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  • 正交向量与正交子空间

    千次阅读 2017-07-22 12:33:00
    在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到:  一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维...那么什么是正交子空间呢?我们首先从我们熟悉的正交向量说起。 1、正交向量  
    在前面文章
    《矩阵的四个基本子空间》
    中提到: 
    
             一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
           “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山!”,MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢?我们首先从我们熟悉的正交向量说起。

    1、正交向量

        我们都知道,如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:


    注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:


    两个向量正交,可以表示为下图:


    由勾股定理可知:


    将上式展开得:


    我们举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:


    其中x,y满足下式:


    向量的长度(即向量的2范数)为:


    显然满足勾股定理:

    上面的推导,已证明勾股定理,自己可以仔细领会。

    2、正交子空间

         定义:两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。
        文章开头说到,行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
        
    行空间与零空间正交的证明    
        在 《矩阵的零空间》一文中,我们知道,Ax=0的解就是矩阵的零空间,则:

    展开可得:

    上式说明,矩阵的每一行向量都与零空间正交,而矩阵的行空间就是其行向量的线性组合,则说明行空间与零空间正交。同理,我们亦可以证明列空间与左零空间正交,在此就不重复了。


    原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41171579

    作者:nineheadedbird

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    在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到:

            一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
           “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山!”,MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢?我们首先从我们熟悉的正交向量说起。
     

    1、正交向量

        我们都知道,如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:

    注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:

    两个向量正交,可以表示为下图:

    由勾股定理可知:

    将上式展开得:

    我们举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:

    其中x,y满足下式:

    向量的长度(即向量的2范数)的平方为:

    显然满足勾股定理:

     

    上面的推导,已证明勾股定理,自己可以仔细领会。
     

    2、正交子空间

        定义:两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。
        文章开头说到,行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
        
    行空间与零空间正交的证明    
        在 《矩阵的零空间》一文中,我们知道,Ax=0的解就是矩阵的零空间,则:
    展开可得:

    上式说明,矩阵的每一行向量都与零空间正交,而矩阵的行空间就是其行向量的线性组合,则说明行空间与零空间正交。同理,我们亦可以证明列空间与左零空间正交,在此就不重复了。

     

     

     

    原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41171579

    作者:nineheadedbird

     

     

     

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  • 正交向量  正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。  这可以用直角三角形的三边解释: ...正交子空间  正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W...

    正交向量

      正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。

      这可以用直角三角形的三边解释:

      当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:

     

      如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。

    正交子空间

      正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W正交,那么V中的每一个向量和W中的每一个向量正交。

      子空间V的正交子空间W也称为V的正交补空间,或V的正交补,记作:

     

    正交与垂直

      以我们比较熟悉的三维空间为例,墙角就可以看作一个典型的空间坐标系,两个墙面和地面两两垂直,每个平面都是三维空间中的二维子空间,这是否意味着子空间的正交呢?并不是这样,两个平面垂直并不等同于两个子空间正交,可以轻易找出两个分属于两个平面但不垂直的向量。实际上,在墙壁与地面的交接处,沿着接缝方向的向量同属于两个平面,但它们不会自己正交与自己,除非是零向量。

      这样看来,“正交是垂直的令一种说法”并不完全准确,实际上,正交一定垂直,垂直不一定正交。

      通过平面的例子可以看出,如果两个子空间交于一个非零向量,那么这两个子空间一定不会正交。换句话说,如果两个子空间正交,它们只能交于零向量(单独的点就是零向量,它没有方向,或者说有任意方向,并且模长为0)。

      在同一个平面中正交的例子有哪些呢?

      回顾一下子空间的定义,如果V是Rn的线性子空间,则V一定满足三个条件:

    1. 包含0向量;
    2. x是V中的一个向量,x和一个标量的乘积也在V中,即数乘封闭性;
    3. a和b是V中的向量,a+b也在V中,即加法封闭性。

      由此可见平面内只有三个子空间:原点、过原点的直线、整个平面。这样一来答案就很清晰了:

    1. 过原点的直线任何时候都不会和整个平面正交;
    2. 原点和所有过原点的直线正交,也和整个平面正交;
    3. 如果两个过原点的向量的点积是0,二者正交。

    四个基本子空间的正交补

      先看行空间如何正交与零空间。零空间的意义是Ax = 0时x的解集:

     

      这样会发现,A中的每个行向量都正交于零空间中的x:

     

      a(i)表示A中的第i行行向量,a(i)x = 0当于一个向量垂直于一个超平面。当然,行空间不仅仅包括这几行,还包括它们的线性组合,只要证明满足加法和数乘封闭性即可:

      列空间相当于A转置后的行空间,道理是一样的,所以列空间也正和零空间正交。

      A是m×n矩阵,四个基本子空间的正交性可以用下图表示,其中r是矩阵的秩:

      这相当于把m维空间分割成两个子空间,n维空间分割成另两个子空间,子空间的维数满足图中的要求。如果用正交补的记法,上图可以看作:

      以三维空间中为例:

     

      A的行向量是线性相关的,A的秩是1,所以行空间是1维的,是一条直线,与之正交的零空间是垂直于行向量的平面,<1, 3, 5>就是这个平面的法向量,由此可以得到平面方程:

       

     


     作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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  • 本文本对应于我本人博客中的《高光谱学习---正交子空间投影法OSP(Orthogonal Subspace Projection)》一文,如果各位觉得有哪里不好的,或者哪里排版可以优化,先下载,修改后发给我。你也是作者之一。
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    Lecture 14 : Orthogonal Vectors and Subspaces

    MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)


    正交向量

    • x x x y y y正交,(这里 x , y x,y x,y可以看成列向量)表示 x , y x,y x,y点积为零

      x T y = 0 x^Ty = 0 xTy=0
      Σ i x i y i = 0 Σ_ix_iy_i = 0 Σixiyi=0

    • x , y , x + y x, y, x+y x,y,x+y可以构成一个直角三角形, x , y x,y x,y夹角为 90 ° 90° 90°满足毕达哥拉斯定理,即:

      ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ||x||^2 x2 + ∣ ∣ y ∣ ∣ 2 ||y||^2 y2 = ∣ ∣ x + y ∣ ∣ 2 ||x+y||^2 x+y2
      x T x x^Tx xTx + y T y y^Ty yTy = ( x + y ) T ( x + y ) (x+y)^T(x+y) (x+y)T(x+y)
      x T y = y T x = 0 x^Ty = y^Tx = 0 xTy=yTx=0

    • 零向量与所有向量正交

    正交子空间

    子空间S与子空间T正交 ,表示S中的任意向量与T中的任意向量正交

    • 两个子空间如果相交,不会相交于非零向量

      解释: 如果它们相交于非零向量,容易找到 v 1 ∈ S , v 2 ∈ S ∩ T v1∈S, v2 ∈ S∩T v1S,v2ST,且两者不成90°

    列空间,行空间与零空间的关系

    • 行空间与系数矩阵的零空间是正交互补的
      A x = 0 Ax = 0 Ax=0
      其中A是系数矩阵,A的行向量组成了行空间
      [ r o w 1   r o w 2... ] T x [row1\ row2 ...]^Tx [row1 row2...]Tx = [ 0   0... ] T [0 \ 0 ...]^T [0 0...]T

      列数 - 系数矩阵的秩 = 零空间的秩
    • 列空间与系数矩阵的转置是正交互补的
    展开全文
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  • 转载于:https://www.cnblogs.com/duyiExplorer/p/11295518.html
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