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  • 无约束优化问题

    2019-03-06 19:30:13
    无约束优化问题的解有全局解和局部解两种,而实际上可行的往往只有局部解(或严格局部解)。如不加说明我们讨论的都是局部解。 局部解定义 设 x ∗ ∈ R n x^{*} \in \mathbb{R}^{n} x ∗ ∈ R n ,若存在 x ...

    无约束问题与最优解

    考虑如下最优化问题:
    minxRnf(x)\underset{x \in \mathbb{R}^{n}}{min}f(x)
    无约束最优化问题的解有全局解和局部解两种,而实际上可行的往往只有局部解(或严格局部解)。如不加说明我们讨论的都是局部解。

    • 局部解定义
      xRnx^{*} \in \mathbb{R}^{n},若存在xx^{*}δ(δ>0)\delta(\delta > 0)邻域
      Nδ(x)={xxx<δ}N_{\delta}(x^{*}) = \{x \mid \left \| x - x^{*} \right \| < \delta \}
      使得
      f(x)f(x),xNδ(x)f(x) \geqslant f(x^{*}), \forall x\in N_{\delta}(x^{*})
      则称xx^{*}f(x)f(x)的局部解,若
      f(x)>f(x),xNδ(x)f(x) > f(x^{*}), \forall x\in N_{\delta}(x^{*})
      则成xx^{*}f(x)f(x)的严格局部解。

    最优性条件

    Reference:
    https://blog.csdn.net/philthinker/article/details/78191864

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  • 9.1 无约束优化问题 例子 强凸性及其含义 无约束优化问题 其中是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点,这里用表示最优值。 由于f是二次可微凸函数,最优点应满足: 所以无约束优化问题...

    9.1 无约束优化问题

    1. 例子
    2. 强凸性及其含义

    无约束优化问题

    minimize \,\, f(x)其中f:R^n \rightarrow R是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点x^*,这里用p^*表示最优值inf_xf(x)=f(x^*)

    由于f是二次可微凸函数,最优点x^*应满足:\bigtriangledown f(x^*)=0

    所以无约束优化问题的求解变成了求解上述方程的解。一般情况下,必须采用迭代算法求解此方程,即计算点列x^{(0)},x^{(1)}\cdots \in dom(f)使得k\rightarrow \infty时,f(x^{(k)})\rightarrow p^*,这样的点列被称为优化问题的极小化点列。当f(x^{(k)})-p^* \leq \varepsilon时,算法将终止,其中\varepsilon >0是设定的容许误差值。

    初始点和下水平集

    迭代的方法需要一个适当的初始点x^{(0)},该初始点必须满足两个条件:

    1. 初始点必须在dom(f)内
    2. 下水平集S=\left \{ x \in dom(f)|f(x)\leq f(x^{(0)}) \right \}必须是闭集。

    条件1很容易满足,条件2却不容易满足。除非在全部的下水平集都是闭集的时候,条件2才容易满足。

    全部下水平集都是闭集的情况:

    1. epi f (f的上境图)是闭集
    2. dom f=R^n
    3. x \rightarrow bd(dom(f)),即x趋于dom(f)的边界时,f(x)\rightarrow \infty

    下水平集的条件数

    对任意满足\begin{Vmatrix}q \end{Vmatrix}_2=1的方向向量q,我们定义凸集C\subseteq R^n的宽度如下:

    W(C,q)=sup_{z\in C}q^Tz-inf_{z \in C}q^Tz

    再定义C的最小宽度和最大宽度:

    W_{min}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{inf}W(C,q), W_{max}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{sup}W(C,q)

    于是凸集C的条件数可以表示成:

    cond(C)=\frac{W^2_{max}}{W^@_{min}}

    例子

    无约束几何规划

    minimize \, \, f(x)=log(\sum_{i=1}^m exp(a_i^Tx+b_i))

    其最优性条件为:

    \bigtriangledown f(x^*)=\frac{1}{\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)}\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)

    但一般情况下,此方程组没有解析解,于是采用迭代方法,这里dom(f)=R^n,所以人和店都可以是初始点。

    线性不等式的解析中心

    minimize \, \, f(x)=-\sum_{i=1}^m log(b_i-a_i^Tx)

    其中dom(f)=\left \{ x|a_i^Tx<b_i,i=1,\cdots m\right \}

    采用迭代的方法,也可以找到初始点,因为当a_i^Tx\rightarrow b_i时,f(x)\rightarrow \infty,满足下水平集为闭集的条件。

    强凸性及其含义

    假设目标函数在S上是强凸的,这是指存在m>0使得\bigtriangledown^2 f(x)\succeq mI,对任意的x \in S都成立。

    对于任意的x,y \in S都有f(y)=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+1/2(y-x)^T\bigtriangledown ^2f(z)(y-x),z \in [x,y]

    由强凸性可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m(y-x)^T(y-x)

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2

    可知,对固定的x,不等式右边是y的二次凸函数,记为L,令其对y的一阶导数为0

    \bigtriangledown f(x)+ my-mx=0

    \hat{y}=x-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)

    可知L的最小值为L(\hat{y}),所以可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2\geq L(\hat{y})=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x))+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix}-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2=f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2

    由于y是任意的,又可推出p^*\geq f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2f(x)-p^*\leq \frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2

     

    来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/87944620

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  • 9.1无约束优化问题 例子 强凸性及其含义 无约束优化问题 其中是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点,这里用表示最优值。 由于f是二次可微凸函数,最优点应满足: 所以无约束优化问题...

    9.1无约束优化问题

    1. 例子
    2. 强凸性及其含义

    无约束优化问题

    minimize \,\, f(x)其中f:R^n \rightarrow R是二次可微凸函数(dom(f)是开集),假设该问题可解,存在最优点x^*,这里用p^*表示最优值inf_xf(x)=f(x^*)

    由于f是二次可微凸函数,最优点x^*应满足:\bigtriangledown f(x^*)=0

    所以无约束优化问题的求解变成了求解上述方程的解。一般情况下,必须采用迭代算法求解此方程,即计算点列x^{(0)},x^{(1)}\cdots \in dom(f)使得k\rightarrow \infty时,f(x^{(k)})\rightarrow p^*,这样的点列被称为优化问题的极小化点列。当f(x^{(k)})-p^* \leq \varepsilon时,算法将终止,其中\varepsilon >0是设定的容许误差值。

    初始点和下水平集

    迭代的方法需要一个适当的初始点x^{(0)},该初始点必须满足两个条件:

    1. 初始点必须在dom(f)内
    2. 下水平集S=\left \{ x \in dom(f)|f(x)\leq f(x^{(0)}) \right \}必须是闭集。

    条件1很容易满足,条件2却不容易满足。除非在全部的下水平集都是闭集的时候,条件2才容易满足。

    全部下水平集都是闭集的情况:

    1. epi f (f的上境图)是闭集
    2. dom f=R^n
    3. x \rightarrow bd(dom(f)),即x趋于dom(f)的边界时,f(x)\rightarrow \infty

    下水平集的条件数

    对任意满足\begin{Vmatrix}q \end{Vmatrix}_2=1的方向向量q,我们定义凸集C\subseteq R^n的宽度如下:

    W(C,q)=sup_{z\in C}q^Tz-inf_{z \in C}q^Tz

    再定义C的最小宽度和最大宽度:

    W_{min}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{inf}W(C,q), W_{max}=\underset{\begin{Vmatrix} q\end{Vmatrix}_2=1}{sup}W(C,q)

    于是凸集C的条件数可以表示成:

    cond(C)=\frac{W^2_{max}}{W^@_{min}}​​​​​​​

    例子

    无约束几何规划

    minimize \, \, f(x)=log(\sum_{i=1}^m exp(a_i^Tx+b_i))

    其最优性条件为:

    \bigtriangledown f(x^*)=\frac{1}{\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)}\sum_{i=1}^mexp(a_i^Tx+b_i)

    但一般情况下,此方程组没有解析解,于是采用迭代方法,这里dom(f)=R^n,所以人和店都可以是初始点。

    线性不等式的解析中心

    minimize \, \, f(x)=-\sum_{i=1}^m log(b_i-a_i^Tx)

    其中dom(f)=\left \{ x|a_i^Tx<b_i,i=1,\cdots m\right \}

    采用迭代的方法,也可以找到初始点,因为当a_i^Tx\rightarrow b_i时,f(x)\rightarrow \infty,满足下水平集为闭集的条件。

    强凸性及其含义

    假设目标函数在S上是强凸的,这是指存在m>0使得\bigtriangledown^2 f(x)\succeq mI,对任意的x \in S都成立。

    对于任意的x,y \in S都有f(y)=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+1/2(y-x)^T\bigtriangledown ^2f(z)(y-x),z \in [x,y]

    由强凸性可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m(y-x)^T(y-x)

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2

    可知,对固定的x,不等式右边是y的二次凸函数,记为L,令其对y的一阶导数为0

    \bigtriangledown f(x)+ my-mx=0

    \hat{y}=x-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)

    可知L的最小值为L(\hat{y}),所以可推出

    f(y) \geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix} y-x\end{Vmatrix}_2^2\geq L(\hat{y})=f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x))+\frac{1}{2}m\begin{Vmatrix}-\frac{1}{m}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2=f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2

    由于y是任意的,又可推出p^*\geq f(x)-\frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2f(x)-p^*\leq \frac{1}{2m}\begin{Vmatrix}\bigtriangledown f(x)\end{Vmatrix}_2^2​​​​​​​

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  • 若D=Rn,也就是所有元素都在这个可行域里面,那么就没有起约束作用的约束函数或者是根本就没有约束函数,此时最优化数学模型中的x叫做自由变量,此时的最优化问题叫做无约束优化问题。 若D真包含于Rn,也就是不是...

    设有一个可行域D:
    若D=Rn,也就是所有元素都在这个可行域里面,那么就没有起约束作用的约束函数或者是根本就没有约束函数,此时最优化数学模型中的x叫做自由变量,此时的最优化问题叫做无约束优化问题。
    若D真包含于Rn,也就是不是所有的元素都在这个可行域里面,也就是有元素x被限制在可行域外面了,此时的最优化问题叫做约束优化问题。

    约束优化问题转为为无约束优化问题的方法:Lagrange乘子化(拉格朗日乘子化)。然后得到多元函数,然后对各个变量求偏导数。

    曲线拟合问题:
    比如某个实验得出一系列数据,但是由于实验误差导致使每个点都在某个函数上的函数很难找到,而且就算找到了,由于数据有误差,这样子的函数也没有意义,所以我们就只需要找到一条最贴近这一系列点的函数(就是这个函数使整体误差最小)就可以了,这样子还有排除误差的作用,反而会更精确。
    在这里插入图片描述
    有的时候绝对值算不出来(听老师说是很多时候都是这样),所以可以用平方,因为反正绝对值越大,对应的的平方也就越大,并且,平方越大,也就意味着这个数越大,所以完全可以平方化来简化运算。

    曲线拟合基本思想:
    1.找基函数。
    基函数可以是x的n次幂(1,x,x2,x3…),可以是sinx,或者是指数e的nx次方。
    2.线性组合,在每个基函数前面乘上一系列系数,然后相加。
    3.用函数在xi点的函数值s(xi)-yi,然后平方,得到误差的平方,然后求和。
    4.求偏导数。

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  • matlab解决无约束优化问题

    千次阅读 2020-06-06 21:01:21
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  • 无约束优化问题的基本概念:
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  • 无约束优化问题(二)

    千次阅读 2018-01-12 23:26:07
    上一篇我们介绍了无约束优化问题的算法框架,初步了解了无约束优化问题的几种算法。本篇内容将会讲解线搜索方法中的一种古老的方法——梯度法(也称最速下降法) 在算法框架中我们提到,不同的方式确定搜索方向或...
  • 压缩包中分为两部分,一部分为全局优化问题,另一部分为matlab源代码,每个代码块都有大量的注释,很简明,用户也可用本代码求解其他无约束优化问题
  • 无约束优化问题——线搜索

    千次阅读 2018-08-25 17:03:05
     本文尝试通过线搜素的方法解决无约束优化问题 。  线搜索方法是在每一步迭代中先计算一个线性方向p_k,然后决定一个步长alpha_k。具体迭代点变化如下所示:    因此,线搜索方法的关键在于怎样确定搜索方向...
  • 2.1 基本优化问题 $\operatorname{minimize}\text{ ...解决无约束优化问题的一般步骤为: Step1:选择一个初始出点${{\mathbf{x}}_{0}}$(这里的${{\mathbf{x}}_{0}}$是向量),设置一个收敛误差$\varepsilon $(解...
  • 惩罚函数的引入可以将一个约束非线性问题转化为无约束的非线性规划,而无约束线性规划可以用梯度法等实现求解,利用惩罚函数更方便我们制成计算机算法,在现代计算机算法中,凡涉及到求解最值,都会大量的运用惩罚...
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  • 无约束优化问题是机器学习中最普遍、最简单的优化问题 x∗=minxf(x),x∈Rnx^{*}=\mathop{min}\limits_{x}f_{(x)},x\in R^{n}x∗=xmin​f(x)​,x∈Rn 梯度下降法推导 对于只有两个维度的函数f(x,y)f_{(x,y)}f(x,y)...
  • 此部分内容接《02(a)多元无约束优化问题》! 第二类:牛顿法(Newton method) \[f({{\mathbf{x}}_{k}}+\mathbf{\delta })\text{ }\approx \text{ }f({{\mathbf{x}}_{k}})+{{\nabla }^{T}}f({{\mathbf{x}}_{k}})\...
  • 此部分内容接《02(a)多元无约束优化问题-牛顿法》!!! 第三类:拟牛顿法(Quasi-Newton methods) 拟牛顿法的下降方向写为: ${{\mathbf{d}}_{k}}=-{{\mathbf{S}}_{k}}\cdot \nabla f({{\mathbf{x}}_{k}})$ 关键...
  • 此部分内容接02(a)多元无约束优化问题的内容! 第一类:最速下降法(Steepest descent method) \[f({{\mathbf{x}}_{k}}+\mathbf{\delta })\approx f({{\mathbf{x}}_{k}})+{{\nabla }^{T}}f({{\mathbf{x}}_{k}})\...

空空如也

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