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  • MATLAB曲线拟合函数

    千次阅读 2018-08-12 20:02:00
    一、多项式拟合 ployfit(x,y,n) :找到次数为 n 的多项式系数,对于数据集合 {(x_i,y_i)},满足差的平方和最小 [P,E] = ployfit(x,y,n) :返回同上的多项式 P 和矩阵 E 。多项式系数在向量 p 中,矩阵 E 用在 ...

    一、多项式拟合

    • ployfit(x,y,n) :找到次数为 n 的多项式系数,对于数据集合 {(x_i,y_i)},满足差的平方和最小
    • [P,E] = ployfit(x,y,n) :返回同上的多项式 P 和矩阵 E 。多项式系数在向量 p 中,矩阵 E 用在 ployval 函数中来计算误差
    • 某数据的横坐标为 x= [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8],纵坐标为 y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1],对该数据进行多项式拟合
    • 代码
          clear all
          clc
          x = [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8];
          y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1];
          p5 = polyfit(x,y,5);               % 5 阶多项式拟合 
          y5 = polyval(p5,x);
          p5 = vpa(poly2sym(p5),5)           %显示 5 阶多项式
          p9 = polyfit(x,y,9);               % 9 阶多项式
          y9 = polyval(p9,x);
          figure;                               %画图
          plot(x,y,'bo');
          hold on;
          plot(x,y5,'r:');
          plot(x,y9,'g--');
          legend('原始数据','5 阶多项式拟合','9 阶多项式拟合');
          xlabel('x');
          xlabel('y');
    • 运行程序后,得到的 5 阶多项式如下:
      p5 =10.041x^5 + 58.244x^4 - 124.54x^3 + 110.79x^2 - 31.838*x + 4.0393
    • 输出结果如下:
      1461291-20180812200138749-215501352.png

    • 可见,当采用 9 次拟合时,得到的结果与原数据符合的比较好。当使用函数 polyfit() 进行拟合时,多项式的阶次最大不超过 length(x) - 1

    二、加权最小方差(WLS)拟合原理及实例

    • 加权最小方差就是根据基础数据本身各自的准确度的不同,在拟合的时候给每个数据以不同的加权数值。这种方法比单纯最小方差方法要更加符合拟合的初衷
    • 根据 WLS 数据拟合方法,自行编写使用 WLS 方法拟合数据的 M 函数,然后使用 WLS 方法进行数据拟合
    • 在 M 文件编辑器中输入如下代码:
          function [th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi,r)
          % x,y:数据点系列
          % N:多项式拟合的系统
          % r:加权系数的逆矩阵
          
          M = length(x);
          x = x(:);
          y = y(:);
          
          % 判断调用函数的格式
          if nargin == 4
          % 当调用的格式为 (x,y,N,r)
            if length(xi) == M
                    r = xi;
                    xi = x;
          % 当调用的格式为(x,y,N,xi)
            else r = 1;
            end;
          % 当调用格式为(x,y,N)
          elseif nargin == 3
            xi = x;
            r = 1;
          end
          % 求解系数矩阵
          A(:,N+1) = ones(M,1);
          for n = N:-1:1
            A(:,n) = A(:,n+1).*x;
          end
          if length(r) == M
            for m =1:M
                A(m,:) = A(m,:)/r(m);
                y(m) = y(m)/r(m);
            end
          end
           % 计算拟合系数
          th = (A\y)';
          ye = polyval(th,x);
          err = norm(y-ye)/norm(y);
          yi = polyval(th,xi);
    • 将上面代码保存为 “polyfits.m” 文件
    • 使用上面的程序代码,对基础数据进行 LS 多项式拟合。在 MATLAB 的命令窗口输入下面的程序
         clear all
          clc
          x = [-3:1:3]';
          y = [1.1650 0.0751 -0.6965 0.0591 0.6268 0.3516 1.6961]';
          [x,i] = sort(x);
          y = y(i);
          xi = min(x) + [0:100]/100*(max(x) - min(x));
          for i = 1:4
            N = 2*i-1;
            [th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi);
            subplot(2,2,i)
            plot(x,y,'o')
            hold on
            plot(xi,yi,'-')
            grid on
          end
    • 得到的拟合结果
      1461291-20180812200202457-1639183280.png

    • LS 方法其实是 WLS 方法的一种特例,相当于将每个基础数据的准确度都设为 1。但是,自行编写的 M 文件和默认的命令结果不同

    三、非线性曲线拟合

    • 非线性曲线拟合是已知输入向量 xdata,输出向量 ydata,并知道输入与输出的函数关系为 ydata = F(x,xdata),但不清楚系数向量 x。进行曲线拟合急求 x 使得下式成立:
      \(\displaystyle{min_x} \frac{1}{2}|| F(x,xdata)-ydata||_2^2 = \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_i}(F(x,xdata_i) - ydata_i)^2\)
    • 在 MATLAB 中,可以使用函数 curvefit 解决此类问题,其调用格式如下:
      • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata):x0 为初始解向量,xdata,ydata 为满足关系 ydata = F(x,xdata)的数据
      • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub):lb、ub 为解向量的下届和上届 lb <= x <= ub,若没有指定界,则lb = [],ub = []
      • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options):options 为指定的优化参数
      • [x,resnorm] = lsqcurvefit(…):resnorm 是在 x 处残差的平方和
      • [x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…):residual 为在 x 处的残差
      • [x,resnorm,residual,exitflag] =lsqcurve(…):exitflag 为终止迭代的条件
      • [x,resnorm,residual,exitflag,output] =lsqcurve(…) :output 为输出的优化信息
    • 已知输入向量 xdata 和输出向量 ydata,且长度都是 n,使用最小二乘非线性拟合函数:ydata(i) = x(1)·xdata(i)^2+x(2)·\sin(xdata(i))+ x(3)·xdata(i)^3
    • 根据题意可知,目标函数为:\(min_x \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}(F(x,xdata_i)-ydata_i)^2\)
    • 其中:F(x,xdata) = x(1)·xdata^2+x(2)\sin(xdata)+x(3)·xdata^3
    • 初始解向量定位 x0 = [0.3,0.4,0.1]
    • 首先建立拟合函数文件 ex1024.m
          function F = ex1024(x,xdata)
          F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;
    • 再在命令行编写函数拟合代码;
          clear all
          clc
          xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];
          ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];
          x0 = [10,10,10];
          [x,resnorm] = lsqcurvefit(@ex1024,x0,xdata,ydata)
    • 结果为 \(x = \begin{matrix}0.2269 &0.3385 &0.3022\end{matrix} , resnorm = 6.2950\),即函数在 x = 0.2269、x = 0.3385、x = 0.3022 处残差的平方和均为 6.295
    • 当然了,还有一钟好用的东西叫 cftool,简直不要太简洁,入门操作请看:MATLAB如何快速进行曲线拟合

    转载于:https://www.cnblogs.com/NikkiNikita/p/9464245.html

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  • 4.6 曲线拟合在上一节,已经介绍了数据插值,它要求原始数据是精确的,或具有较小的误差。事实上,由于种种原因,实验或测量中所获得的数据总会有一定的误差。在这种情况下,如果强求构造的函数(曲线)通过各插值节点...

    4.6  曲线拟合

    在上一节,已经介绍了数据插值,它要求原始数据是精确的,或具有较小的误差。事实上,由于种种原因,实验或测量中所获得的数据总会有一定的误差。在这种情况下,如果强求构造的函数(曲线)通过各插值节点,显然是不合理的。为此,人们设想构造一个函数(曲线)y=g(x)去拟合f(x),但它不必通过各插值节点,而只是使该曲线从这些插值节点中穿过,且使它在某种意义下最优。

    MATLAB的曲线拟合是用常见的最小二乘原理,所构造的g(x)是一个次数小于拟合节点个数的多项式。

    4.6.1  最小二乘原理及其曲线拟合算法

    设测得离散的n+1个节点的数据如下:

    e57adbe2ebf5abd9b7d664b434932b94.png

    构造一个如下的m次拟合多项式函数g(x)为 (m≤n):

    b58c875fe3f67aa73c472ea277dc1a05.png

    所谓曲线拟合的最小二乘原理,就是使上述拟合多项式在各数据点处的偏差4243d6653ba8121f148d670e8533ef91.png的平方之和达最小。

    上式中的1258e8f2c6cb59b0817c82645514e1cf.png均为已知值,而式中的系数为e885f8c90614a126366756ce43d45383.png个未知数,故可以将其看做是1c417b414a69ec6c86b54511e6aace2f.png的函数,即f8de4ad292e3e1f5914aa3aa907fc26d.png。于是我们可以把上述曲线拟合归结成对多元函数的求极值问题。为使62b6f0f4b3d66e1f910a6ff010ffaab3.png取极小值,必须满足以下方程组:

    e89c83caf5d58b69086d2e90b05b6ed3.png

    经过简单的推导,可以得到一个m+1阶线性代数方程组Sa=t,其中Sm+1阶系数矩阵,t为右端项,而a为未知数向量,即欲求的m次拟合多项式的m+1个系数。这个方程组也称为正则方程组。至于正则方程组的具体推导,可参阅有关数值计算方法的教材。

    4.6.2  曲线拟合的实现

    在MATLAB中,可以用polyfit函数来求最小二乘拟合多项式的系数,另外可以用polyval函数按所得的多项式计算指定值。

    polyfit函数的调用语法是:

    [p,s]=polyfit(x,y,m)

    输入参数x,y为测量而得的原始数据,为向量;m为欲拟合的多项式的次数。polyfit (x,y,m)将根据原始数据x、y得到一个m次拟合多项式P(x)的系数,该多项式能在最小二乘意义下最优地近似函数f(x),即有p(xi)≈f(xi)≈yi。

    返回的结果中p为m次拟合多项式的系数,而s中的数据则是一个结构数组,代入polyval函数后可以得到拟合多项式相关的误差估计。s最常用的写法可以是:p=polyfit(x,y,M)。

    polyval的函数功能是按多项式的系数计算指定点所对应的函数值。

    【例4-43】  曲线拟合示例。

    本例首先在c8592e1904f8ca3a2aef05dd730051d7.png多项式的基础上加入随机噪声,产生测试数据,然后对测试数据进行数据曲线拟合:

    >> clear

    >> rand('state',0)                 

    >> x=1:1:10;

    >> y=-0.9*x.^2+10*x+20+rand(1,10).*5; %  产生测试数据

    >> plot(x,y,'o')                  %  绘图并标出原始数据点

    >> p=polyfit(x,y,2)

    >> xi=1:0.5:10;

    >> yi=polyval(p,xi);                     % 计算拟合的结果

    >> hold on

    >> plot(xi,yi);                   %  绘制拟合结果图

    >> hold off

    运行以上命令,得到的结果如图4-10所示。另外得到的多项式系数为:

    p =

       -0.8923    9.8067   23.6003

    也就是说通过曲线拟合,得到了多项式72271243ba4f145727020b62eaed3cef.png。通过比较系数和观察图形,可以看出本次曲线拟合结果的精度是比较高的。

    31548c0406f2880c0aaedfd82809cfa1.png

    图4-10  曲线拟合

    4.7  Fourier分析

    傅立叶(Fourier)分析在信号处理领域有着广泛的应用,现实生活中大部分的信号都包含有多个不同的频率组件,这些信号组件频率会随着时间或快或慢的变化。傅立叶级数和傅立叶变换是用来分析周期或者非周期信号的频率特性的数学工具。从时间的角度来看,傅立叶分析包括连续时间和离散时间的傅立叶变换,总共有4种不同的傅立叶分析类型:连续时间的傅立叶级数、连续时间的傅立叶变换、离散时间的傅立叶级数、离散时间的傅立叶变换等。

    频谱分析是在数据中识别频率组成的处理过程。对于离散数据,频谱分析的计算基础是离散傅立叶变换(DFT)。DFT将time-based或者space-based数据转换为frequency-based数据。

    一个长度为n的向量x的DFT,也是一个长度为n的向量:

    701d450c19d7db2640f8244c04f7f740.png

    其中2dd235171f8eb382f28572b717fb35db.png是n阶复数根:

    b846934875d85feefa70b093842d9071.png

    在此表达式中,i表示虚数单位 。

    DFT有一种快速算法FFT,称为快速傅立叶变换。FFT并不是与DFT不同的另一种变换,而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次分解,使其成为若干个小数点的组合,从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的,其长度用N表示,N为2的整数倍。

    MATLAB中采用的就是FFT算法。MATLAB提供了函数fft和ifft等来进行傅立叶分析。

    1.函数fft和ifft

    函数fft和ifft对数据作一维快速傅立叶变换和傅立叶反变换,函数fft的调用语法有如下几种。

    (1)Y=fft(X):如果X是向量,则采用快速傅立叶变换算法作X的离散傅立叶变换;如果X是矩阵,则计算矩阵每一列的傅立叶变换。

    (2)Y=fft(X,n):用参数n限制X的长度,如果X的长度小于n,则用0补足;如果X的长度大于n,则去掉长出的部分。

    (3)Y=fft(X,[ ],n)或Y=fft(X,n,dim):在参数dim指定的维上进行操作。

    函数ifft的用法和fft完全相同。

    2.fft2和ifft2

    函数fft2和ifft2对数据作二维快速傅立叶变换和傅立叶反变换。数据的二维傅立叶变换fft2(X)相当于fft(fft(X)’)’,即先对X的列做一维傅立叶变换,然后对变换结果的行做一维傅立叶变换。函数fft2的调用语法有如下几种。

    (1)Y=fft2(X):二维快速傅立叶变换。

    (2)Y=fft2(X,MROWS,NCOLS):通过截断或用0补足,使X成为MROWS*NCOLS的矩阵。

    函数ifft2的用法和fft2完全相同。

    3.fftshift和ifftshift

    函数fftshift(Y)用于把傅立叶变换结果Y(频域数据)中的直流分量(频率为0处的值)移到中间位置:

    (1)如果Y是向量,则交换Y的左右半边;

    (2)如果Y是矩阵,则交换其一三象限和二四象限;

    (3)如果Y是多维数组,则在数组的每一维交换其“半空间”。

    函数ifftshift相当于把fftshift函数的操作逆转,用法相同。

    【例4-44】  生成一个正弦衰减曲线,进行快速傅立叶变换,并画出幅值(amplitude)图、相位(phase)图、实部(real)图和虚部(image)图。

    >> tp=0:2048;                             %  时域数据点数N

    >> yt=sin(0.08*pi*tp).*exp(-tp/80);      %  生成正弦衰减函数

    >> plot(tp,yt), axis([0,400,-1,1]),      %  绘正弦衰减曲线

    >> t=0:800/2048:800;                       %  频域点数Nf

    >> f=0:1.25:1000;

    >> yf=fft(yt);                             %  快速傅立叶变换

    >> ya=abs(yf(1:801));                      %  幅值

    >> yp=angle(yf(1:801))*180/pi;            %  相位

    >> yr=real(yf(1:801));                    %  实部

    >> yi=imag(yf(1:801));                     %  虚部

    >> figure

    >> subplot(2,2,1)

    >> plot(f,ya),axis([0,200,0,60])        %  绘制幅值曲线

    >> title('幅值曲线')

    >> subplot(2,2,2)

    >> plot(f,yp),axis([0,200,-200,10])     %  绘制相位曲线

    >> title('相位曲线')

    >> subplot(2,2,3)

    >> plot(f,yr),axis([0,200,-40,40])      %  绘制实部曲线

    >> title('实部曲线')

    >> subplot(2,2,4)

    >> plot(f,yi),axis([0,200,-60,10])      %  绘制虚部曲线

    >> title('虚部曲线')

    本例首先生成正弦衰减函数yt,绘制的正弦衰减曲线如图4-11所示。然后对yt进行了快速傅立叶变换,结果如图4-12所示。

    6b30c9bdc20e800917439c07d2caceb8.png

    图4-11  正弦衰减曲线图 

    9ff5a158cc0d9b98a0e17a8b9da75b4e.png

    图4-12  傅立叶变换结果

    9cdd4032601b0cafd625427aad141ce8.png

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  • matlab曲线拟合

    万次阅读 多人点赞 2015-11-25 22:57:49
    曲线拟合不要求逼近函数通过各采样点,但要求尽量的接近这些点,使误差在某种意义上达到最小。 曲线拟合的实现: 在matlab中,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数,再用polyval函数按所得的多项式计算所...
    曲线拟合不要求逼近函数通过各采样点,但要求尽量的接近这些点,使误差在某种意义上达到最小。 
    (一)利用函数的方式实现曲线拟合:
    在matlab中,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数,再用polyval函数按所得的多项式计算所给点上的函数近似值。
    例子:用一个三次多项式在区间[0:2*pi]内逼近函数sin(x)
    在给定区间内均匀选取20个采样点并计算采样点的函数值,然后利用3次多项式逼近。
    代码如下:

    x=linspace(0,2*pi,20);
    y=sin(x);
    p=polyfit(x,y,3)
    y1=polyval(p,x)
    plot(x,y,':o',x,y1,'-*')
    legend('sin(x)','fit')

    图形:



    链接是百度知道上一个关于拟合不错的回答


    (二)利用曲线拟合工具箱实现
    Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ,使用方便,能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合,下面简单介绍如何使用这个工具箱。
    假设我们要拟合的函数形式是  y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
    1、在命令行输入数据:
    x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475];
    y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50];
    2、启动曲线拟合工具箱
    命令窗口输入:cftool
    3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”如图
    
    (1)点击“Data”按钮,弹出“Data”窗口;
    (2)利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y,可修改数据集名“Data set name”,然后点击“Create data set”按钮,退出“Data”窗口,返回工具箱界面,这时会自动画出数据集的曲线图;
    (3)点击“Fitting”按钮,弹出“Fitting”窗口;
    (4)点击“New fit”按钮,可修改拟合项目名称“Fit name”,通过“Data set”下拉菜单选择数据集,然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型,工具箱提供的拟合类型有:
    
    Custom Equations:用户自定义的函数类型
    Exponential:指数逼近,有2种类型, a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) 
    Fourier:傅立叶逼近,有7种类型,基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
    Gaussian:高斯逼近,有8种类型,基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
    Interpolant:插值逼近,有4种类型,linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
    Polynomial:多形式逼近,有9种类型,linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
    Power:幂逼近,有2种类型,a*x^b 、a*x^b + c
    Rational:有理数逼近,分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~;此外,分子还包括constant型
    Smoothing Spline:平滑逼近
    Sum of Sin Functions:正弦曲线逼近,有8种类型,基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
    Weibull:只有一种,a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
    选择好所需的拟合曲线类型及其子类型,并进行相关设置:
    ——如果是非自定义的类型,根据实际需要点击“Fit options”按钮,设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数;
    ——如果选Custom Equations,点击“New”按钮,弹出自定义函数等式窗口,有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
    在本例中选Custom Equations,点击“New”按钮,选择“General Equations”标签,输入函数类型y=a*x*x + b*x,设置参数a、b的上下限,然后点击OK。
    (5)类型设置完成后,点击“Apply”按钮,就可以在Results框中得到拟合结果,
    同时,也会在工具箱窗口中显示拟合曲线如下图:
    
    这样,就完成一次曲线拟合啦,十分方便快捷。当然,如果你觉得拟合效果不好,还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮,按照步骤(4)~(5)进行一次新的拟合。
    不过,需要注意的是,cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合,即待拟合的公式中,变量只能有一个。对于混合型的曲线,例如 y = a*x + b/x ,工具箱的拟合效果并不好。
    另外要说的是,如果想把这个拟合的图像导出的话,在Curve Fitting Tool窗口的File菜单下选Print toFigure,此时弹出一个新的图像窗口,里面是你要导出的图像,在这个figure窗口的File菜单里再选Export,选择好合适的格式,一般是jpeg,选择好路径,点击OK就可以了。出来的图像可以在Word等编辑环境中使用,就不多说了。
    
     
    
    此链接关于曲线拟合工具箱的用法总结的很好
    


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    Matlab的拟合工具箱的误差参数说明

    • Matlab的拟合、优化和统计等工具箱,会常遇到下面几个名词:
      在这里插入图片描述
    • SSE(和方差、误差平方和):The sum of squares due to error
      该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和
      SSE越接近于0,说明模型选择和拟合更好,数据预测也越成功。
    • R-square(确定系数):Coefficient of determination
      “确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。“确定系数”的正常取值范围为[0 1],越接近1,表明方程的变量对y的解释能力越强,这个模型对数据拟合的也较好
    • MSE(均方差、方差):Mean squared error
      该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,为: SSE/n,和SSE没有太大的区别
    • RMSE(均方根、标准差):Root mean squared error
      该统计参数,也叫回归系统的拟合标准差,是MSE的平方根
    • Adjusted R-square:Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination
    • SSR:Sum of squares of the regression,即预测数据与原始数据均值之差的平方和
    • SST:Total sum of squares,即原始数据和均值之差的平方和
      , 即: SST=SSE+SSR
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