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  • 多元非线性回归分析

    2006-02-23 09:05:59
    多元非线性回归分析
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    当影响因变量的因素是多个时候,这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归,分为:多元线性回归和多元非线性回归。这里直说多元线性回归。对比一元线性回归:

    1.1多元回归模型:

    1.2多元回归方程

    1.3估计的多元回归方程

    2.1**对参数的最小二乘法估计:** 和一元线性回归中提到的最小二乘法估计一样、这不过这里的求导变量多了点、原理是一样的、这里需要借助计算机求导、就不写了。

    3 回归方程的拟合优度:

    3.1

    多重判定系数:(Multiple coefficient of determination)

    注解:

    (1

    )对于多重判定系数有一点特别重要的需要说明:自变量个数的增加将影响到因变量中被估计的回归方程所解释的变量数量。当增加自变量时,会使预测误差变得较小,从而减小残差平方和SSE。自然就会是SSR变大。自然就会是R2变大。这就会引发一个问题。如果模型中增加一个自变量,即使这个自变量在统计上并不显著,R2的值也会变大。因此为了避免这个问题。提出了调整的多种判定系数(adjusted

    multiple coefficient of

    determination):

    R2a同时考虑了样本量(n)和模型中自变量的个数(k)的影响,这就使得R2a的值永远小于R2,而且R2a的值不会因为模型中自变量的个数增多而逐渐接近于1. (2

    )R2的平方根成为多重相关系数,也称为复相关系数,它度量了因变量同k个自变量的相关程度。 3.2 估计标准误差

    4. 显著性检验

    在此重点说明,在一元线性回归中,线性关系的检验(F检验)和回归系数的检验(t检验)是等价的。

    但是在多元回归中,线性关系的检验主要是检验因变量同多个自变量线性关系是否显著,在k个自变量中,只要有一个自变量与因变量的线性关系显著,F检验就能通过,但这不一定意味着每个自变量与因变量的关系都显著。回归系数检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验,它主要用于检验每个自变量对因变量的影响是否都显著。如果某个自变量没有通过检验,就意味着这个自变量对因变量的影响不显著,也许就没有必要将这个自变量放进回归模型中。 4.1 线性关系的检验

    步骤: (1):提出假设

    (2):计算检验的统计量F.

    (3):作出统计决策。 4.2 线性关系的检验

    步骤: (1):提出假设

    (2):计算检验的统计量F.

    (3):作出统计决策。

    5.1 多重共线性

    多重共线性:当回归模型中两个或两个以上的变量彼此相关时,则称回归模型中存在多重共线性。 多重共线性的判别:

    (1)模型中中各对自变量之间显著相关 (2)当模型的线性关系检验(F检验)显著时,几乎所有的回归系数βi的t检验却不显著。 (3)回归系数的正负号与预期的相反。 (4)容忍度(tolerance) 与 方差扩大因子(variance inflation factor,

    VIF). 容忍度:某个变量的容忍度等于 1

    减去该自变量为因变量而其他k−1个自变量为预测变量时所得到的线性回归模型的判定系数。即1−R2i。

    容忍度越小,多重共线性越严重。通常认为 容忍度小于 0.1 时,存在严重的多重共线性。 方差扩大因子:容忍度的倒数。 因此,VIF越大,多重共线性越严重,一般认为VIF的值大于10时,存在严重的多重共线性。

    5.2 多重共线性的处理

    常见的两种办法: (1)将一个或多个相关的自变量从模型中剔除,使保留的自变量尽可能不相关。 (2)如果要在模型中保留所有的自变量,那么应该: (2.1)避免根据t统计量对单个参数β进行检验, (2.2)对因变量y值的推断(预测和估计)限定在自变量样本值的范围内。

    5.3选择变量避免共线性的几种方式,

    在建立回归模型时,我们总是希望用最少的变量来说明问题,选择自变量的原则通常是对统计量进行显著性检验,检验的根据是:将一个或一个以上的自变量引入回归模型中时,是否使残差平方和(SSE)显著减少,如果增加一个自变量使残差平方和(SSE)显著减少,则说明有必要将这个变量引入回归模型中,否则,没有必要将这个变量引入回归模型中。确定在模型中引入自变量xi是否使残差平方和(SSE)显著减少的方法,就是使用F统计量的值作为一个标准,以此来确定在模型中增加一个自变量,还是从模型中剔除一个自变量。 变量选择方式:

    5.3.1 向前选择;

    第一步:

    对k个自变量分别与因变量y的一元线性回归模型,共有k个,然后找到F统计量的值最大的模型及其自变量xi并将其首先引入模型。 第二步:

    在已经引入模型的xi的基础上,再分别拟合xi与模型外的k−1个自变量的线性回归模型,挑选出F值最大的含有两个自变量的模型,

    依次循环、直到增加自变量不能导致SSE显著增加为止, 5.3.2向后剔除

    第一步:先对所有的自变量进行线性回归模型。然后考察p

    第二步:考察p−1个再去掉一个自变量的模型,使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来从模型中剔除,直到剔除一个自变量不会使SSE值显著减小为止,这时,模型中的所剩自变量自然都是显著的。 5.3.3逐步回归

    是上面两个的结合、考虑的比较全,以后就用这个就可以。

    具体的分析过程、咱们以spss的多元回归分析结果为例。

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    1、可线性化的非线性分析

    变量之间的非线性形式较多,较为常见的形式如下图:

    非线性形式的变量关系一般可以通过变量代换或转换的方式转化为线性关系。横纵轴所代表变量之间的关系为幂函数形式的关系,即可建立的模型为:

    其中a、β为模型参数,ε为误差项。

    在实际建模过程中,可以把上述模型左右变量同时取对数,可得:

    令y’=lny,x’=Inx,a’=Ina 可得如下模型:

    类似的,对数模型y=a+βInx+ε,可以转换成y=a+βx’+ε的线性形式;

    指数模型:

    对上式两边同时取对数,可得Iny=lna+βx+ε,再用变量代换转换为y’=a’+βx+ε的线性形式;

    逻辑斯蒂(Logistic)模型:

    可以转换为:

    再使用变量代换的形式转换成线性形式;

    抛物线模型同理也可作类似处理。

    类似的,在存在多个自变量情形下的非线性回归,也可以按照上述变量转换和代换的方式把多元非线性模型转化为多元线性模型。

    2、非线性回归模型

    对常见非线性模型进行线性转换后用线性回归的参数估计方法进行参数估计虽然较简单,但有时估计效果不理想。当对因变量y作变换时,由于线性回归的最小二乘估计是对变换后的y而不是直接对y进行估计,在此基础上估计的曲线可能会造成拟合效果并不理想。此外,有些时候变量间的曲线关系比较明显,关系式也已知,但是难以用变量变换或代换的方式将其线性化,这个时候可以考虑直接使用非线性最小二乘估计方法来估计模型参数。

    此外,非线性回归模型还有一种情况:模型中至少有一个参数不是线性的,该模型也可称之为非线性模型。如有如下模型:

    对模型右边求偏导数并利用回归模型经典假定,得到:

    由上述第二个偏导数得知,自变量对因变量的影响还会受到参数β本身的影响,而自变量β通过对因变量发生的作用并不是线性的。这种模型可称之为非线性回归模型。

    非线性模型的参数一般可以使用最小二乘及迭代算法进行估计,主要估计方法有最速下降法(Steepest-Descent)或梯度法(Gradient Method)、牛顿法( Newton Method)、修正高斯-牛顿法(Modified Gauss-Newton Method)和麦夸特法(Marquardt Method)等。一般而言, 非线性曲线的拟合程度均较高,在考虑实际数据的拟合问题时,一般的分析过程往往不会给出模型检验结果。

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  • 一、背景 多元回归分析又称多对多回归是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析方法。在132位顾客中...

    一、背景

    多元回归分析又称多对多回归是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析方法。在132位顾客中选择了第1位客户,以喜好程度作为因变量,以价格、可口可乐 or 百事可乐、有糖 or 无糖作为自变量,运用多元线性回归方法分析这位客户对不同轮廓的可乐喜爱度。通过分析得出,价格、可口可乐or百事可乐、有糖or无糖显著影响因变量喜爱度。

    二、数据分析

    1.线性拟合度高,回归直线能够描述喜爱度98%的变化

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    分析:R为0.992756,接近1

    R^2为0.985564,也接近1

    2.所有自变量在整体上看对于因变量喜爱度的线性显著性高,回归方程有效。

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    分析:significance F=6.2566E-15,小于0.05,所以所有自变量在整体上看对于因变量喜爱度的线性显著性高,回归方程有效。

    3.喜爱度与价格负相关,当可乐为可口可乐时,喜爱度高,当有糖时,喜爱度高。三个自变量的回归系数具有显著性。

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    分析:

    ①回归系数分析

    以喜爱度为因变量,价格、可乐种类、是否含糖为自变量,回归系数分别为-9.6 、8.4、 3.8,则价格上升一块钱,(其余两个变量不变动),喜爱度降低9.6;当可乐为可口可乐时(其余两个变量不变动),喜爱度高;当有糖时(其余两个变量不变动),喜爱度高。且对价格因素最敏感。

    ②t检验分析

    P(价格)=1.31E-14,小于0.05,所以自变量价格对于因变量喜爱度的线性显著性高。

    P(可口or百事)=4.82E-14,小于0.05,所以该自变量对于因变量喜爱度的线性显著性高。

    P(有糖or无糖)=7.47E-09,小于0.05,所以该自变量对于因变量喜爱度的线性显著性高。

    得出最终线性回归方程

    Y=-9.6价格+8.4可口or百事+3.8有糖or无糖+46.6

    三、总结

    线性回归方程

    Y=-9.6价格+8.4可口or百事+3.8有糖or无糖+46.6

    该方程线性拟合度好,三个变量都显著影响喜爱度。且说明1号客户喜爱为低价格、可口可乐、有糖,且价格因素对喜爱度影响最大。

    注:

    可口可乐为1,百事可乐为0

    有糖为1,无糖为0

    T检验用于对某一自变量Xi对于Y的线性显著性,若某一Xi不显著,意味可以从模型中剔除这个变量,使得模型更简洁。

    F检验用于对所有的自变量X在整体上看对于Y的线性显著性

    T检验的结果看P-value,F检验看Significant F值

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  • 一、背景 多元回归分析又称多对多回归是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析方法。在132位顾客中...

    一、背景

    多元回归分析又称多对多回归是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析方法。在132位顾客中选择了第1位客户,以喜好程度作为因变量,以价格、可口可乐 or 百事可乐、有糖 or 无糖作为自变量,运用多元线性回归方法分析这位客户对不同轮廓的可乐喜爱度。通过分析得出,价格、可口可乐or百事可乐、有糖or无糖显著影响因变量喜爱度。

    二、数据分析

    1.线性拟合度高,回归直线能够描述喜爱度98%的变化

    56f8fc23fca969bd1832ac4b83439859.png

    分析:R为0.992756,接近1

    R^2为0.985564,也接近1

    2.所有自变量在整体上看对于因变量喜爱度的线性显著性高,回归方程有效。

    0ec61be36ed89944d3111fa3f6c0d0d5.png

    分析:significance F=6.2566E-15,小于0.05,所以所有自变量在整体上看对于因变量喜爱度的线性显著性高,回归方程有效。

    3.喜爱度与价格负相关,当可乐为可口可乐时,喜爱度高,当有糖时,喜爱度高。三个自变量的回归系数具有显著性。

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    分析:

    ①回归系数分析

    以喜爱度为因变量,价格、可乐种类、是否含糖为自变量,回归系数分别为-9.6 、8.4、 3.8,则价格上升一块钱,(其余两个变量不变动),喜爱度降低9.6;当可乐为可口可乐时(其余两个变量不变动),喜爱度高;当有糖时(其余两个变量不变动),喜爱度高。且对价格因素最敏感。

    ②t检验分析

    P(价格)=1.31E-14,小于0.05,所以自变量价格对于因变量喜爱度的线性显著性高。

    P(可口or百事)=4.82E-14,小于0.05,所以该自变量对于因变量喜爱度的线性显著性高。

    P(有糖or无糖)=7.47E-09,小于0.05,所以该自变量对于因变量喜爱度的线性显著性高。

    得出最终线性回归方程

    Y=-9.6价格+8.4可口or百事+3.8有糖or无糖+46.6

    三、总结

    线性回归方程

    Y=-9.6价格+8.4可口or百事+3.8有糖or无糖+46.6

    该方程线性拟合度好,三个变量都显著影响喜爱度。且说明1号客户喜爱为低价格、可口可乐、有糖,且价格因素对喜爱度影响最大。

    注:

    可口可乐为1,百事可乐为0

    有糖为1,无糖为0

    T检验用于对某一自变量Xi对于Y的线性显著性,若某一Xi不显著,意味可以从模型中剔除这个变量,使得模型更简洁。

    F检验用于对所有的自变量X在整体上看对于Y的线性显著性

    T检验的结果看P-value,F检验看Significant F值

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