本篇讲述数字信号处理中离散时间傅里叶变换，z变换，离散傅里叶变换性质的比较。公式是在word中使用mathtype一个一个公式打的，表格无法直接复制到web编辑器中，因此只能上传截图。整理不易，尊重版权。水平有限，如有错误，麻烦指出。如需转载，请说明出处！谢谢。——By 文鸿开源工作室

四、离散傅里叶变换的性质

1、线性：

2、序列的圆周移位

调制特性：

3、共轭对称性 

4、复共轭序列

5、DFT形式下的Parseval定理

6、圆周卷积和

列表法求解（手动要会做）

7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积

n-m移位

讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：

可以从最后式子得出以下结论

圆周卷积计算机可以计算，实际是线性卷积，取适当N值转化

8、线性相关与圆周相关

以下是作为通信工程一名学渣的理解

圈出重点“学渣的理解”

一.线性性质
两个信号各自与常数的乘机在相加的DFT变换等于各自的与常数乘机后DFT变换之和

二.序列循环移位性质
序列循环移位的过程：x(n)先周期化，然后在移位，最后取主值，和一般的移位不一样
取主值其实就是乘以RN(n)

注意：为什么要引入循环移位的概念？你在移位的时候，原来的那个序列的DFT变换的取值范围是0到N-1，但是你移位了，所以这个取值范围肯定要变，可是你又想不变，所以只好引入序列循环移位的概念了

书上88页下面那道例题，原序列为x(n)=[5,4,3,2,1]，让你求该序列右移2单位后的6点DFT和右移2单位后的8点DFT。我们以移2单位后的6点DFT为例说明，首先原序列长度为5，所以你要补一个0，记住在循环的时候那个下划线的位置不变

• 时域循环移位定理
  对照书上31页，时域右移，频域就要给它乘上一个负指数幂，但由于那个旋转因子本身就是负的，所以你在这要给它乘上一个正的旋转因子。书上90有对该定理的证明，你先利用DFT的定义然后在利用变量代换，最后在用一次DFT定义就可以了。
• 频域循环移位定理
  对应书上31页，频域右移，对应时域乘上一个正指数幂。所以在这里是要给它乘上一个负的旋转因子。

三.循环卷积

• 时域循环卷积定理：两个序列的DFT的乘机相当于这两个序列的时域循环卷积的DFT
  注意：对于循环卷积而言两个序列的长度不等怎么办？补零就行了，设原来两个序列的长度分别为N1，N2，取他们二者的最大值记为N，所以循环卷积后的序列的长度是N。但是对线性卷积,也就是我们之前学的那种卷积(P11页)，最后序列的长度是N1+N2+1。
  循环卷积一般用圆圈里面一个正号或者圆圈里面一个N表示，这个N是可变得，看你求得是几点DFT
• 循环卷积的计算
  步骤：两个序列的变量都代换，对其中一个序列进行周期延拓在翻转在平移在取主值最后与另一个序列相乘相加

例题：书上92页3-4-2
这道题让你从时域和频域来求解这两个序列的循环卷积，时域上你直接代书上90页下面那个公式，对于从时域求解，你就用上面的性质，翻转周期延拓取主值在相乘相加，然后就把各自的表达式带入就可以了，对于从频域求解循环卷积，你需要用到92页顶部的知识，也就是说先对这两个序列做DFT变换，然后把他们乘起来，对于乘机后的式子做IDFT就可以了，记住IDFT就是DFT的逆变换，你的思维一定要是啥啥式子可以变成这个式子。

例题：书上93页，求循环卷积你直接代公式，现把第一个写成许多序列相加的形式，然后再逐一与第二个卷积，最后每一个的结果你要用到例1得出的结论，或者自己手动推
结论：任何一个序列与移位冲激函数的N点循环卷积等于该序列移位的N点DFT变换在取主值序列
当然这个题你也可以用小学学过的乘法知识求解，但要注意乘法中要移位，而且这是不进位乘，具体请看书上93页。当然你还可以用矩阵形式表示，矩阵形式其实和那个不进位乘法真的差不多，只不过展开了而已。

循环卷积这一节有二个方法，第一用时域循环卷积定理，第二用频域循环卷积定理，而时域循环卷积定理又分为在频域下的和在时域下的，在时域下的直接用定义就是的，而在频域下的要用32页上面的知识。另外时域循环卷积定理的出发点是两个信号DFT的乘机，频域循环卷积定理出发点是两个信号的直接乘机。

四.复共轭序列和翻转序列的DFT
在书上30页讲的是时域和频域下（DTFT）的翻转和共轭的关系
现在讲的是DFT下的共轭和翻转的关系
共轭序列的DFT等于原序列的共轭翻转
翻转序列的DFT等于原序列的翻转
当然共轭翻转序列的DFT等于原序列的共轭
这三条关系和之前讲的一模一样

例题：95页，他让你用频域循环卷积定理求那个啥啥的DFT，首先你看它是带有平方项的，所以很容易想到来两个序列的乘机，而频域循环卷积定理恰恰针对两个原序列的乘机，所以你直接代公式就可以了。

五.共轭对称序列和共轭反对称序列
之前讲的共轭性质和翻转性质都是针对于不同形式下的关系，现在这个共轭对称和共轭反对称是在同一形式下讨论的，也就是针对原序列讨论的。
和之前讨论一样，任何一个序列都可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和
其中在N等于偶数情况下共轭对称序列的对称点是N/2，共轭反对称序列的对称点是N/2，N为奇数情况下二者的对称点都是（N-1）/2，之前对称点都是0。

书上96页左边画了二者的图，共轭对称其实就是关于对称点偶对称，而共轭反对称是关于对称点奇对称。

书上96页下面那张图针对共轭对称序列在N取偶数和奇数下而言的
对于偶数时，在0和N/2处为实数，对于奇数而言，只在0处为实数

书上97页就三条结论
1.任何一个序列都可表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和
2.任何一个序列DFT都可以表示成其共轭对称序列的DFT和共轭反对称序列DFT之和
3.任何一个序列都可表示成复数的形式，而这个复数的实部就是共轭对称序列的IDFT，这个序列的虚部就是共轭反对称序列的IDFT，反过来共轭对称序列的DFT就是它的实部的DFT，共轭反对称序列的DFT就是它的虚部的DFT
这三条的推法和之前一模一样

例：若x(n)为实偶序列，则它的DFT为偶使序列
因为它是实序列，所以x(n)的虚部为0，因为它是偶函数，所以x(n)=共轭对称序列，根据第三条定律，共轭反对称序列的DFT等于实部，所以x(n)的DFT的表达式是X(n) = X(N - n)，所以它是偶实
例：若x(n)为实奇，则他的DFT为虚奇
因为它是实函数，所以他的虚部为，因为它是奇函数，所以x(n)=共轭反对称序列，根据第三条定律，共轭反对称序列的DFT等于虚部，所以x(n)的DFT的表达式是X(n) = -X(N-n)，所以它是虚积
以下总结：
实偶 ⇒ 偶实 实奇 => 虚奇
虚奇 => 实奇 虚偶 => 虚偶

六.帕斯瓦尔定律
这条定律有点类似于频域循环卷积定理，证明的时候要用到x(n)绝对值平方等于x(n)的共轭乘以x(n)以及DFT的逆定义。你记住结论，等号左边是序列绝对值的平方，等号右边是该序列DFT变化的绝对值的平方在除以N，最后再在等号两边同时加上求和符号就可以了