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  • 2021-01-08 18:23:35

    离散数学知识点总结

    第二章    命题逻辑

    1.→,前键为真,后键为假才为假;    <— >,相同为真,不同为假;

    2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项    (M)之积;

    3.求极小项时,命题变元的肯定为    1,否定为 0,求极大项时相反;

    4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假;

    5.求范式时,为保证编码不错, 命题变元最好按    P,Q,R 的顺序依次写;

    6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为    0 的项为极大项;

    7.n 个变元共有2n 个极小项或极大项,这2n 为(0~2n -1) 刚好为化简完后的主析取加主合取;

    8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式;

    9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法    ( 假定前键为真推出后 键为真,假定前键为假推出后键也为假    )

    10. 命题逻辑的推理演算方法:    P 规则, T 规则

    ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法;

    第三章    谓词逻辑

    1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有    n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系;

    2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取    ^;

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    商集 定义: R 是 A 上等价关系,由 R 的所有等价类构成的集合称之为 A 关于 R 的商集。记作 A/R。 A/R={[a]R∣a∈A} A/R=\{[a]_R |a∈A\} A/R={[a]R​∣a∈A} 例如, A={1,2,3,4,5,6,7} , R是A上的模3同余关系,则$...
    商集

    定义: R 是 A 上等价关系,由 R 的所有等价类构成的集合称之为 A 关于 R 的商集。记作 A/R。
    A / R = { [ a ] R ∣ a ∈ A } A/R=\{[a]_R |a∈A\} A/R={[a]RaA}
    例如, A={1,2,3,4,5,6,7} , R是A上的模3同余关系,则$ A/R= {[1]_R ,[2]_R ,[3]_R } ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}$

    image-20211226103135620

    由划分确定等价关系:

    A = { A 1 , A 2 , … , A n } A=\{A_1 ,A_2 ,…,A_n\} A={A1,A2,,An}是X的一个划分,则可以构造一个X上的等价关系R,使得X/R=A。

    构造方法: R = A 1 2 ∪ A 2 2 ∪ , … , ∪ A n 2 R=A_1^2∪A_2^2∪,…,∪A_n^2 R=A12A22,,An2 其中 A i 2 = A i × A i A_i^2 = A_i×A_i Ai2=Ai×Ai

    也就是每个独立子图都构成等价关系(自反、对称、传递)

    相容关系

    定义:给定集合 X 上的关系 r , 若 r 是自反的对称的,则 r 是A 上相容关系。

    即,刨去传递性

    相容关系关系矩阵的特点:

    主对角线都是1(自反性决定的);

    沿主对角线对称的元素,要么全是0,要么全是1(对称性决定的);

    相容类:设 r 是集合X上的相容关系, C ⊆ X C\subseteq X CX,如果对于 C 中任意元素x,y有$<x,y>\in r $,称 C 是 r 的一个相容类。

    最大相容类:设 r 是集合X上的相容关系,C是 r 的一个相容类,如果C不 能被其它相容类所真包含,则称C是一个最大相容类。

    完全覆盖:r是中的相容关系,由r的所有最大相容类为元素 构成的集合,称之为X的完全覆盖。记作Cr(X)。

    次序关系

    偏序关系(partial order relation)

    定义:R是A上自反、反对称和传递的关系,则称R是A上的偏序关系,并称是偏序集。

    用符号“≼”表示任意偏序关系,但要注意,这里的“≼”不一定 是“小于或等于”的含义。

    偏序关系有向图的特点:

    每个节点都有环(自反性);

    不同节点之间可以没有边,但如果有边,至多只有一条边;(反对称性)

    由于有(a,b) ∈R 和(b,c)∈R, 则(a,c) ∈R;(传递性)

    偏序关系的简化关系图:

    (1)自反性:每个顶点都有环,省去。

    (2)反对称性:两个不同顶点间只可能有一条边,那么按照左→右,或下→上 的方向依偏序关系安置顶点,可省略箭头。

    (3)传递性:由于有(a,b)∈R ,(b,c)∈R 则(a,c) ∈R,故只画(a,b),(b,c)对应 的边,省略边(a,c)。

    Hasse图:设≼是A上的一个偏序关系,如果a≼b ,则将a画在b的下面 ,且不c,使a≼c,c≼b,则a,b间用直线连接。并符合简 化的关系图的绘制,称这样得到关系图为Hasse图。

    全序(线序、链)关系:集合A上半序关系R,如果 ∀ a , b ∈ A \foralla,b\inA ,,都有a≼b,或 b≼a,则称R为A上的全序关系。

    极大极小元:设(P,≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteq P AP,若a∈A,且在A中找不到 一个元素b(b≠a),使a≼b(b≼a),则称a为A中 的极大元(极小元)。

    最大最小元:设(P, ≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteq P AP,若a∈A, ∀ b ∈ A \forall b\in A bA,b≼a (a≼b),则称a为A的最大元(最小元)。

    小结:(A, ≼)是偏序集,B是A的非空子集,则

    ⑴ B的极小元总是存在的,就是子集Hasse图中处在最下层的元素;B的极大 元也总是存在的,就是子集Hasse图中处于最上层的元素。

    ⑵ B的最小元(最大元)有时可能不存在,只要有唯一的极小(大)元,则这个极 小(大)元就是最小(大)元。否则,就没有最小(大)元。

    上界与下界:设(P, ≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteqP ,若a∈P,对 ∀ b ∈ A \forallb\inA ,都有b≼ a,则称a是A的上界;若a∈P,对 ∀ b ∈ A \forallb\inA ,都有 a≼b,则称a为A的下界。

    A的上下界要到P(全集)中寻找,不局限于A(子集)。

    上确界与下确界:设(P,≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteqP ,若a是A的一个上界,而 ∀ A \forallA 的上 界b,都有a≼b,则称a是A的上确界;若a是A的一个下界,而 A的下界b,都有b≼a,则称b是A的下确界。

    上确界:所有上界中的最小者,最小上界

    下确界:所有上界中的最大者,最大下界

    另外,如果存在上(下)确界,则上(下)确界一定是唯一的;

    函数

    函数关系图的特点:

    每个结点均有且仅有一条往外发的弧线(包括环)。

    函数关系矩阵的特点:

    每行均有且仅有一个1。

    从 X 到 Y 函数的集合 Y X Y^X YX Y X = { f ∣ f : X → Y } Y^X = \{f| f:X→Y\} YX={ff:XY}

    |X|=m,|Y|=n,可构成 nm 个不同的函数。

    image-20211226194158923

    特殊函数:常值函数、恒等函数

    函数的映射类型

    满射的:

    f:X→Y 是函数,如果对任意 y∈Y, 都存在 x∈X,使得 f(x)=y,则称 f 是满射的。 即 满射函数的值域 R f = Y R_f = Y Rf=Y

    满射函数的关系矩阵: 每行有且仅有一个1, 并且 每列至少有一个1。

    映内的

    f:X→Y 是函数,如果 R f ⊂ Y R_f \subset Y RfY则称 f 是映内的。

    image-20211226200139119

    入射的(单射的)

    f:X→Y 是函数,对于任何 x1 ,x2∈X, 如果 x1≠x2, 均有$ f(x_1 )≠ f(x_2)$,则称 f 是入射的(单射的,一对一的)。

    双射的

    f:X→Y 是函数,如果 f 既是满射的 又是入射的,则称 f 是双射的。

    函数的复合运算

    image-20211226195735412

    复合运算满足可结合性

    定理3 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数,则

    ⑴如果f 和 g是 满射的,则 g∘f 也是满射的;

    ⑵如果f 和 g是入射的,则 g∘f 也是入射的;

    ⑶如果f 和 g是双射的,则 g∘f 也是双射的。

    定理4 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数,则

    ⑴如果 g∘f 是满射的,则 g 是 满射的;

    ⑵如果 g∘f 是入射的,则 f 是入射的;

    ⑶如果 g∘f 是双射的,则 f 是入射的且g是满射的。

    tip:前满后入

    定理5 f:X→Y 是函数,则$ f∘I_X = f 且 I_Y∘f = f $。

    函数的逆运算

    逆函数定义:

    设 f:X→Y 是双射函数,$f^C:Y→X 也 是 函 数 , 称 之 为 f 的 逆 函 数 , 记 为 也是函数, 称之为 f 的逆函数,记为 ,ff^{-1}$ 。 f -1 存在,也称 f 可逆。显然,f -1 也是双射函数。

    如果一个函数不是双射的,它的逆就不是函数。

    自然数的定义

    自然数n是n个元素的集合

    image-20211226203227940

    集合的基数

    集合的等势

    定义:令A是B集合,如果存在双射 f:A→B,则称A 与B等势。记作A~B。

    ~ 是等价关系

    基数类:S是集合族,“~”是S上的等势关系,相对 于“~ ”的等价类称之为基数类。

    image-20211226203607782

    基数:给定集合A,A所属于的基数类,称之为A的基 数,记作K[A]。

    image-20211226203830171

    可数集合及其基数

    自然数集合N的基数

    因为 N 不可能与某个自然数 n 等势。所以 N 的基数不能是有限数,就用一个“无限大”的数 ℵ 0 \aleph_0 0 (读:阿列夫零)表示,即K[N]= ℵ 0 \aleph_0 0

    可数集: 与自然数集合N等势的集合,称之为可数集。

    不可数集合及其基数

    image-20211227194638819

    连续统基数

    (0,1)区间的基数是一个比 N 的基数 ℵ 0 \aleph_0 0 更大的无限 大的数,用 ℵ \aleph (阿列夫) 表示。即 ℵ \aleph > ℵ 0 \aleph_0 0

    image-20211227194801885

    ⑴ K[A1 ] = K[A2 ] = … = K[An ] = ℵ \aleph ,则 K[A1∪A2∪…∪An ] = ℵ \aleph

    ⑵ K[A] = K[B] = ℵ \aleph , 则 K[A×B ] = ℵ \aleph

    ⑶ K[A]= ℵ \aleph ,K[B]= ℵ 0 \aleph_0 0 (或 K[B]=n ),即B是至 多可数集,则 K[A-B ]= ℵ \aleph

    基数的比较

    代数系统

    二元运算性质

    封闭性

    交换性

    可结合性

    规定:

    若※是可结合的运算,元素 x 的※运算, 通常可以写成乘幂的形式。如下:

    x ※ x = x 2 x※x=x^2 xx=x2

    x 2 ※ x = x ※ x 2 = x 3 x^2※x=x※x2=x^3 x2x=xx2=x3

    e.g.

    对于加法: 1 3 = 3 1^3=3 13=3

    对于乘法: 1 3 = 1 1^3=1 13=1

    分配律

    左分配律、右分配律

    谁对谁满足(有顺序要求)

    吸收律

    image-20211227202216043

    二元运算中的特殊元素

    幂等元、幂等性

    幺元、左幺元、右幺元

    幺元 e e e e.g.

    加法:0;乘法:1;并运算:$\phi $;交运算:E

    怎么找?:左幺元(右幺元): e L e_L eL e R e_R eR)所在行(列)各元素均与上(左)表头元素相同

    if e L = e R e_L=e_R eL=eR,那么就是幺元e,且唯一

    零元、左零元、右零元

    零元$\theta $ e.g.

    乘法:0;并运算:;交运算: ϕ \phi ϕ

    怎么找?:左零元(右零元): θ L \theta_L θL θ R \theta_R θR)所在行(列)各元素均与左(上)表头元素相同

    if θ L = θ R \theta_L=\theta_R θL=θR,那么就是幺元 θ \theta θ,且唯一

    定理:设※是集合X 上的二元运算,且 |X|>1。 如果该代数系统中存在幺元 e 和零元 θ, 则 θ ≠ e。

    逆元、左逆元、右逆元(有幺元才能谈论逆元!!!

    逆元 x L − 1 x_L^{-1} xL1e.g.

    实数集合R上的+和×,x∈R

    对加法+: x − 1 = − x x^{-1} = -x x1=x

    ​ 因为e=0,x+ (-x) = 0

    对乘法×: x − 1 = 1 / x x^{-1} = 1/x x1=1/x (x≠0)

    ​ 因为e=1 ,x × 1/x = 1

    怎么找?:从运算表找 x 的左(右)逆元 x L − 1 x_L^{-1} xL1 x R − 1 x_R^{-1} xR1): 在 x 列向下(右)找到 e 后,再向左(上)到左(上)表头元素即是 x L − 1 x_L^{-1} xL1 x R − 1 x_R^{-1} xR1

    定理:设※是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算, 如果 x∈X,x 的左、右逆元都存在,则 x 的 左、右逆元必相等,且 x 的逆元是唯一的。

    可消去元、可消去性

    定理:设※是 X 上可结合的二元运算,如 果 a∈X,且 a − 1 a^{-1} a1∈X ,则 a 是可消元。

    image-20211227214604778

    e.g.

    image-20211227215340794

    image-20211227215202249

    image-20211227215350111

    代数系统的基本概念

    同类型的代数系统

    同态与同构

    同态:是一个映射

    如果 f 是满射的,称此同态是满同态。

    如果 f 是入射的,称此同态是单一同态。

    如果 f 是双射的,称此同态是同构,记作 X≌Y。

    若 f 是<X,※>到<X,※>的同态(同构) ,则称之为自同态(自同构)。

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    注意: 代数系统 和同构的必要条件:

    1. X 和Y 的基数相同,即 K[X]=K[Y]。

    2. 运算※和⭕是同类型的。

    3. 存在双射 f:X → \rightarrow Y,且满足同构关系式。

      !!并不是所有的双射 f:X → \rightarrow Y 都满足同构关系式。

    如果 f 是入射的,称此同态是单一同态。

    如果 f 是双射的,称此同态是同构,记作 X≌Y。

    若 f 是<X,※>到<X,※>的同态(同构) ,则称之为自同态(自同构)。

    [外链图片转存中…(img-rsmhcloI-1640617498923)]

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    注意: 代数系统 和同构的必要条件:

    1. X 和Y 的基数相同,即 K[X]=K[Y]。

    2. 运算※和⭕是同类型的。

    3. 存在双射 f:X → \rightarrow Y,且满足同构关系式。

      !!并不是所有的双射 f:X → \rightarrow Y 都满足同构关系式。

      在构造双射时,要注意: 幺元与幺元对应;零元与零元对应; 逆元也要相互对应。

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    文档作者:Yohann Fang

    第1章 > 命题与命题公式

    1.1 > 命题与命题联结词

    1.1.1 > 命题与命题的表示

    数理逻辑

    又被称为符号逻辑,最基本的两个组成部分是命题演算和谓词演算

    推理

    由一个或几个已知的前提推导出一个未知结论的思维过程

    真值

    一个陈述句是否成立的属性,成立为真,不成立为假,真表示为 T 或 1,假表示为 F 或 0

    命题
    • 具有唯一真值陈述句
    • 可能为真或假的陈述句非命题(x + y > 5非命题)
    • 无法判断但是只有唯一真值的陈述句依然视为命题(地球外有外星人)
    • 疑问句/感叹句/祈使句均非命题
    • 悖论非命题(不讨论)
    命题的符号化

    用符号表示命题的过程,通常使用大写或小写英文字母表示(可以添加数字作为下标

    命题标识符
    • 表示命题的符号
    • 如果表示的命题确定,则为命题常量(项)
    • 如果只代替命题的所处位置,则为命题变元(项)
    • 用具体的命题替换命题变元被称为命题变元的指派

    1.1.2 > 复合命题与联结词

    原子命题

    不能再被分解的命题,又被称为简单命题

    复合命题

    原子命题通过联结词联结而成的命题

    联结词
    • 表示两个句子之间的关系
    • 数理逻辑中常用的联结词共有 5 个,如下所示
    否定联结词

    ┐A 读作 非A

    | A | ┐A |
    | 1 | 0 |
    | 0 | 1 |

    合取联结词

    A ∧ B 读作 A合取B(A且B)
    合取联结词具有对称性,A ∧ B ⇔ B ∧ A

    | A | B | A ∧ B |
    | 1 | 1 | 1 |
    | 1 | 0 | 0 |
    | 0 | 1 | 0 |
    | 0 | 0 | 0 |

    析取联结词

    A ∨ B 读作 A析取B(A或B)
    析取联结词具有对称性,A ∨ B ⇔ B ∨ A

    | A | B | A ∨ B |
    | 1 | 1 | 1 |
    | 1 | 0 | 1 |
    | 0 | 1 | 1 |
    | 0 | 0 | 0 |

    条件联结词

    A → B 读作 若A则B
    条件联结词不具有对称性,A → B 不等价于 B → A

    | A | B | A → B |
    | 1 | 1 | 1 |
    | 1 | 0 | 0 |
    | 0 | 1 | 1 |
    | 0 | 0 | 1 |

    双条件联结词

    A ↔ B 读作 A当且仅当B
    双条件联结词具有对称性,A ↔ B ⇔ B ↔ A

    | A | B | A ↔ B |
    | 1 | 1 | 1 |
    | 1 | 0 | 0 |
    | 0 | 1 | 0 |
    | 0 | 0 | 1 |

    1.2 > 命题公式的等值演算

    1.2.1 > 命题公式

    命题公式
    • 命题变元不是命题
    • 命题公式也称为合式公式,命题形式,简称公式
    • 将命题用联结词和圆括号按一定逻辑关系联结起来的符号串称为命题公式
    • 单个命题变元或命题常量也可以是合式公式,并称为原子命题公式
    • 若 A 是合式公式,则 ┐A 也是合式公式
    • 若 A B 均为合式公式,则 A(联结词)B 也是合式公式
    • 有限利用以上三条合成的公式也属于合式公式
    • 合式公式最外层括号可以省略
    • 不影响运算次序的括号可以省略
    联结词的优先级

    否定联结词 > 合取联结词 > 析取联结词 > 条件联结词 > 双条件联结词
    优先级由高到低

    命题的指派

    设 A 为命题公式,P₁P₂…Pₙ 为出现在 A 中的所有命题变元,对 P₁P₂…Pₙ 各指派一个真值称为对命题 A 的一种指派,若指派后使得命题 A 的值为真,则称这组值为 A 的成真指派,反之为成假指派

    真值表

    若命题 A 中共有 n 个命题变元,给定一组指派,指派可以为 1 或 0,根据排列组合可知,含有 n 个命题变元的命题公式,共有 2ⁿ 组指派,将公式A的所有指派的取值列出的表,称为 A 的真值表

    命题等价

    给定两个命题公式 A 和 B,若对 A 和 B 给定任意一组指派都使得 A 和 B 的真值相同,则称 A 和 B 等价,记作 A ⇔ B,若至少有一组指派的真值不同,则称 A 和 B 不等价
    推论 > 对于任意公式 P,都有无穷多个公式与 P 等价

    永真式与永假式

    设 A 为命题公式,若各种指派下 A 的取值均为真,则称 A 为永真式或重言式,若取值均为假,则称 A 为永假式或矛盾式
    推论 > 若两个命题公式 P ⇔ Q,则 P ↔ Q 为永真式
    推论 > 两个命题公式 P ⇔ Q 当且仅当 P ↔ Q 为永真式

    可满足式

    设 A 为命题公式,若 A 至少存在一组成真指派,则为可满足式,永真式是可满足式,但可满足式不一定是永真式(可视为永真式 ⊆ 可满足式

    命题公式定律

    | 名称 | 公式 |
    | 双重否定律 | A ⇔ ┐┐A |
    | 排中律 | A ∨ ┐A ⇔ T |
    | 矛盾律 | A ∧ ┐A ⇔ F |
    | 同一律 | A ∨ F ⇔ A ∧ T ⇔ A |
    | 零律 | A ∧ F ⇔ F ; A ∨ T ⇔ T |
    | 幂等律 | A ∧ A ⇔ A ; A ∧ A ∧ A ⇔ A ; A ∨ A ⇔ A ; A ∨ A ∨ A ⇔ A |
    | 交换律 | A ∧ B ⇔ B ∧ A ; A ∨ B ⇔ B ∨ A |
    | 结合律 | (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) ; (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) |
    | 分配律 | (A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) ; (A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) |
    | 吸收律 | (A ∧ B) ∨ A ⇔ (A ∨ B) ∧ A ⇔ A |
    | 德摩根律 | ┐A ∧ ┐B ⇔ ┐(A ∨ B) ; ┐A ∨ ┐B ⇔ ┐(A ∧ B) |
    | 归谬论 | (A → B) ∧ (A → ┐B) ⇔ ┐A |
    | 蕴含等值式 | A → B ⇔ ┐A ∨ B |
    | 否定等值式 | A ↔ B ⇔ ┐A ↔ ┐B |
    | 等价等值式 | A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) |
    | 假言易位式 | A → B ⇔ ┐B → ┐A |

    1.2.2 > 等值演算与蕴涵式

    等值演算

    由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程,被称为等值演算或等价变化,是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分

    蕴涵式

    又称永真条件式,P → Q 为永真式当且仅当 P ⇒ Q(P蕴涵Q)

    • 对于任意公式 A,都有 A ⇒ A
    • 对于任意公式 A、B、C,若 A ⇒ B,B ⇒ C,则 A ⇒ C
    • 对于任意公式 A、B、C,若 A ⇒ B,A ⇒ C,则 A ⇒ (B ∧ C)
    • 对于任意公式 A、B、C,若 A ⇒ C,B ⇒ C,则 (A ∨ B) ⇒ C
    • 设A、B为命题公式,A ⇔ B 的充分必要条件是 A ⇒ B 且 B ⇒ A
    推理定律

    | 名称 | 公式 |
    | 化简律 | P ∧ Q ⇒ P ; P ∧ Q ⇒ Q |
    | 附加律 | P ⇒ P ∨ Q ; Q ⇒ P ∨ Q |
    | 化简律变种 | ┐(P → Q) ⇒ P ⇒ ┐Q |
    | 附加律变种 | Q ⇒ P → Q ; ┐P ⇒ P → Q |
    | 假言推理 | P ∧ (P → Q) ⇒ Q |
    | 拒取式 | ┐Q ∧ (P → Q) ⇒ ┐P |
    | 析取三段论 | ┐Q ∧ (P ∨ Q) ⇒ P |
    | 条件三段论 | (P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ P → R |
    | 等价三段论 | (P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R) ⇒ P ↔ R |
    | 合取构造二难 | (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∧ R) ⇒ Q ∧ S |
    | 析取构造二难 | (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R) ⇒ Q ∨ S |
    | 前后件附加 | P → Q ⇒ (P ∧ R) → (Q ∧ R) ; P → Q ⇒ (P ∨ R) → (Q ∨ R) |

    1.3 > 联结词完备集

    联结词完备集
    • 设 S 是联结词集合,若任何 n(n>0)元真值函数都可以由仅含 S 中的联结词构成的公式表示,则称 S 是联结词完备集
      根据定义可知,S = { ┐, ∧, ∨, →, ↔ } 是联结词完备集
    • S1 = { ┐, ∧, ∨, →, ↔ }
    • S2 = { ┐, ∧, ∨, → }
    • S3 = { ┐, ∧ }
    • S4 = { ┐, ∨ }
    • S5 = { ┐, → }
    • 均为联结词完备集
    最小联结词完备集

    我们把 S = { ┐, ∧ },S = { ┐, ∨ } 称为最小联结词完备集

    与非门,或非门
    • 设 P、Q 为命题公式,P 与 Q 的否定是一个复合命题,记作 P ↑ Q,即 P 和 Q 的与非式,符号 ↑ 是与非联结词
    • 设 P、Q 为命题公式,P 或 Q 的否定是一个复合命题,记作 P ↓ Q,即 P 和 Q 的或非式,符号 ↓ 是或非联结词
    • 可以证明 S = { ↑ } 和 S = { ↓ } 都是联结词完备集
    展开全文
  • 02324 离散数学 知识点

    2021-04-12 15:36:06
    第1章 命题逻辑
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    2021-10-07 08:02:25
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  • 计算机考研复试——离散数学知识点

    千次阅读 多人点赞 2020-05-08 08:19:07
  • 离散数学常见知识点

    千次阅读 2021-12-27 11:22:53
    对于离散数学常见知识点的整理。
  • 离散数学知识点小结

    千次阅读 2020-03-01 21:22:24
    经历了忙于转专业和竞赛的上学期,我深深地意识到人的能力是有限的…所以应该及时总结知识来促进掌握,而且可以留作日后复习用。 参考书目(教材) 《离散数学(第五版)》 清华大学出版社
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    2021-07-12 15:08:59
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  • 离散数学知识点整理

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    1. 群满足如下条件的二元运算的代数结构 满足封闭性 有单位元 有逆元 满足结合律 2. 阿贝尔群(交换群或加群)它除了满足一般的群公理,即: 运算的结合律 满足封闭性 有单位元 所有的元素都有逆元 ...
  • 本人近几月整理的离散数学笔记,包括离散前七章以及代数系统。以屈婉玲第三版为参考。笔记是用xmind写的,如有需要请下载xmind思维导图最新版,体验会更好

空空如也

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