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  • 最小圆覆盖

    2021-03-14 10:33:34
    最小圆覆盖问题 在一个平面上,给出 N 个点,求包围这些点的最小圆,输出圆心及半径。 分析 虽然可以用模拟退火或者三分套三分, 这里只讲随机增量法, 随机增量法是一种确定性算法,随机意义下均摊复杂度 O(n),...

    最小圆覆盖问题
    在一个平面上,给出 N 个点,求包围这些点的最小圆,输出圆心及半径。

    分析
    虽然可以用模拟退火或者三分套三分,

    这里只讲随机增量法,

    随机增量法是一种确定性算法,随机意义下均摊复杂度 O(n),而且可以达到很高的精度(可达到 10−10 量级)

    有事实:如果点 p 不在集合 S 的最小圆覆盖内,则 p 一定在 S∪{p} 的最小圆覆盖上。

    易知,当 n 个点的分布随机时,因为三点定一圆,所以一个点不在圆上的概率为 3/i(也就外接圆上的3个点不在圆上)

    根据这个定理,我们可以分三次确定前 i 个点的最小圆覆盖:

    1.令前 i−1 个点的最小覆盖圆为 C
    2.如果第 i 个点在 C 内,则前 i 个点的最小覆盖圆也是 C
    3.如果不在,那么第 i 个点一定在前 i个点的最小覆盖圆上,接着确定前 i−1 个点中还有哪两个在最小覆盖圆上。因此,设当前圆心为 Pi,半径为 0,做固定了第 i 个点的前 i 个点的最小圆覆盖。
    4.固定了一个点:不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点 Pj,设当前圆心为 (Pi+Pj)/2,半径为 |PiPj|/2,做固定了两个点的,前 j 个点外加第 i 个点的最小圆覆盖。
    5.固定了两个点:不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点 Pk,设当前圆为 Pi,Pj,Pk 的外接圆。

    最后利用中垂线3点定圆
    在这里插入图片描述

    #include <iostream>
    #include <string.h>
    #include <stdio.h>
    #include <algorithm>
    #include <math.h>
    
    using namespace std;
    const double eps=1e-8;
    const int maxn = 100000 + 10;
    
    struct Point
    {
        double x,y;
    };
    
    Point p[maxn];
    
    double dist(Point A,Point B)
    {
        return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));
    }
    
    /***返回三角形的外心 */
    Point circumcenter(Point A,Point B,Point C)
    {
        Point ret;
        double a1=B.x-A.x,b1=B.y-A.y,c1=(a1*a1+b1*b1)/2;
        double a2=C.x-A.x,b2=C.y-A.y,c2=(a2*a2+b2*b2)/2;
        double d=a1*b2-a2*b1;
        ret.x=A.x+(c1*b2-c2*b1)/d;
        ret.y=A.y+(a1*c2-a2*c1)/d;
        return ret;
    }
    
    /***c为圆心,r为半径 */
    void min_cover_circle(Point *p,int n,Point &c,double &r)
    {
        random_shuffle(p,p+n);      //将n个点随机打乱
        c=p[0]; r=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            if(dist(p[i],c)>r+eps)   //第一个点
            {
                c=p[i]; r=0;
                for(int j=0;j<i;j++)
                    if(dist(p[j],c)>r+eps)  //第二个点
                    {
                        c.x=(p[i].x+p[j].x)/2;
                        c.y=(p[i].y+p[j].y)/2;
                        r=dist(p[j],c);
                        for(int k=0;k<j;k++)
                            if(dist(p[k],c)>r+eps)  //第三个点
                            {   //求外接圆圆心,三点必不共线
                                c=circumcenter(p[i],p[j],p[k]);
                                r=dist(p[i],c);
                            }
                    }
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        int n;
        Point c;
        double r;
        while(~scanf("%d",&n)&&n)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)
                scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
            min_cover_circle(p,n,c,r);
            printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",c.x,c.y,r);
        }
        return 0;
    }
    
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