚类系数之间的关系。若度值大，聚类系数小，则说明度值大的为网络的中心。

01 复杂网络分析概论

1.1复杂网络分析在复杂性研究中的地位
1.2复杂网络研究的发展历程
1.3复杂网络分析案例


1.1复杂网络分析在复杂性研究中的地位
1. 复杂系统


系统中存在的复杂性  从两个维度来看

a) 系统自由度（系统组成成分的数目）degrees of freedom

b) 相互作用（线性到非线性的转换）


复杂网络是复杂系统的骨架（backbone）
a) 复杂系统可抽象成一个网络，来反映元素间的相互作用
b)复杂系统=分解+组合


网络分析十分重要 因为网络结构影响功能，功能反过来也影响结构


2. 复杂网络的重要性


当研究复杂系统时应该考虑个体之间的关联和作用


理解复杂系统的行为可以从理解系统相互作用网络的拓扑结构开始


网络拓扑结构的信息是研究系统性质和功能的基础。


一句话总结复杂网络的作用：复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它关注系统中个体相互关联作用的结构，是理解复杂系统型指和功能的一种途径。


复杂网络是对复杂系统的一种抽象

元素抽象成个体；相互作用抽象成网络中的连边。
3. 复杂网络实例

技术网络

WWW
因特网
电力网


社会网络

1.科学引文网

2.科学家合作网

3.社交网
交通运输网络

1.航空网

2. 城市公共交通网

3.道路交通网
生物网络
经济系统

1.投入产出网

2.国际贸易网

我们可以利用构建复杂网络的模式对不同领域进行研究。


1.2复杂网络研究的发展历程
1. 复杂网络研究的历史
1736 欧拉: 哥尼斯堡七桥问题

1950 Erdos,Renyi:  随机图论

1998 Strogatz;1999 Barabasi: 小世界和无标度网络

图论提供了网络研究的基础

网络的结构 ：理解复杂世界的关键
2.复杂网络的兴起

计算机技术的发展

拥有各种网络的数据库,并有可能对大规模的网络进行实证研究
普适性发现

许多实际网络具有相同的定性性质

且已有的理论不能描述和解释
理论研究的发展

a)小世界网络(Small World Network)，无标度网络(Scale-free Network)

b)统计物理学的研究手段

3.复杂网络研究 关心的一些问题

如何建立复杂网络模型
如何定量刻画复杂网络
网络是如何发展成现在这种结构的
网络特定结构的后果

网络的拓扑结构——静态集合量及其统计性质

如何针对网络拓扑结构做统计性质分析
从微观上，关注几个统计量度、聚集系数、最短路径、介数、权、相关性

度：节点的一阶邻居数
聚集系数：节点的一节近邻互相连接的情况
最短路径：连接两个节点的变数最少的路径
介数：任意一对节点间最短路径所经过的次数
权：连边的强度
度度相关性：不同度值的节点互相连接的倾向性
社团结构：网络的中观特性，社团内的连边相对紧密，社团间的连边相对稀疏。
结构模型：

规则网络：完全连接、最近邻居连接、星形连接、晶格网、全局耦合网络
随机网络、小世界网络、无标度网络




从中观上，网络 聚类分析

网络的演化性质和机制模型
时间演化性质、偏好性的检验
小世界、无标度

网络的结构与功能
网络的容错与抗攻击能力
网络上的动力学性质

4.ER随机图模型Erdős–Rényi model

$N$个节点，每对节点之间的连边概率为$p$


特征：

连通性 Poisson分布
齐次特征 每个节点大约有相同的连接数
节点数不增加



5.WS小世界网络模型

$N$个节点构成环状最近邻耦合网络，每条边以概率$p$随机重连。

在最近邻居连接网络的基础之上进行断边重连所形成的。（会形成长程的连接 使得网络性质发生变化。）


特征：

齐次性 每个节点有大约相同的连接数
节点不增加



6.无标度网络

特征：

连通性：幂指数分布（幂律分布）
非齐次性：很少的节点有很多连接，很多的节点只有很少的连接
节点数增加



7.网络的结构和功能

网络的鲁棒性和抗毁性
网络上的动力学行为和过程

动力系统
传播过程
博弈与其他社会行为



1.3复杂网络分析案例

以科学引文网络为例

有向、无权、无环网络
节点：论文
连边：论文间的引用关系
网络中的节点数与连边数随时间动态变化

邻接矩阵$A=$($A$$ij$)$N$$\times$$N$
若论文$i$引用论文$j$,则$A$$ij$$=1$
若论文$i$与论文$j$不存在引用关系，则$A$$ij$$=0$


基于不同的引文数据构建不同的引文网络
静态引文网络的统计特性

度分布
度度相关性
集聚系数
距离
社团结构

增加了对科学引文网络结构上的认识


引文网络的动态特性

引文网络的社团随时间变化

论文的平均引用数随时间变化
引文网络的演化机制

引文网络的增长是因为它有复制的机制，基于此机制可以得出来与实际的引文网络性质定性相同的结果。

→模拟了论文的平均惨老文献数量随时间的演化→进行理论模型和实际结果定性间的一个比较
基于引文网络的知识扩散、思想传播

使用SIR模型模拟引文网络上思想的传播

基于科学引文网 学科领域间知识的流动

网络模型提供了新角度/途径来理解一个实际系统


参考文献



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Phys.Rev E 71(2005)036118. ↩︎

Scientific Reports, 2014, 4:6663. ↩︎

Nature Physics, 2015, 11(10):791-796. ↩︎