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  • 哈夫曼树又称优树(二叉树),是一类带权路径最短的树。构造这种树的算法早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出,这种树在信息检索中很有用。 结点之间的路径长度:从一个结点到另一个结点之间的分支数目。 树的路径...

    哈 夫 曼 树

    1. 二叉树的应用

    1.1 哈夫曼树及应用

    哈夫曼树又称最优树(二叉树),是一类带权路径最短的树。构造这种树的算法最早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出,这种树在信息检索中很有用。
    结点之间的路径长度:从一个结点到另一个结点之间的分支数目。
    树的路径长度:从树的根到树中每一个结点的路径长度之和。
    结点的带权路径长度:从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。
    树的带权路径长度:树中所有叶子结点的带权路径长度之和,记作:
    WPL为最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树。
    完全二叉树不一定是最优二叉树。

    1.2 哈夫曼树的构造:

    (1)根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构造n棵二叉树的集合F={T1,T2,…,Tn},其中Ti中只有一个权值为wi的根结点,左右子树7a64e59b9ee7ad9431333236393763为空;
    (2)在F中选取两棵根结点的权值为最小的数作为左、右子树以构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左、右子树上根结点的权值之和。
    (3)将新的二叉树加入到F中,删除原两棵根结点权值最小的树;
    (4)重复(2)和(3)直到F中只含一棵树为止,这棵树就是哈夫曼树。

    1.3 结点的存储结构:

    构造哈夫曼树的算法说明:
    #define n /* 叶子总数 /
    #define m 2
    n-1 /* 结点总数 /
    证:叶子结点数 n0=n2+1,故哈夫曼树结点总数为 n0+n2=n0+(n0-1)=2
    n0-1
    例3 在解某些判定问题时,利用哈夫曼树获得最佳判定算法。
    (a)
    WPL=0.051+0.152+0.43+0.34+0.14=3.15
    (b)
    WPL=0.4
    1+0.32+0.153+0.054+0.14=2.05
    (c)
    WPL=0.053+0.153+0.42+0.32+0.1*2=2.2

    2. 哈夫曼编码

    从哈夫曼树根结点开始,对左子树分配代码“0”,右子树分配代码“1”,一直到达叶子结点为止,然后将从树根沿每条路径到达叶子结点的代码排列起来,便得到了哈夫曼编码。
    例,对电文 EMCAD 编码。若等长编码,则
    EMCAD => 000001010011100 共15位
    设各字母的使用频度为 {E,M,C,A,D}={1,2,3,3,4}。用频度为权值生成哈夫曼树,并在叶子上标注对应的字母,树枝分配代码“0”或“1”:
    各字母的编码即为哈夫曼编码: EMCAD => 000001011011 共12位

    3.二叉排序树

    二叉排序树是一种特殊结构的二叉树,它作为一种表的组织手段,通常被称为树表。可以作为一种排序和检索的手段。
    定义 二叉排序树或是空树,或是具有下述性质的二叉树:其左子树上所有结点的数据值均小于根结点的数据值;右子树上所有结点的数据值均大于或等于根结点的数据值。左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。
    对二叉排序树,若按中序遍历就可以得到由小到大的有序序列。如上图,中序遍历得:
    {2,3,4,8,9,9,10,13,15,18}

    3.1 二叉排序树的生成

    对任意一组数据元素序列{R1,R2,…,Rn},要生成一棵二叉排序树的过程为:
    (1)令R1为二叉树的根;
    (2)若R2<R1,令R2为R1左子树的根结点,否则R2为R1右子树的根结点;
    (3)对R3,…,Rn结点的插入方法同上。
    例,数据元素序列{10,18,3,8,12,2,7,3},其生成二叉排序树的过程如下:

    3.2 二叉排序树中结点的删除

    要求删除一个结点后的二叉树仍是一棵二叉排序树。算法思想,分以下几种情况考虑:
    (1)被删除的结点是叶子结点,则只需修改其双亲结点的指针既可;
    (2)被删除结点p只有左子树pL或右子树pR,此时只要使左子树pL或右子树pR成为p双亲结点q的左子树或右子树即可。
    (3)若被删除结点p的左、右子树均非空,有两种做法:
    *
    令pL直接链接到q的左(或右)孩子链域上,pR链接到p结点中序前趋结点s上(s是pL最右下的结点);
    *
    以p结点的直接中序前趋或后继替代p所指结点,然后再从原二叉排序树中删去该直接前趋或后继。

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  • 1. 试证明哈夫曼问题具有贪心选择性质: 二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码,证明可以对T作适当修改后得到一棵新的二叉树T”,在T”中x和y是最深叶子且为兄弟,同时T”表示的前缀码也是C的最优前缀码。设b和c是...

    1. 试证明哈夫曼问题具有贪心选择性质:

     二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码,证明可以对T作适当修改后得到一棵新的二叉树T”,在T”中x和y是最深叶子且为兄弟,同时T”表示的前缀码也是C的最优前缀码。设b和c是二叉树T的最深叶子,且为兄弟。设f(b)<=f(c),f(x)<=f(y)。由于x和y是C中具有最小频率的两个字符,有f(x)<=f(b),f(y)<=f(c)。首先,在树T中交换叶子b和x的位置得到T',然后再树T'中交换叶子c和y的位置,得到树T''。如图所示:

        由此可知,树T和T'的前缀码的平均码长之差为:

         因此,T''表示的前缀码也是最优前缀码,且x,y具有相同的码长,同时,仅最优一位编码不同。

    2. 试证明哈夫曼问题具有最优子结构性质:

     二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码,xy是树T中的两个叶子且为兄弟,z是它们的父亲。若将z当作是具有频率f(z)=f(x)+f(y)的字符,则树T’=T-{x,y}表示字符集C’=C-{x, y} { z}的一个最优前缀码。因此,有:

         如果T’不是C’的最优前缀码,假定T”C’的最优前缀码,那么有

    ,显然T”’是比T更优的前缀码,跟前提矛盾!故T'所表示的C'的前缀码是最优的。

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  • 希望通过每次所作的贪心选择导致最终结果是问题的一个优解。这种启发式的策略并不总能奏效,然而在许多情况下确能达到预期的目的。解活动安排问题的贪心算法就是一个例子。下面我们着重讨论可以用贪心算法求解的...
  • 动态规划的最优子结构性质 动态规划的子问题重叠性质 前向优化 后向优化 例 5.1.2 连续变量的资源分配问题 例 5.3.2 多阶段有限资源分配问题 递推方程 例 5.3.1 解TSP问题 计算一个单元格 计算过程

    🚀【MOOC数学建模与实验---学习笔记---整理汇总表】🚀

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    目   录

    动态规划研究的问题

    内容

    动态规划思想

    问题举例一:最短路问题

    如何求解?(后向优化)

    逆向求解递推方程(标号法)

    动态规划表格

    递归如何?循环如何?

    问题举例二:资源分配问题

    再描述一遍

    如何求解?(后向优化)

    例 5.1.2 离散变量的资源分配问题

    如何求解?

    计算一个单元格

    说明

    计算结果

    递归的方法

    多阶段决策问题

    动态规划的最优子结构性质

    动态规划的子问题重叠性质

    前向优化

    后向优化

    例 5.1.2 连续变量的资源分配问题

    例 5.3.2 多阶段有限资源分配问题

    递推方程

    例 5.3.1 解TSP问题

    计算一个单元格

    计算过程


    数学规划:线性规划、非线性规划      动态规划 内容、处理方法、最优化理论 

    动态规划研究的问题

    动态规划:整体最优解,由各段的决策变量构成。各段的决策变量的确定,与整体最优解密切相关。

    当整体最优解确定后,每一段的决策变量才会确定下来。--> 动态过程 --> 动态规划

    旅行售后问题、背包问题

    内容

    • 多阶段决策问题和最优化原理
    • 定期多阶段决策问题
    • 不定期多阶段决策问题

    动态规划思想

    动态规划(Dynamic Programming,DP)是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初,美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人在研究多阶段决策过程的优化问题时,提出了著名的最优化原理,从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛,包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域,并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果 [1]  。

    动态规划思想:把解决一个问题分为n个阶段,从 当前阶段 到 最终实现目标 所采取的策略,是 最优策略。

    1~n步,当前在第k步,到第n步结束,1~k步 不要求了,k~n步 必须满足最优策略。

    问题举例一:最短路问题

    基本思想(倒着推):

    从f1到g的路程是最短的(不管a到f1);从f2到g的路程是最短的(不管a到f2);

    从e1到g的路程是最短的(3+4=7);从e2到g的路程是最短的(2+3=5);从e3到g的路程是最短的(6+3=9);

    从d1到g的路程是最短的【d1 -> e1(7+2=9),d1 -> e2(5+2=7)】;从d2到g的路程是最短的【1+5,2+9】;

    依次倒着推...   算到a的时候,就得到了问题答案。

    如何求解?(后向优化)

    多阶段决策问题

    递推关系式

    l(u, v):u到v的距离。

    逆向求解递推方程(标号法)

    a -> b1 -> c2 -> d1 -> e2 -> f2 -> g.

    动态规划表格

    递归如何?循环如何?

    问题举例二:资源分配问题

    再描述一遍

    注意回收资源 

    第1阶段  x1 = x

    第2阶段 x2 = ay1 + b(x1 - y1)

    ...

    如何求解?(后向优化)

    例 5.1.2 离散变量的资源分配问题

    如何求解?

    计算一个单元格

    说明

    计算结果

    递归的方法

    多阶段决策问题

    动态规划的最优子结构性质

    动态规划的子问题重叠性质

    前向优化

    后向优化

    例 5.1.2 连续变量的资源分配问题

    加入只有一个部门生产 f_{1}(x)= max{g(x), h(x)} = max{x^{2}, 2x^{2}} = 2x^{2}.

    :生产的第2阶段

       利润(生产效益):g(x);     ax:回收得到的剩余资源;     f_{1}(ax):利用 剩余资源 得到的利润

    如果生产只有两个阶段的话,资源全部给B部门。

    第3阶段:生产结束后,剩余ax资源;f2(ax):资源总数为ax的时候,经过2个阶段生产的最大收益是f2(ax)。

    f3(ax):资源总数为ax,经过3个阶段生产的最大收益是f3(ax)。

     g(x)+f4(ax):开始阶段的收益 + 后面4个阶段的最大收益。

    例 5.3.2 多阶段有限资源分配问题

    递推方程

    U\{vj}:从U中把vj去掉。

    例 5.3.1 解TSP问题

    旅行商问题,即TSP问题(Traveling Salesman Problem)又译为旅行推销员问题、货郎担问题,是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市,他必须选择所要走的路径,路径的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。 

    计算一个单元格

    计算过程

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  • 最优子结构特征

    千次阅读 2020-03-22 16:50:02
    最优子结构:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质(即满足最优化原理)。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。 无后效性:即子问题的解一旦确定,就...

    最优子结构:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质(即满足最优化原理)。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
    无后效性:即子问题的解一旦确定,就不再改变,不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。
    重复子问题:。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只计算一次,然后将其计算结果保存在一个表格中,当再次需要计算已经计算过的子问题时,只是在表格中简单地查看一下结果,从而获得较高

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  • 最优子结构性质(反证法) 计算某问题的最优解包含的计算该问题的子问题也是最优解。事实上,如果找到子问题的更优解,则可以替换当前子问题的解,得到一个比最优解更优的解,这是一个矛盾。 贪心选择性质(数学...
  • 首先,用多边形逆时针顶点的集合来表示凸多边形。 其次,图形描述-结构描述。 分析,最优子结构性质。 分析,最优三角分解递归结构。 最后,最优值计算。
  • 一、贪心算法 体现贪心:不从整体考虑,用局部的,仅有数据做出选择,且以后不会改变...最优子结构性质 2.子问题重叠性质 3.自底而上的求解方法 动态规划问题其实就是一道从局部到整体的递推问题,子结构最优使...
  • 文章目录1. 最优子结构1.1 直接最优子结构1.2 间接最优子结构2. dp数组的遍历方向3. 文章来源 ...首先必须要明确一个问题:「最优子结构」是某些问题的一种特定性质,并不是动态规划问题专有的。 ...
  • 因此,可以初步得出动态规划的基本思想:将一个具有最优子结构性质的问题分成若干个子问题,在求解过程中,记录下子问题的结果,存储在一个表格中,使得公共的子问题只需要计算一次。书中给出的基本原理:动态规划将...
  •   如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解,此问题具有最优子结构性质。 发掘最优子结构性质的通用模式 证明问题最优解的第一个组成部分是做出一个选择,做出这次选择会产生一个或多个问题; 对于一个给定的...
  • 按照自己的理解写的
  • 问题描述: 设有n个独立的作业,由m台相同的机器进行加工处理。作业i所需的处理时间为t[i]。任何作业可以在任何一台机器上面加工处理,但未完工之前不允许中断处理。任何作业不能 拆分成更小的作业。...
  • 4 动态规划算法的基本要素 一最优子结构 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解这种性质称为最优子结构性质 在分析问题的最优子结构性质时所用的方法具有普遍性首先假设由问题的最优解导出的子问题的...
  • 动态规划原理

    2016-04-25 11:29:00
    某个问题是否适用动态规划方法,观察其是否具有最优子结构性质是一个好的线索(具有最优子结构性质也可能意味着适用贪心策略)。实际上,发掘最优子结构性质遵循如下的通用模式: 证明问题最优解的第一个部分是...
  • 动态规划基本要素

    2017-12-05 14:37:00
    动态规划性质:1 最优子结构性质 2 子问题重叠性质----->该问题可用动态规划算法求解的基本要素 1 最优子结构 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质最优子结构性质提供了该问题...
  • 动态规划算法的基本要素

    万次阅读 2016-10-08 22:09:05
    最优子结构性质和子问题重叠性质是该问题可用动态规划算法求解的基本要素: 1.最优子结构  当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质提供了该问题可用动态规划...
  • 算法设计分析题库七

    千次阅读 多人点赞 2020-07-04 09:10:56
    最优子结构性质和贪心选择性质D.重叠子问题性质和贪心选择性质 2单选 矩阵连乘问题的算法可由( D )设计实现。 A.分支界限算法B.贪心算法C.回溯算法D.动态规划算法 3单选 一个问题可用动态规划算法或者贪心算法...
  • 动态规划模板总结

    2018-08-06 17:07:00
    动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题,动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。 试用情况: 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构...
  • 在分析问题的最优子结构性质时,所用的方法具有普遍性:首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的,然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解,从而导致矛盾。 利用问题的最优子结构性质...
  • DP小总结

    2019-03-30 23:04:22
    最优子结构性质:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质(即满足最优化原理)。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。 子问题重叠性质:子问题重叠性质...
  • 动态规划

    2016-11-21 21:50:28
    目录 目录 ... 动态规划问题的基本要素(1)最优子结构性质  当问题的最优解包含了子问题的最优解时,我们称问题具有最优子结构性质。   在动态规划算法中,利用问题的最优子结构性质,以自底向上
  • 算法设计分析题库四

    多人点赞 2020-07-04 08:41:24
    A最优子结构性质与贪心选择性质 B预排序与递归调用 C最优子结构性质与重叠子问题性质 D重叠子问题性质与贪心选择性质 2、单选 下面问题( A )不能使用贪心法解决。 A N皇后问题 B 最小花费生成树问题 C 单源...
  • 动态规划算法的有效性依赖于待求解问题本身具有的两个重要性质:最优子结构性质和子问题重叠性质。 1、最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质(即满足最...
  • 动态规划的基本要素

    千次阅读 2019-07-04 13:37:48
    当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质提供了该问题可用动态规划算法求解的重要线索。 在动态规划算法中,利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式递归...

空空如也

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最优子结构性质