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  • 1 马尔可夫过程及其概率分布 2 多步转移概率的确定 3 遍历性 离散时间的马尔可夫链 连续时间的马尔可夫链

    1 马尔可夫过程及其概率分布
    2 多步转移概率的确定
    3 遍历性

    离散时间的马尔可夫链
    连续时间的马尔可夫链

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  • 基于转移概率矩阵概率布尔控制网络的可控制性
  • 一步转移概率矩阵的实现

    万次阅读 多人点赞 2017-08-11 11:33:01
    时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链,简称马氏链。记为 ...为马氏链在时刻m处于状态ai条件下,在时刻m+n转移到aj的转移概率。 由于链在时刻m从任何一个状态ai出发,到另一时刻...

    时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链,简称马氏链。记为

    它可以看做在时间集

    上对离散的马氏过程相继观察的结果。我们约定记链的状态空间为

    在链的状态下,马尔科夫性通常用条件分布律来表示,即满足

    记上式右端为

    我们称条件概率

    为马氏链在时刻m处于状态ai条件下,在时刻m+n转移到aj的转移概率。

    由于链在时刻m从任何一个状态ai出发,到另一时刻m+n,必然转移到a1,a2......诸状态中的某一个,所以

    由转移概率组成的矩阵

    称为马氏链的转移概率矩阵,由上面的公式知道此矩阵的每一行元素之和等于1.

    当转移概率只与i,j及时间间距n相关时,把它记为

    并称此转移概率具有平稳性。同时也成此链是齐次的或时齐的。在马氏链在其次的情况下转移概率为

    称为马氏链的n步转移概率,当n = 1时为一步转移概率,这是特别重要的。由一步转移概率组成到的矩阵叫一步转移概率矩阵

     

    下面介绍一步转移概率矩阵的实现方法:

    1.首先计算每一种状态的概率

    2.计算m时刻状态为ai,m+1时刻状态为aj的概率

    3.计算转移概率

    举个例子,有一个序列X= {a,c,a,c,a,b,d,b};

    1.首先它的状态空间为I = {a,b,c,d},计算每一种状态的概率 p(a) = 3/8,p(b) = 2/8,p(c) = 2/8,p(d) = 1/8;

    2.计算m时刻状态为ai且m+1时刻状态为aj的概率,比如,计算当前时刻为a下一时刻为c的转移概率

    由于举的例子状态数比较少很容易知道 p = 1/4;

    3.经过上面的计算就可以得出转移概率p(a->c) = p/p(a) = 2/3.

    如果上面的过程不好理解,可以用古典概型来计算,为了求p(a->c)可以分别求出当前状态为a时

    下一状态为b、c、d的次数:

    a->a 0次; a->b 1次;a->c 2次;a->d 0次;

    p(a->c)=2/(0+1+2+0)=2/3

    为了更好的理解,下面给出序列X的一步转移概率矩阵

    如果需要求多步转移概率矩阵,也很简单,对于齐次马氏链而言,n步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n次方,即

    P.S. 马尔科夫一步转移概率矩阵的代码

    import operator as op
    import numpy as np
    
    x = np.array([1, 3, 1, 3, 1, 2, 4, 2])
    count = {}
    for i in x[0:len(x) - 1]:
        count[i] = count.get(i, 0) + 1
    count = sorted(count.items(), key=op.itemgetter(0), reverse=False)
    
    markov_marix = np.zeros([len(count), len(count)])
    for j in range(len(x) - 1):
        for m in range(len(count)):
            for n in range(len(count)):
                if x[j] == count[m][0] and x[j + 1] == count[n][0]:
                    markov_marix[m][n] += 1
    for t in range(len(count)):
        markov_marix[t, :] /= count[t][1]
    print(markov_marix)

     

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  • 目录马尔可夫模型马尔可夫性质转移概率计算参考资料致谢 马尔可夫模型 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫(Andrey Markov,1856-1922)得名,是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中,在给定当前知识或...

    马尔可夫模型

    马尔可夫链因安德烈·马尔可夫(Andrey Markov,1856-1922)得名,是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中,在给定当前知识或信息的情况下,过去(即当期以前的历史状态)对于预测将来(即当期以后的未来状态)是无关的,时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。

    • 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程:
    • t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关,与t时刻以前的状态无关;
    • 从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S,P,Q),其中各元的含义如下:
    1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集,有时也称之为系统的状态空间,它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或Si,Sj)等来表示状态。
    2)P=[P_{ij}]_{n\times n}是系统的状态转移概率矩阵,其中Pij表示系统在时刻t处于状态i,在下一时刻t+l处于状态i的概率,N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s,有\sum_{j=1}^NP_{ij}=13)Q=[q_1,q_2\cdots q_n]是系统的初始概率分布,qi是系统在初始时刻处于状态i的概率,满足\sum_{i=1}^Nq_i=1

    马尔可夫性质

    马尔可夫链是由一个条件分布来表示的,这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三,以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质。

    P(X_{n+2}|X_n) = \int P(X_{n+2},X_{n+1}|X_n)dX_{n+1} = \int P(X_{n+2}|X_{n+1})P(X_{n+1}|X_n)dX_{n+1}
    
    同样:
    P(X_{n+3}|X_n) = \int P(X_{n+3}|X_{n+2}) \int P(X_{n+2}|X_{n+1})P(X_{n+1}|X_n)dX_{n+1}dX_{n+2}
    这些式子可以通过乘以转移概率并求k−1次积分来一般化到任意的将来时间n+k。
    边际分布P(Xn)是在时间为n时的状态的分布。初始分布为P(X0)。该过程的变化可以用以下的一个时间步幅来描述:
    P(X_{n+1}) = \int P(X_{n+1}|X_n)P(X_n)dX_n
    这是Frobenius-Perron equation的一个版本。这时可能存在一个或多个状态分布π满足:
    \pi(X) = \int P(X|Y)\pi(Y)dY
    
    • 其中Y只是为了便于对变量积分的一个名义。这样的分布π被称作是“平稳分布”(Stationary Distribution)或者“稳态分布”(Steady-state Distribution)。一个平稳分布是一个对应于特征根为1的条件分布函数的特征方程。
    • 平稳分布是否存在,以及如果存在是否唯一,这是由过程的特定性质决定的。“不可约”是指每一个状态都可来自任意的其它状态。当存在至少一个状态经过一个固定的时间段后连续返回,则这个过程被称为是“周期的”。

    转移概率计算

    为了进步扩大市场,销售某品的人数分别为1 600.1 200和1200园调查,随机访问了4000,得知购买这3家公司产时,通过调查还得知武转移购买的频率率定阵为

      N = [ 640 480 480 720 360 120 720 120 360 ] \ N= \begin{bmatrix} 640 & 480 & 480 \\ 720 & 360 & 120 \\720 &120 & 360 \end{bmatrix}  N=640720720480360120480120360

    • 矩阵中的行分别代表产品种类(如第行为甲产品),其中的数字分别为购买不同产品的人数,如第一行表示原先购买甲产品的现在仍然然坚持的有640.转而购买乙产品的有480,转去购买丙产品的有480人,以此类推。对市场占有率进行预测;

    • 市场处于稳定状态时,各产品现有市场占有率就是顾客购买各产品的概率,由题意非常容易求得
      S M = [ 1600 4000 1200 4000 1200 4000 ] S_M= \begin{bmatrix} \frac{1600}{4000} & \frac{1200}{4000} & \frac{1200}{4000} \end{bmatrix} SM=[400016004000120040001200]

    • 同时还可以求得一步转移概率矩阵:
      P = [ 640 1600 480 1600 480 1600 720 1600 360 1600 120 1600 720 1600 120 1600 360 1600 ] P= \begin{bmatrix} \frac{640}{1600} & \frac{480}{1600} & \frac{480}{1600} \\ \\ \frac{720}{1600} & \frac{360}{1600} & \frac{120}{1600} \\ \\ \frac{720}{1600} &\frac{120}{1600} & \frac{360}{1600} \end{bmatrix} P=160064016007201600720160048016003601600120160048016001201600360

    • 市场处于稳定状态时的市场占有率就是1步转移矩阵的极限概率。它是通过判断某时点的市场占有率与1步转移概率矩阵的乘积是否达到稳定而得到的。当结果稳定时即极限概率,也就是市场稳定时的市场占有率。

    y= limit_p(p)
    各产品的市场占有率
    y=0.50000.2500 0. 2500
    

    参考资料

    [1] https://blog.csdn.net/m0_57362105/article/details/118612672?spm=1001.2014.3001.5501
    [2] https://blog.csdn.net/m0_57362105/article/details/118388419?spm=1001.2014.3001.5501
    [3] https://blog.csdn.net/m0_57362105/article/details/118273377?spm=1001.2014.3001.5501

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    现在有一组数据,需要进行统计,有分类数据如下,状态一共10种,通过统计1到1,1到2,…10-10的次数组成转移矩阵,然后计算转移概率,最后输出的是10*10的转移概率,统计的次数是依次统计,比如此组数据中1到2的次数是6,放入第一列第一行,然后计算1到3 的数据是多少个,依次前向计算123434343234343212123212343212 在这里插入图片描述

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概率转移矩阵