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  • 最小二乘法矩阵形式推导过程

    万次阅读 2019-06-11 16:09:28
    今天稍微回顾了一下最小二乘法的计算步骤,对于一般形式就不说了,对于矩阵形式,以前就没有搞得太明白,今天就仔细看了看,原来是矩阵球道的过程没有搞懂,现在计算如下: 现在形式如下: 的形式,其中,w为列...

    关于矩阵求导部分,可以参考百度文库,讲的比较详细:

    https://wenku.baidu.com/view/f7fa307a580216fc700afdb9.html

    今天稍微回顾了一下最小二乘法的计算步骤,对于一般形式就不说了,对于矩阵形式,以前就没有搞得太明白,今天就仔细看了看,原来是矩阵球道的过程没有搞懂,现在计算如下:

    现在形式如下:

    y=Xw+b

    的形式,其中,w为列向量,可以对b进行省略,将X改成如下所示:

    那么回归方程就变成了如下所示

    y=Xw 

    那么,关于最小二乘法的矩阵形式,就是求w,如下:

     

    其中,这一步求导的计算过程如下所示

    \frac{\partial E}{\partial w}= \frac{\partial (y-Xw)^{T}(y-Xw))}{\partial w}\\ = 2\frac{\partial (y-Xw)^{T}}{\partial w}(y-Xw)\\ = 2\frac{\partial (-Xw)^{T}}{\partial w}(y-Xw)\\ = 2 X^{T}(Xw-y) 

    这里面的详细过程需要参考矩阵求导过程,比如百度文库中的。

    然后这个式子为0,通过矩阵乘法展开,就可以得到

    需要注意的是,因为这里面有逆的存在,因此要求为 X^{T}X 满秩才可以

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  • 最小二乘法矩阵求导过程推导

    千次阅读 2018-01-19 22:27:31
    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。在开始之前,首先来认识一...

    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。在开始之前,首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下 

    一个的矩阵的迹是指的主对角线上各元素的总和,记作。即      

     

     

                            

                 

     好了,有了上述7个定理,就可以来求最小二乘解了。设

     

      

    那么进一步得到 

        

     接下来会涉及到矩阵求导,因为 

        

    那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理,得到

     

        

     我们知道在极值点处梯度值为零,即 :

        

    上述得到的方程组叫做正规方程组,那么最终得到 

        

    这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可,不再需要像梯度下降那样迭代了。 

    既然说到了正规方程组,在介绍一种方程组,叫做超定方程组,它的定义为:把方程个数大于未知量个数的方程组叫做超定方程组。通常来说,对于一个超定方程组来说,求最小二乘解只需要两边同时乘的转置,然后得到正规方程组,然后解这个方程就得到了最小二乘解。

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  • 顾名思义,从数学意义推导最小二乘法公式: 一,解释 最小二乘法本质是寻找一组x,使Ax与b距离最近。写成二范数的形式为: 最合适的x一般出现在函数的极值点,也就是导数为0的点,所以为求导计算方便,我们...

    顾名思义,从数学意义推导最小二乘法公式:

    一,解释

    最小二乘法本质是寻找一组x,使Ax与b距离最近。写成二范数的形式为:

             

    最合适的x一般出现在函数的极值点,也就是导数为0的点,所以为求导计算方便,我们用二范数的平方作为计算公式:

              


    补充知识:设下列向量条件

     

    (1)二范数

    (2)标量对列向量求导

                    

          证明过程:

         另一个同理可证。

    (3)特殊标量对列向量求导

      证明过程:


    二,推导过程

    因为

    最小二乘法所需要的极小值点一般会出现在偏导为0的地方,所以

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  • 1.最小二乘法的矩阵表现形式 ...第二页纸抄上了几个要用到的矩阵求导公式,以及推导过程和结果. 要说明的是:推导结果与theta, X 和 y 的 shape有直接关系.该证明与西瓜书的结论类似。实质完全相同。 ...

    1.最小二乘法的矩阵表现形式

    第一页纸定义了损失函数的样子, theta, X 和 y 的 shape, 以及最终的损失函数向量表现形式.
    在这里插入图片描述

    2.最小化时参数θ\theta矩阵式求解的推导

    第二页纸抄上了几个要用到的矩阵求导公式,以及推导过程和结果.
    要说明的是:推导结果与theta, X 和 y 的 shape有直接关系.该证明与西瓜书的结论类似。实质完全相同。
    在这里插入图片描述

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  • 最小二乘法矩阵解法

    千次阅读 2018-07-09 21:39:00
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  • 最小二乘法之求和与矩阵互转

    千次阅读 2018-04-29 13:56:05
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  •  ... 1.线性代数模型 首先给出最小二乘解的矩阵形式的公式: ...推导过程: 条件: 矩阵必须是列满秩矩阵,否则的逆就不会存在。 若A为m×n的矩阵,b为m×1的矩阵,则Ax=b表
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  • 最小二乘法原理

    2015-01-30 15:16:37
    1.线性代数模型 首先给出最小二乘解的矩阵形式的公式: ...推导过程: 条件: 矩阵必须是列满秩矩阵,否则的逆就不会存在。 若A为m×n的矩阵,b为m×1的矩阵,则Ax=b表达了一个线性方程组,
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    千次阅读 2017-11-05 10:40:11
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    2017-08-09 11:08:42
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  • 计算机视觉原理——RANSAC

    千次阅读 2018-09-27 22:13:36
    对于上一篇文章——一分钟详解「本质矩阵推导过程中,如何稳健地估计本质矩阵或者基本矩阵呢?正是这篇文章重点介绍的内容。 基本矩阵求解方法主要有: 直接线性变换法 8点法 最小二乘法 基于...
  • 学习卡尔曼滤波推导笔记系列(2)

    千次阅读 2016-12-20 16:17:41
    在第一部分中,我们讨论了...学习卡尔曼滤波估计,要知道最优估计理论里面的相关知识,更要了解最基础最根本的最优估计理论,那就是古典最小二乘法。今天我们将从它的证明过程来学习矩阵运算、向量运算的一些基本知识。
  • 多元线性回归和广义线性回归 (1)

    千次阅读 2020-04-21 00:05:51
    目录背景多元线性回归常规公式拟合思路最小二乘法推导将自变量系数与自变量整合为矩阵模拟过程存在误差项误差项符合高斯分布最大似然函数的引入自变量系数的估值求解评估β的估值是否合理 背景 线性回归模型的建立...
  • 对于上一篇文章——一分钟详解「本质矩阵推导过程中,如何稳健地估计本质矩阵或者基本矩阵呢?正是这篇文章重点介绍的内容。 基本矩阵求解方法主要有: 直接线性变换法 8点法 最小二乘法 基于RANSAC的鲁棒方法...
  • 线性回归推导过程,包含线性代数基础-矩阵和向量、加法和标量乘法、矩阵乘法、线性回归-最小二乘法定义等,从浅至深入门机器学习数学基础。

空空如也

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