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  • 离散信号傅里叶变换

    2018-11-19 15:04:17
    Matlab离散信号傅里叶变换原理代码,fft函数的使用方法
  • 实验二 离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换 一 实验目的 深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义与连续傅里叶变换之间的关系 深刻理解序列频谱的性质连续的周期的等 能用 MATLAB 编程实现序列的 DTFT 并能显示频谱...
  • 主要介绍了使用python实现离散时间傅里叶变换的方法,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习吧
  • 离散信号变换(MATLAB 实验)一、实验目的掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法,掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点,了解快速傅立叶变换。二、实验内容1、已经系统函数为5147.13418.217.098.22505)(2342-+...

    离散信号的变换(MATLAB 实验)

    一、实验目的

    掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法,掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点,了解快速傅立叶变换。

    二、实验内容

    1、已经系统函数为

    5147.13418.217.098.2250

    5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图,判断系统是否稳定;

    (2)检查系统是否稳定;

    (3) 如果系统稳定,求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];

    subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图');

    z=roots(a);

    e158ee703850e76a5ff402c365558a2d.png

    magz=abs(z)

    magz =

    0.9000

    0.9220

    0.9220

    0.9900

    n=[0:1000];

    x=stepseq(0,0,1000);

    s=filter(b,a,x);

    subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出');

    (1)因为极点都在单位园内,所以系统是稳定的。

    (2)因为根的幅值(magz )都小于1,所以这个系统是稳定的。

    (3)稳定时间为570。

    2、综合运用上述命令,完成下列任务。

    (1) 已知)(n x 是一个6点序列: ???≤≤=其它,050,1)(n n x

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  • B站配套吴大正书籍《信号与系统》离散傅里叶部分的视频笔记

    离散信号的傅里叶变换

    取样与取样定理

    取样定理是信号领域中一个很重要的概念,而这个概念的提出也是与应用相关联的:即为了能把自然界中采集的信号放到计算机中进行处理,需要使信号能在【连续】和【离散】状态之间进行切换。
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    上述过程引发了如下问题:

    • 模拟信号经过采样会有怎样的变化(频谱,信号的内容)?
    • 怎样采样才能保证信号的内容不丢失?
    • 为了能将信号从离散恢复成连续,需要怎样的条件?

    信号的取样

    1. 定义
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    2. 条件与分类
    (1)取样条件

    被取样的连续信号f(t)必须是带限信号(频带受限的信号),即f(t)的频谱只在区间(-ωm,ωm)内为有限值,其余区间均为0。此时信号f(t)就有其相应的频谱表示方式:
    f ( t ) ↔ F ( j ω ) f(t)↔F(jω) f(t)F(jω)

    (2)取样类型

    • 自然取样:又称矩形脉冲取样,取样脉冲序列s(t)是周期为Ts矩形脉冲信号(开关函数)
    • 冲激取样:取样脉冲序列s(t)是周期为Ts冲激函数序列δTs(t)

    3. 矩形脉冲取样
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    4. 冲激取样
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    5. 采样定理的引出
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    取样定理

    1. 意义
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    2. 描述
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    时域取样定理

    1. 定理描述
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    2. 常见基本信号及其运算的取样定理
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    频域取样定理

    频域取样定理是根据时域取样定理的对偶运算得到的

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    从连续变换到离散变换

    连续到离散的演化

    直觉上理解:
    之所以需要进行从连续到离散的演化,是因为在计算机中我们能够处理的信号形式必定是离散的;
    也因此我们想要探究在连续域上的变换是否可以且怎样转换到离散域中。

    1. 从FT到DTFT
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    运算推导逻辑

    ①背景原因:因为傅里叶变换公式(如上图)在时间(t)和频域(ω)上均是连续的,不适用于在计算机内部进行处理;

    ②推导过程:从FT到DTFT的转换是时间离散化的结果,对连续时间信号(t)进行离散采样得到关于n·Δt的函数式;且要注意关于时间的积分运算自然转换成求和运算;为了表达的简练,将时间间隔归一化为1,从而将连续时间变量t转换成离散时间变量n;

    ③后续分析:自此我们从连续信号的傅里叶变换(得到连续频谱)推广到离散时间信号的离散时间傅里叶变换(依然是连续频谱),下一步自然而然联想在频域上也进行离散化处理。

    2. 从DTFT到DFT
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    运算推导逻辑

    ①背景原因:因为DTFT变换公式(如上图)在频域(ω)上仍是连续的,不适用于在计算机内部进行处理;

    ②推导过程:且观察DTFT的变换公式中信号基ejωn是以2π为周期的复信号函数,DTFT的变换结果也是2π为周期的连续周期函数;
    自此就联想到在频域内以2π/N为间隔对DTFT的变换结果进行频域取样。

    3. 从DFT到DFS
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    如果将离散周期序列中的一个周期的信号取出来,并将原信号DFS变换结果中的一个周期也取出来,就可以得到如下式所示的变换公式——
    本质上说明了离散傅里叶变换也可以从DFS变换得到
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    五种傅里叶变换的比较

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    频域和时域的信号谱特点有对应关系:
    周期谱↔离散谱
    非周期谱↔连续谱
    即:周期性和离散性呈现出一种对偶关系

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  • 数字信号处理实验报告-(2)-离散傅里叶变换(DFT),有代码,几乎每行都有注释,高清原图,完全能看得懂的那种
  • 本篇讲述数字信号处理中离散时间傅里叶变换,z变换离散傅里叶变换性质的比较。公式是在word中使用mathtype一个一个公式打的,表格无法直接复制到web编辑器中,因此只能上传截图。整理不易,尊重版权。水平有限,如...

    本篇讲述数字信号处理中离散时间傅里叶变换,z变换,离散傅里叶变换性质的比较。公式是在word中使用mathtype一个一个公式打的,表格无法直接复制到web编辑器中,因此只能上传截图。整理不易,尊重版权。水平有限,如有错误,麻烦指出。如需转载,请说明出处!谢谢。——By 文鸿开源工作室


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  • 看了很多傅里叶变换(连续信号和离散信号)的博客,都写的不是很清楚,有些地方可能有误,我在查阅了书籍和大量资料以后,争取能用前后标注一致的公式把相关内容(帕斯瓦尔公式,能量信号,功率信号,能量谱,功率谱...

    看了很多傅里叶变换(连续信号和离散信号)的博客,都写的不是很清楚,有些地方可能有误,我在查阅了书籍和大量资料以后,争取能用前后标注一致的公式把相关内容(帕斯瓦尔公式,能量信号,功率信号,能量谱,功率谱等)讲清楚,说正确。最好先看连续信号再看离散信号哦

    连续信号的请看语音识别MFCC系列(一)——连续信号、傅里叶变换

    离散信号的请看语音识别MFCC系列(二)——离散信号、离散傅里叶变换

    耐不住的话直接看第五部分也行。下面将讲述:

    • 不连续     周期   信号的傅里叶  级数
    • 不连续  非周期  信号的傅里叶  变换
    • 离散傅里叶变换

    一、不连续周期信号的傅里叶级数(DFS)

    对一个连续周期信号x\left ( t \right )的一个周期T_0进行N点采样,得到离散序列x\left ( n\right ),则T _ { 0 } = N T_s\omega _ { 0 } = 2 \pi / T _ { 0 } = 2 \pi / (NT_s )T_s为采样周期,f_s为采样频率。

    重现连续周期信号的傅里叶级数:

                                                                       x ( t ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X \left( k \omega _ { 0 } \right) e ^ { j k w _ { 0 } t }

                                                         X \left( k \omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } x ( t ) e ^ { - j k w _ { 0 } t } d t \quad k = 0,1,2 , \cdots

    \Omega _ { 0 } = \omega _ { 0 } T_s = 2 \pi / N为离散域的基本频率,就是频率分辨率啦,就是最小的频率单元啦,各个频率分量的频率都是他的整数倍,\Omega =k \Omega _ { 0 }k次谐波的数字频率(下面会有例子解释哦)。因t = n T_s , d t = T_s,则:

                                        X \left( k \frac { \Omega _ { 0 } } { T_s } \right) = \frac { 1 } { N T_s } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n T_s ) \mathrm { e } ^ { - j k \frac { Q _ { 0 } } { T }n T_s } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n T_s ) \mathrm { e } ^ { - j k \Omega _ { 0 } n }

    在序列表示中,可仅用n表示nT_s,用k \Omega _ { 0 }表示k \frac { \Omega _ { 0 } } { T_s },则上式为:

                                               X \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j k \Omega _ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1

                                                   x ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \frac { Q_ { 0 } } { T_s } nT_s}= \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }

    当周期信号从连续域变换到离散域以后,它的频率\omega- \infty \sim + \infty映射到数字频率\Omega0 \sim 2 \pi。离散信号被分为N个频率分量,频率分辨率为2 \pi / N,根据连续信号的傅里叶级数同理,离散信号的傅里叶级数也有复共轭的性质,即X \left( k \Omega _ { 0 } \right) =X^* \left( -k \Omega _ { 0 } \right)

    二、离散信号的帕斯瓦尔公式

                                                                 \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 }\left |x ( n ) \right |^2=\frac{1}{N} \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \left |X \left( k \Omega _ { 0 } \right) \right |^2

    推导就不写了,就是用上面那些式子推出来的(猜测对于周期信号,上式代表的是功率,对于长度有限的离散信号,上式代表的是能量)。

    三、不连续非周期信号的傅里叶变换(DTFT)

    哎呀这里和连续信号处理类似啦,所以连续信号一定要理解好哦!将长度有限的非周期信号x\left ( n\right ),以N为周期,将x\left ( n\right )延拓为周期信号x _ { N } ( n ),这里N要大于信号长度哦,那当N \rightarrow \infty时,\Omega _ { 0 } = 2 \pi / N \rightarrow \mathrm { d } \Omega , k \Omega _ { 0 } \rightarrow \Omega = \omega T_s为连续量,\sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \rightarrow \int _ { 0 } ^ { 2 \pi }\frac { 1 } { N } = \frac { \Omega _ { 0 } } { 2 \pi } \rightarrow \frac { d \Omega } { 2 \pi } , x _ { N } ( n ) \rightarrow x ( n ),且这时X(k \Omega _ { 0 })趋于0,则乘个N,采用频谱密度表示频谱。

                                                      X ( \Omega ) = \lim _ { N \rightarrow \infty } N X \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { n = \infty } x ( n ) e ^ { - j \Omega n }

                         x ( n ) = \lim _ { N \rightarrow \infty } x _ { N } ( n ) = \lim _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega_ { 0 } n }= \lim _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { N } X ( \Omega ) \mathrm { e } ^ { \mathrm {j} \Omega n }=\frac{1}{2 \pi} \int _ { 0 } ^ { 2 \pi }X ( \Omega ) \mathrm { e } ^ { \mathrm {j} \Omega n }d \Omega

    四、离散傅里叶变换(DFT)

    因DTFT在频域是连续的,我们需要在时域和频域都是离散的离散傅里叶变换,将长度有限的非周期信号x\left ( n\right )x\left ( n\right )长度为N,以N为周期,将x\left ( n\right )延拓为周期信号x _ { p } ( n ),则DFS为:

                                               X_p \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x_p ( n ) e ^ { - j k \Omega_ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1

                                                                  x_p ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X_p \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }

    X_p \left( k \Omega _ { 0 } \right)x _ { p } ( n )都取主值区间0 \leq k \leq N - 1,则:

                                               X \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j k \Omega_ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1

                                                                  x ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }

    将上式乘以N,用频谱密度来表示,简称频谱:

                                               X \left( k \right) =\sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j k \Omega_ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1

                                                                  x ( n ) =\frac{1}{N} \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }

    因为X \left( k \right)是频谱密度,所以,当k=0时,X \left( k \right)对应的频率分量的波形峰值是\left |X \left( k \right) \right |\cdot N,当k\neq 0时,X \left( k \right)对应的频率分量的波形峰值是\frac{\left |X \left( k \right) \right |\cdot N}{2}。因为负频率的X ( k )和正频率共轭,所以当k为偶数时,只给N/2+1个点的频谱,最后一个点的频率为二分之一的采样频率,当k为奇数时,只给\frac{N+1}{2}个点的频谱,最后一个点的频率稍小于二分之一的采样频率。

    五、奈奎斯特频率,频谱混叠和泄露

    采样信号为

                                  x _ { s } ( t ) = x ( t ) \delta _ { \mathrm { T } } ( t ) = x ( t ) \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \delta \left( t - n T _ { s } \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x \left( n T _ { s } \right) \delta \left( t - n T _ { s } \right)

    对其做傅里叶变换得:

                                                              X_ { s } \left( \omega \right) = \frac { 1 } { T_ { s } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( \omega - n \omega _ { s } \right)

    可知采样信号的傅里叶变换为原连续信号傅里叶变换周期延拓到以\pm \omega _ { s } , \pm 2 \omega _ { s },\cdots为中心的频谱,\omega _ { s }为采样角频率,奈奎斯特频率(Nyquist频率)是采样频率的一半,原信号傅里叶变换频谱的边缘是它本身的最高频率\omega _ { m },容易看出来当\omega _ { s }\geqslant 2\omega _ { m }才不会发生频谱混叠,也就是说奈奎斯特频率大于\omega _ { m }即可。

    频谱泄露,就是比如本来只有频率为\frac{1}{2}Hz的分量,但是频谱中出现了和\frac{1}{2}Hz相近的分量。举个例子说明吧。

    比如说有一段连续的周期信号,周期为2s,那么这段连续周期信号的傅里叶变换的基频f_0=\frac{1}{2}(就是上一篇博客的基本角频率\omega _0,其他频率分量的角频率都为\omega _0的倍数,f_0=\frac{\omega _0}{2\pi}),也就是说其他频率分量的频率都是f_0=\frac{1}{2}的整数倍,如果我们就截断2s的信号,那截断以后就是连续非周期信号了,那就要先周期延拓再做傅里叶变换,周期延拓后和截断前的信号一致,傅里叶变换也一致,频谱为一条线(在基频处有个分量)。如果截断4s的信号,周期延拓后和截断前的信号一致,傅里叶变换的基频为\frac{1}{4},那么频谱为一条线(在二倍频处有个分量),幅值与原来相同。但是如果截断3s的信号,周期延拓后在3s处有跳跃,容易产生高频分量,而且重要的是,傅里叶变换的基频为\frac{1}{3},按道理说频谱应该在1.5倍频处有个幅值,但是频谱中没有1.5倍频,只有1倍频,2倍频,那么频谱就会以1.5为中心的其他整数倍频处有分量,越靠近1.5幅值越大,和原来的不一致了!这就是频谱泄露!如下图所示:

    根本解决方法是x(n)必须取自一个基本周期或基本周期的整数倍为宜。但有的时候我们截断的时候不知道基本周期,这时可以加长截取时间段,信号多一点能多代表一下整段信号吧,也可以加汉明窗等等窗函数,窗函数主要是减少旁瓣。可以参考下面几个网址看细致的分析和图,内容都类似,总有一个能打开:

                    http://www.ni.com/white-paper/4844/zhs/

                    https://zhuanlan.zhihu.com/p/24318554

                    http://zhangzhenyuan163.blog.163.com/blog/static/85819389201410112942281/

                    http://www.ilovematlab.cn/thread-30099-1-1.html

                    http://www.chinaaet.com/article/15991

    六、举个DFT的例子吧,通俗解释一下

    1. 采样得到一段离散的信号,用包含100个数字的数字序列表示,其中前12个数字如下所示:

    1.00, 0.62, -0.07, -0.87, -1.51, -1.81, -1.70, -1.24, -0.64, -0.15, 0.05, -0.10

    我们将上述数字序列用x\left ( n \right )表示,n为某个数字在序列中的下标,如x ( 0 ) = 1.00x ( 1 ) = 0.62等。这里我们期待使用的信号是零均值信号,即数字序列的平均值为0,相当于每个数字减去了数字序列的平均值(下文会解释为什么这样做)。

    我们希望求得一系列频率分量,将信号从时域转化到频域,使得上述数字序列为一系列频率分量之和。

    2. 其次,什么是信号相关性?

    下面这个公式不是严格意义上的相关性计算公式,只能说是在信号是零均值的情况下,一定程度上能反应相关性。

                                                                                     \sum _ { i = 0 } ^ { N } x ( i ) y ( i )

    有两个信号xy,在信号是零均值的情况下,一定程度上他们越相关(比如同正同负),所求的和越大,但不绝对。例如下面的图a相关性大,和大,图b相关性小,和小。

    3. 下面来解释离散傅里叶变换的公式!

                                                        X ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { -j 2 \pi k n / N },k=0,1,\cdots ,N-1

    X ( k )代表的是某个频率分量的系数,这个式子很想上面求相关性的式子呀,求得是x(n)e ^ { - j2 \pi k n / N }的相关性,那到底是什么意思呢?先引入欧拉公式:

                                                                          e ^ { - j \theta } = \cos \theta - j \sin \theta

    \theta = 2 \pi k n / N,则:

                                                        X ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) ( \cos ( 2 \pi k n / N ) - j\sin ( 2 \pi k n / N ) )

                                                 X ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi k n } { N } \right) - j \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi k n } { N } \right) \right]

    可以看到X ( k )是个复数,被分为两部分,实轴为x(n)和某个频率的余弦函数的相关性,虚轴为x(n)和某个频率的正弦函数的相关性。

    4. 当k变化的时候,上述相关性的意义到底是什么呢?

    k=0

                                                    \begin{aligned} X ( 0 ) & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi 0 n } { N } \right) + j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi 0 n } { N } \right) \\ & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) +j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } 0 \end{aligned}

    意味着当分量频率为0的时候(即为一条直线),该分量的系数为数字序列中所有数字之和。

    k=1

                                                    \begin{aligned} X ( 1 ) & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi 1 n } { N } \right) +j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi 1 n } { N } \right) \\ \end{aligned}

    \cos \left( \frac { 2 \pi 1 n } { N } \right)代表什么?当n0N-1的时候,\frac { 2 \pi 1 n } { N }从0到2 \pi呀!这代表了所有的采样点仅代表一个周期!看下图a,正弦波是不是只有一个周期。图b代表上式的实数部分,图c代表上式的虚数部分。

     

    k=3

                                                    \begin{aligned} X ( 1 ) & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi 3 n } { N } \right) + j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi 3 n } { N } \right) \\ \end{aligned}

    \cos \left( \frac { 2 \pi 3 n } { N } \right)代表什么?当n0N-1的时候,\frac { 2 \pi 3 n } { N }从0到6 \pi呀!这代表了所有的采样点仅代表三个周期(2 \pi\ast 3可不就是三个周期吗)!看下图a,正弦波是不是只有三个周期。

    k=N-1,所有的N个采样点代表了N-1个周期,约等于1个采样点代表一个周期,那么这个分量的周期是不是等于约采样周期了!这个分量的频率是不是约等于采样频率f_s了!

    这时你再回看一下k=0k=1k=3,有没有发现,当从0到N-1时,频率分量的频率从0到f_s了!并且k对应的分量频率为f = \frac { k \times \mathrm { f_s } } { N },均匀分布哦!这个结论很重要哦!在求MFCC特征时会用到!

    5.能量密度谱

    能量密度谱为

                                                                        E\left ( k \right )= \frac{\operatorname { Re } ( X ( k ) ) ^ { 2 } + \operatorname { Im } ( X ( k ) ) ^ { 2 }}{N}

    看上面的帕斯瓦尔公式。

    上面已经解释过(具体的证明类似连续信号中的证明),当x\left ( n \right )均为实数时,负频率的X ( k )(对应的\pi2\pi,或者说-\pi到0)是正频率(对应的0到\pi)的共轭,P(k)=P(N-k)即,P(k)基于k=N/2成轴对称。比如说做一个N=512的DFT,因为负频率的X ( k )和正频率共轭,所以只给N/2+1个点的频谱,即257,因为多给没有意义啊,共轭的模是一样的。

    六、总结

    最后总结一句,信号可以分为多个频率分量的和,那么做离散傅里叶变换时,某个频率分量的幅值就是看信号和这个频率的正弦、余弦波形的相关性,如果信号中包含这个频率分量比较大,即幅值大,那肯定和这个频率的正弦、余弦波形的相关性更高呀,好好理解下这句话,就能大概记住傅里叶变换的求法了。

     

     

    参考网址:

    http://practicalcryptography.com/miscellaneous/machine-learning/intuitive-guide-discrete-fourier-transform/

    https://blog.csdn.net/u011583927/article/details/45934455

    http://www.ilovematlab.cn/thread-541003-1-1.html

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离散信号的傅里叶变换