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  • 方法取自安德森《计算流体力学基础》 连续性方程 固定流体微元内质量变化率=流体从笛卡尔坐标三个方向流出量 因此可得: 质量变化率: 则: 连续性方程: 用散度表示则可得到...

    方法取自安德森《计算流体力学基础》

    连续性方程

    固定流体微元内质量变化率=流体从笛卡尔坐标三个方向流出量

    因此可得:




    质量变化率:

    则:



    连续性方程:


    用散度表示则可得到:


    对于不可压缩流体,其密度为一常数,因此可以得到:

    动量方程(纳维-斯托克斯方程)

    根据牛顿第二定律可以得出:F=ma;

    因此:对于流体微元:

    方程式的左边:F=表面力+体积力

    方程式的右边,当仅考虑x方向的作用力时:


    回到方程式的左边:

    体积力可以表示为:

    表面力可以表示为流体微元在x方向所有正应力和切应力之和,其表达式如下所示:


    整理可得:


    将体积力表达式、表面力表达式和方程右边表达式带入牛顿第二定律表达式中可得:


    化简可得:


    同理可得y方向和z方向的两个方程:



    因此可以得到动量守恒方程的非守恒形式:




    //注释:

    所谓守恒形式和非守恒形式的区别如下:

    如果方程可以写成控制方程通用形式:,即其对流项均采用散度形式表示的形式,这种控制方程的形式称为控制方程的守恒形式,这种方程称为守恒型的控制方程。从微元体的角度考虑,守恒型控制方程等价于非守恒型控制方程,但是在计算一些特殊流场时,守恒型方程和非守恒型控制方程有较大的区别。根据《数值传热学》的描述,在计算激波时,守恒型方程计算结果光滑而稳定,而非守恒型控制方程会引起数值计算结果的震荡,造成错误。并且只有守恒型控制方程才能在计算有限大小控制容积内部所研究的物理量时守恒定律仍然得到满足。(总结自陶文铨《数值传热学》(第二版))

    因此,需要通过上述方程继续推导方程的守恒形式:

    以x方向为例:


    根据:


    可得:


    将该式子带入上式子:


    根据标量与向量的乘积的散度的向量恒等式:




    将该式子带入非守恒动量方程表达式得:


    同理可得:



    因此方程的守恒形式为:




    能量守恒方程:

    能量守恒方程可以表示为如下形式:

    流体微团内能变化率=流入微团的净热流量+体积力和表面力对流体微团的做功的功率

    因此,体积力和表面力对流体微团的做功的功率可以表示为:P=Fv

    根据动量守恒方程中体积力的描述:体积力=

    体积力对流体微元的做功可以表示为:

    根据动量守恒方程中表面力的描述:


    根据表面力做功的功率为:


    体积力和表面力做功之和为:

    流入微团的净热流量:

    微团的体积加热为:

    热传导引起的热量变化为:




    流入微团的净热流量=

    根据傅里叶热传导定律:


    流体微团内能变化率=

    能量守恒方程非守恒形式:



    根据动量守恒方程:



    可得:


    整理得:




    将上式子代入到能量守恒方程中,用能量守恒方程减去动量方程推导结果,可以得到:



    整理得到只有内能表示的能量守恒定律,且消去体积力的能量守恒定律:


    根据物质导数的定义:


    且:


    根据:得到:





    可以得到守恒形式的能量守恒方程:











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  • 刚体的动量方程可由 刚体的动量方程两端叉乘r得到 水平射流问题 假设入口面为3截面出口面为1 2截面 出口速度v1 v2 是未知的 为了研究方便 ** ** 建立xoy坐标系 其中x 与挡板垂直y与挡板相平行 假设流体作用在...

    刚体的动量矩方程可由 刚体的动量方程两端叉乘r得到
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    水平射流问题
    假设入口面为3截面出口面为1 2截面
    出口速度v1 v2 是未知的
    为了研究方便 ** ** 建立xoy坐标系 其中x 与挡板垂直y与挡板相平行
    假设流体作用在平板上的合力到水平中心处距离为e 则需要确定e的长度
    在这里插入图片描述
    射流问题 各个表面都为大气压
    只有挡板所在的表面对流体会有一个支撑力
    这个值成力就是我们要求的合力
    首先建立3点和1点的伯努利方程
    由于3 1点在统一平面z1 z3相等
    同时3 1 都在自由页面上 p1 p3相等 因此v1 v3相等同理v1 v2 也是相等的

    连续方程 质量守恒
    动量方程 次题中质量力在水平方向的分力为零 所以秩序考虑表面力
    表面力中只剩下挡板对流体的支撑力Fb 右端等于流出的动量减去流入的动量
    而流出的两个方向与x垂直故只剩下流入的动量

    下一步可由动量矩方程求动量确定作用点的位置
    取合力的作用点为矩心 这样不管是质量力还是表面力对矩心的力矩就都是零了
    对于1这条线 其速度是不变的 但是其矢径是变化的从零到d1线性 所以取d1/2为其平均值
    在这里插入图片描述
    下面 动量矩方程在涡轮机械中的应用
    涡轮机的基本方程
    在这里插入图片描述
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    三图是流体对曲轴做功带动曲轴转动
    为了研究曲轴旋转的功率 我们对其列动量矩方程求解
    题的假设
    叶片的数量是无限多个(对于流场中一点A,叶片划过A点时,A点的参数是要发生变化的,无穷多个则在A始终有页片与之相接触,这样的话A点的速度不再发生变化,可将问题转化为定常流动)
    忽略了重力就是忽略了体积力 忽略了粘性力就相当忽略了粘性摩擦损失
    速度的分解有两种方式
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    内外面的质量流量相等

    下面列动量矩方程
    设表面力矩为mz 在计算时可将质量流量提出来

    功率 例句乘以角速度
    在这里插入图片描述

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  • (一)理性流体运动微分方程动量守恒) (二)理想流体沿流线伯努利方程(能量守恒) (三)理想流体沿流线伯努利方程的意义 (四)理想流体总流伯努利方程 (五)实际流体总流的伯努利方程 (六)伯努利方程...

    目录

    (一)理性流体运动微分方程(动量守恒)

    (二)理想流体沿流线伯努利方程(能量守恒)

    (三)理想流体沿流线伯努利方程的意义

    (四)理想流体总流伯努利方程

    (五)实际流体总流的伯努利方程

    (六)伯努利方程的推广

    (七)存在机械能输出和输入时总的伯努利方程


    (一)理性流体运动微分方程(动量守恒)

    理想流体微分方程也叫做欧拉运动微分方程。是牛顿第二定律在理想流体中的应用。

    表达式为:

    物理意义:理想流体微分方程表达了作用在单位质量流体上的力与流体运动加速度之间的关系,是流体动力学的基本方程,对于不可压缩和可压缩的流体均适用,也适用于所有的理想流体的运动。

    (二)理想流体沿流线伯努利方程(能量守恒)

    理想流体沿流线的伯努利方程如下所示:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}

    适用范围

    • 理想不可压缩流体
    • 质量力只有重力
    • 稳定流动
    • 对于有旋流动,仅适用于同一条流线;对于无旋流动,整个流场都适用。

    (三)理想流体沿流线伯努利方程的意义

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}

    几何意义

    • z——称为位置水头;
    • \frac{p}{\rho g}——测压管高度,速度水头;
    • z+\frac{p}{\rho g}+\frac{v^{2}}{2g}——水力高度或总水头。

    压力能、动能、位能都是一种能量,他们之间可以相互转换。当流速变小时候,动能转变为压力能,压力能增加。

    对于理想流体恒定流动,三项的能量之和为一常数,表示任意一个流体微元运动过程中的位能、压力能和动能的总和保持不变。所以说理想流体,伯努利方程又是流体力学中的能量守恒定量。

    动能修正系数

    动能修正系数是过流断面流体流动的真实速度所表示的动能与过流断面平均速度所表示的动能之比,用字母α表示。

    即:\alpha =1+\frac{3}{v^{2}A}\int_{0}^{A}\Delta u^{2}dA>1

    上式说明过断流面平均速度计算得到的动能要小于用过断流面真实速度计算所得的动能。是因为断面上速度分布不均匀所引起的,不均匀性越大,α值越大。在实际中,由于流速水头本身所占的比例较小,所以一般取α=1。

    缓变流及其特征

    缓变流:值流线之间的夹角比较小,流线曲率半径比较大,流线几乎是一些平行直线的流动。

    在缓变流中,流体运动的直线加速度和离心加速度都很小,可以忽略由于速度的变化或者方向的变化所产生的惯性力。

    缓变过流断面:如果在流束的某一过流面上的流动为缓变流动,则称此断面为缓变过流断面。

    缓变过流具有以下两个特征

    • 缓变流动中,质量力只有重力。
    • 在同一缓变过流断面上,任何点上的静压水头都相等。

    (四)理想流体总流伯努利方程

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}

    适用条件

    理想不可压缩流体在重力场下的稳定缓变流动。

    (五)实际流体总流的伯努利方程

    实际流体总流的伯努利方程式:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f_{1-2}}

    适用条件

    • 理想不可压缩流体。
    • 作用在流体上的质量力只有重力。
    • 稳定流动。
    • 沿流程流量保持不变。
    • 所取的过流断面必须是缓变流断面。

    伯努利方程的使用注意事项

    • 与总流的连续性方程式联合使用。
    • 在选取过流断面时,一个过流断面应选在待求未知量所在的断面上,另一个过流断面需要选在已知量较多的断面上,且尽可能使两个断面只包含一个未知数;
    • 为了方便,基准面通常选在过流断面的最低的一个断面上,在同一个问题中,必须使用同一个基准面。
    • 选择的计算点,位置高度z和压力p必须在同一点上。压力可以用绝对压力,也可以使用相对压力,但是两个断面上所用的压力标准必须一致。
    • 所选择的过流断面必须满足缓变流动条件,但在两个缓变过流断面之间的流动,可以是缓变流动也可以是急变流动。
    • 方程中动能修正系数α≈1

    (六)伯努利方程的推广

    流体在流动过程中有分流和汇流。

    分流过程中有q_{1}=q_{2}+q_{3},断面1和2、断面1和3之间的伯努利方程为:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f_{1-2}}

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{3}+\frac{p_{3}}{\rho g}+\frac{\alpha _{3}v_{3}^{2}}{2g}+h_{f_{1-3}}

    在第一个式子和第二个式子两边分别乘以\rho gQ_{2},\rho gQ_{3}再相加,得到总能量守恒的伯努利方程:

    \rho gQ_{1}(z_{1}+\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g})=\rho gQ_{2}(z_{2}+\frac{p_{2}}{\gamma}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f_{1-2}})+\rho gQ_{3}(z_{3}+\frac{p_{3}}{\gamma }+\frac{\alpha _{3}v_{3}^{2}}{2g}+h_{f_{1-3}})

    对于汇流情况,同理列出1、3和2、3的伯努利方程,得到总能量守恒的伯努利方程:

    \rho gQ_{1}(z_{1}+\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{\alpha _{1}v_{1}^{2}}{2g}-h_{f_{1-3}})+\rho gQ_{2}(z_{2}+\frac{p_{2}}{\gamma }+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}-h_{f_{2-3}})=\rho gQ_{3}(z_{3}+\frac{p_{3}}{\gamma}+\frac{\alpha_{3} v_{3}^{2}}{2g})

    (七)存在机械能输出和输入时总的伯努利方程

    沿着总流两过流断面间装有水泵、风机和水轮机等装置,流体流经水泵或者风机时候获得能量,流经水轮机时将失去能量。设流体获得或失去能量头为H,则总流伯努利方程为:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}\pm H=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f}

    H前的正号表示获得的能量,负号表示失去的能量。

    以上内容大多来自网络。

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  • 流体动力学控制方程(详细推导)

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空空如也

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流体力学动量守恒方程