二叉树的顺序存储的缺点

因为并不是每个二叉树都是完全二叉树，普通二叉树使用顺序表存储或多或少会存在空间浪费的现象

图 1 普通二叉树的转化

如上图 1，普通二叉树里只有二个元素，最好的存储方式当然是开辟相对应的空间，但是顺序存储结构却让我们不能这么做！也就是说我们此时必须花更多的空间去存储相对少的元素

二叉树的链式存储

先慢慢介绍一下链式存储的节点结构！！！

图 2 普通二叉树示意图

如上图 2 所示，若将其采用链式存储，则只需从树的根节点开始，将各个节点及其左右孩子使用链表存储

因此，图 2 对应的链式存储结构如下图 3 所示：

图 3 二叉树链式存储结构示意图

 由上图 3 可知，采用链式存储二叉树时，其节点结构由 3 部分构成：

图 4 二叉树节点结构

 此时我们直接用结构体声明一下节点的类型！！！and 头文件

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct MyBiTNode{
    int data;  // 数据域
    struct MyBiTNode *lchild, *rchild;  // 左右孩子指针
} BiTNode;

然后根据图 3 来定义主要函数体（自行消化）

BiTNode *CreateBiTree(BiTNode *T){
	// 结点 1 
    T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    T->data = 1;
    // 结点 2
	T->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
	T->lchild->data = 2;
	T->lchild->rchild = NULL;
	// 结点 3
	T->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    T->rchild->data = 3;
	T->rchild->lchild = NULL; 
	T->rchild->rchild = NULL;
	// 结点 4 
	T->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
	T->lchild->lchild->data = 4;
	T->lchild->lchild->lchild = NULL;
	T->lchild->lchild->rchild = NULL;
	return T;
}

int main() {
    BiTNode *Tree = NULL;  // 结构体指针指向空 
    Tree = CreateBiTree(Tree);  // 传入结构体指针 
    printf("%d\n",Tree->lchild->lchild->data);  // 4 
    return 0;
}

但是还不能算真的实现了二叉树的链式存储（还不够完善）

在某些实际场景中，可能需要查找某节点的父节点，这时可以在节点结构中再添加一个指针域，用于各个节点指向其父亲节点

优化后的链式存储结构如下图 5 所示（通常称为三叉链表）：

图 5 优化后二叉树的链式存储结构

 此时我们直接用结构体声明一下节点的类型！！！and 头文件

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct MyBiTNode{
    int data;  // 数据域
    struct MyBiTNode *lchild, *rchild;  // 左右孩子指针
    struct MyBiTNode *parent;  // 父指针
} BiTNode;

 然后根据图 5 来定义主要函数体（自行消化）

BiTNode *CreateBiTree(BiTNode *T){
	// 结点 1 
    T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    T->data = 1;
    T->parent = NULL;
    // 结点 2
	T->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
	T->lchild->data = 2;
	T->lchild->rchild = NULL;
	T->lchild->parent = T;
	// 结点 3
	T->rchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    T->rchild->data = 3;
	T->rchild->lchild = NULL; 
	T->rchild->rchild = NULL;
	T->rchild->parent = T;
	// 结点 4 
	T->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
	T->lchild->lchild->data = 4;
	T->lchild->lchild->lchild = NULL;
	T->lchild->lchild->rchild = NULL;
	T->lchild->lchild->parent = T->lchild;
	return T;
}

int main() {
    BiTNode *Tree = NULL;  // 结构体指针指向空 
    Tree = CreateBiTree(Tree);  // 传入结构体指针 
    printf("%d\n",Tree->lchild->lchild->parent->data);  // 2
    return 0;
}

定义

线性表，全名为线性存储结构。

线性表是n个数据特性相同的元素的组成有限序列，是最基本且常用的一种线性结构(线性表，栈，队列，串和数组都是线性结构），同时也是其他数据结构的基础。具有“一对一”逻辑关系的数据，最佳的存储方式是使用线性表。

特点

• 是一个有限的序列
• 可以是有序的也可以是无序的。
• 线性表的开始元素没有前驱元素只有后继元素，线性表的结束元素没有后继元素只有前驱元素，除了开头元素和结尾元素以外，每个元素都有且只有一个前驱元素和后继元素。

前驱和后继

数据结构中，一组数据中的每个个体被称为“数据元素”（简称“元素”）。

• 某一元素的左侧相邻元素称为“直接前驱”，位于此元素左侧的所有元素都统称为“前驱元素”；
• 某一元素的右侧相邻元素称为“直接后继”，位于此元素右侧的所有元素都统称为“后继元素”；

以下图数据中的元素 3 来说，它的直接前驱是 2 ，此元素的前驱元素有 2 个，分别是 1 和 2；同理，此元素的直接后继是 4 ，后继元素也有 2 个，分别是 4 和 5。

存储结构

线性表存储结构分为顺序存储结构和链式存储结构，前者称为顺序表，后者称为链表。

顺序存储结构

定义

顺序表就是把线性表中的所有元素按照某种逻辑顺序，依次存储到从指定位置开始的一块连续的存储空间。

特点

逻辑上相邻的数据元素，物理次序也是相邻的。

只要确定好了存储线性表的起始位置，线性表中任一数据元素都可以随机存取，所以线性表的顺序存储结构是一种随机存取的储存结构，因为高级语言中的数组类型也是有随机存取的特性，所以通常我们都使用数组来描述数据结构中的顺序储存结构，用动态分配的一维数组表示线性表。

**数组长度和线性表的长度区别：**数组长度是存放线性表的存储空间的长度，存储分配后这个量一般是不变的，线性表的长度是线性表中数据元素的个数，随着线性表插入和删除操作的进行，这个量是变化的。

优缺点

优点	缺点
无需为表示表中元素之间的逻辑关系而增加额外的存储空间	插入和删除操作需要移动大量元素
可快速的存取表中的任一位置元素	当线性表长度变化比较大时，难以确定存储空间的容量
	容易造成存储空间碎片

基本操作

结构体定义

顺序表可以分为静态分配和动态分配两种：

• 静态分配

#define MaxSize 50  / /顺序表的最大长度
typedef struct{		// typedef类型重命名
    ElemType data[MaxSize]; // 顺序表的元素，ElemType是未明确的数据类型，使用时可以用typedef定义具体类型
    int length;				// 长度
}SqList;

静态分配方法需要预先分配一段固定大小的连续空间，但在运算过程中，进行插入，合并等操作时，容易超过预分配的空间长度，出现溢出问题。

• 动态分配

#define InitSize 50  // 顺序表的初始长度
typedef struct{		// typedef类型重命名
    ElemType *data; // 指向动态分配数组的指针，基地址，*取内容
    int MaxSize;	// 数组的最大容量
    int length;	// 数组的当前个数
}SeqList;
// 定义SqList类型的变量
SqList L;
L.data = (ElemType*)malloc(sizeof(ElemType)*InitSize);

初始化

struct SqList{
	int data[MaxSize]; // 存放顺序表的元素
	int length; // 存放顺序表的长度
	int last;
};

void Init(SqList *L){
	L->data[0] = int(malloc(MaxSize * sizeof(int)));
	int n, i = 0;
	cin >> n;
	L->length = n;
	while (i < n)
	{
		cin >>(L->data[i++]);
	}
	L->last = i - 1;
}

插入

bool InsertList(SqList &L, int i, int e)
{
	// 在顺序表中第i个位置（位序，不是下标）插入数值e
	int j;
	if (i<1 || i>L.length+1) // 是否越界
		return false;
	if (L.length == MaxSize)// 内存已满
		return false;
	L.length++;            // 长度++
	for (j = L.length; j >= i; j--) // 将第i个起的数据后移
		L.data[j] = L.data[j - 1];
	L.data[j] = e;
	return true;
}

删除

bool DeleteList(SqList&L, int i)
{
	// 删除顺序表中第i个元素
	int j;
	if (i<1 || i>L.length)
		return false;   // 判断越界
	for (j = i; j < L.length; j++)
		L.data[j - 1] = L.data[j];
	L.length--;
	return true;
}

查找

bool LocateElem(SqList L, int e)
{
	int i;
    for(i = 0; i < L.length; i++){
        if(L.data[i] == e){
            return i+1;
        }
    }
    return 0;
}

链式存储结构

又称为链表，用于存储逻辑关系为 “一对一” 的数据。

用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素（这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的），包括数据域和指针域，数据域存数据，指针域指示其后继的信息。

1、单链表

节点

一个完整的链表需要由以下几部分构成：

1. **头指针：**一个普通的指针，它的特点是永远指向链表第一个节点的位置。很明显，头指针用于指明链表的位置，便于后期找到链表并使用表中的数据；

2. 节点：链表中的节点又细分为头节点、首元节点和其他节点：

   • **头节点：**其实就是一个不存任何数据的空节点，通常作为链表的第一个节点。对于链表来说，头节点不是必须的，它的作用只是为了方便解决某些实际问题；
   • **首元节点：**由于头节点（也就是空节点）的缘故，链表中称第一个存有数据的节点为首元节点。首元节点只是对链表中第一个存有数据节点的一个称谓，没有实际意义；
   • **其他节点：**链表中其他的节点；

链表中有头节点时，头指针指向头节点；反之，若链表中没有头节点，则头指针指向首元节点。

基本操作

结构体定义

typedef struct Lnode{	
	ElemType data; 
	struct Lnode *next;
}LNode,*LinkList

初始化

单链表的初始化是指构建一个空表。先创建一个空结点，不存放数据，然后令其指针域为空；

bool InitList_L(LinkList &L){
	L = new Lnode; 
	if(!L) return false;
	L -> next = NULL;
	return true;
}

创建

创建单链表分为头插法和尾插法两种。

• 头插法：是指每次将新结点插入到头结点之后，其创建的单链表和数据输入的顺序正好相反，因此也称为逆序建表。

void CreateList_H(LinkList &L){
	int n;
	LinkList s;
	L = new LNode;
	L -> next = NULL;
	cin>>n;
	while(n--){
		s = new LNode;
		cin>>s->data;
		s->next = L->next;
		L->next = s;
	}
}

• 尾插法：是指每次把新结点链接到链表的尾部，其创建的单链表和数据输入顺序一致，因此也称为正序建表。

void CreatList_R(LinkList &L){	
	int n;
    LinkList s, r;
    L = new Lnode;
    L -> next = NULL;
    r = L;
    cin>>n;
    while(n--){
		s = new LNode; 
        cin >> s->data;
        s -> next = NULL; 
        r -> next = s;
        r = s; 
    }
}

按序取值
从单链表的第一个结点出发，顺指针逐个往下搜索，知道找到第i个结点为止，否则返回最后一个结点的指针NULL。

LinkList GetElem(LinkList L, int i){
	int j = 1; 
    LinkList p = L -> next;
    if(i == 0) return L;
    if(i < 1) return NULL;
    while(p && j<i){
        p = p->next;
        j++;
    }
    return p;
}

插入结点

p = GetElem(L, i-1);
s -> next = p -> next;
p -> next = s;

删除结点

p = GetElem(L, i-1);
q = p -> next;
p -> next = q -> next;

2、静态链表

静态链表，兼顾了顺序表和链表的优点于一身。

使用静态链表存储数据，数据全部存储在数组中（和顺序表一样），但存储位置是随机的，数据之间"一对一"的逻辑关系通过一个整形变量（称为"游标"，和指针功能类似）维持（和链表类似）。

3、双向链表

在单链表的基础上，再在每个结点中设置一个指向其前驱结点的指针域，这样一个结点既可以指向它的前面又可以指向它的下一个，我们把这种链表称为双向链表。

4、循环链表

将单链表中终端结点的指针端由空指针改为指向头结点，就使整个单链表形成一个环，这种头尾相接的单链表称为单循环链表，简称循环链表。

顺序存储和链式存储比较

• 顺序表只需知道第一个元素的位置，就可以通过起始位置的偏移去获取顺序表中的任何元素（随机访问），而链表的存储结构是一个元素中包含下一个数据元素的位置信息，下一个包含下下一个，也就是每个数据元素之间都是单线联系的，你要想知道最后一个元素在哪里，你必须从头走到尾才可以，所以链表是不支持随机访问的。
• 顺序表中的数据元素是存放在一段地址连续的空间中，且这个存储空间是提前分配的，一旦分配好了，在对其进行操作的过程中是不会更改的。而链表支持存储空间动态分配。
• 顺序表在插入删除一个元素的时候需要移动大量元素。而链表在插入和删除一个元素时，不需要移动大量元素，只需要更改插入位置的指针指向就可以。

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本篇完

链表：
线性表的链式存储结构，链表里面有很多个结点，每个结点由存放数据的数据域和表示数据元素之间的逻辑关系的指针域（C/C++这么用）。

单链表：
在每个结点中除了包含数据域之外只设置一个指针域，用于指向其后继结点，这样的链表称为线性单向链表，简称单链表。

双链表:
在每个结点中除了包含数据域之外设置两个指针域，一个用于指向前驱结点，一个用于指向后继结点。

注意：
若一个结点中的某个指针域不需要指向其他任何结点，则将它的值置为空，用常量NULL表示。

在线性表的链式存储中，通常每个链表带有一个头结点，并通过头结点唯一标识该链表，称之为头指针，相应的指向首结点或者开始结点的指针称为首指针，显然，在单链表中，首指针在首结点的前一个元素的指针域里面，也就是头指针的指针域里面；指向尾结点的指针称为尾指针，很明显，在单链表中，尾指针在倒数第二个结点的指针域。

链表中，逻辑上相邻的元素对应的存储位置是通过指针来链接的，因而每个结点的存储位置可以任意安排，不必要求相邻，多以当进行插入（修改前一个元素以及插入元素的指针）和删除（只需修改前一个元素的指针）时只需修改相关结点的指针域即可。

存储密度：
结点中数据元素所占的存储量/结点所占存储量
即：数据域的大小除以/（数据域大小+指针域大小）

显然，顺序表的存储密度为1（因为指针域大小为0），而链表的存储密度小于1。
单链表：
单链表的元素类型：
假设每个结点的类型用LinkNode表示，每个结点应包括数据域和指针域。声明如图所示：

在单链表中增加一个头结点的优点：
1.使首结点的删除和插入与其他结点的操作一致，无需特殊化。
2.无论单链表是否为空都有一个头结点，因此统一了空表和非空表的处理过程。

插入和删除结点的操作：
插入：
假设在两个数据域分别为a,b的结点（已知指针p指向a所在的结点）中间插入一个数据域为c的结点（s指向这个结点），如图所示：
首先修改s指向的结点的指针域，让其等于p -> next（这是一个指针域，数据域a所在结点的指针域），这样p和s这两个指针指向的结点就都和b所在的结点有了指向关系，这时候就需要把p所指向的结点的指针域的值改为s所指向的结点的地址，也就是s。
修改操作用C/C++描述如下：

s -> next = p ->next;
p -> next = s;

注意顺序不可颠倒

拓展：
单链表中，p ->a 到 p ->b的方法：
for 循环 、 p = p -> next

删除：
在这里删除指在单链表中删除结点p的后继结点，如图所示：

删除b所在结点的操作是让a所在的结点的指针域指向c所在结点的地址。
操作用C/C++描述如下：

p -> next = b -> next;

实际上在删除一个结点之后还需要释放其空间，而且如果直接让a所在的结点直接链接c所在的结点，那么我们就不知道b所在的结点的地址了，所以在删除之前，应该用一个指针先指向这个结点，这样子就有两个指针指向这个被处理元素了，在第一个指针没有指向这个结点之后，还会有一个指针指向它，那么就可以利用这个结点来进行删除操作。

q = p ->next;	//用一个指针指向b所在的结点。
p -> next = q -> next // or = b ->next 		//从结点中删除b所在的结点，让
//a所在的结点后面直接是c所在的结点。
free(q);	//释放空间