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  • 2021-04-20 14:19:50

    五、贝切尔曲线拼接

    %BezierTest.m文件,这是主文件

    clear all;

    clc;

    leftbase=10;

    bottombase=10;

    figure();

    uicontrol('Style','pushbutton','string','绘制Bezier曲线并连接','position',[200+leftbase 200+bottombase 150 60],...

    'callback','bezier_callback');

    %mainfunction.m文件,这是这界面函数

    function mainfunction()

    %主函数

    %获取两条被切尔曲线的控制点

    prompt={'P0 x坐标','P0 y坐标','P1 x坐标','P1 y坐标','P2 x坐标','P2 y坐标','P3 x坐标','P3 y坐标'};%设置提示字符串

    title='第一条Bezier曲线控制点坐标';%设置标题

    numline=1;%指定输入数据行数

    defdata={'0','0','0','3','1','5','2','3'};%指定数据的默认值

    Resize='on';%设置对话框大小为可调节的

    answer=inputdlg(prompt,title,numline,defdata,Resize);

    %将输入的cell类型数据转换为整数

    data=str2num(char(answer));

    %检测用户是否点击了取消按钮

    if length(data)<8

    return ;

    end

    BP1=[];

    for i=1:4

    BP1=[BP1;[data(2*i-1),data(2*i)]];

    end

    prompt={'Q1 x坐标','Q1 y坐标','Q2 x坐标','Q2 y坐标','Q3 x坐标','Q3 y坐标','比例因子a'};%设置提示字符串

    title='第二条Bezier曲线控制点坐标';%设置标题

    defdata={'3','2','4','4','3','5','1'};%指定数据的默认值

    answer=inputdlg(prompt,title,numline,defdata,Resize);

    data=str2num(char(answer));

    %检测用户是否点击了取消按钮

    if length(data)<6

    return ;

    end

    a=abs(data(7));%比例因子;

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  • 贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线,在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具,如PhotoShop等。 贝塞尔曲线的一些特性: 使用n个控制点来控制曲线的形状 曲线经过起点和终点,但不经过中间点~ ...

    1. 定义
    贝塞尔曲线(Bezier curve),又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线,在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具,如PhotoShop等。

    贝塞尔曲线的一些特性:

    •  使用n个控制点{\{P_1,P_2,...,P_n\}}来控制曲线的形状
    • 曲线经过起点{P_1}和终点P_n,但不经过中间点P_2~P_{n-1}

     2.直观理解

    step1:在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接

     在这里插入图片描述

    step2:在线段AB和BC上找到D、E两个点,使得\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}

    Step3: 连接DE,并在DE上找到F点,使其满足\frac{DF}{FE}=\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}(抛物线的三切线定理)

    Step4.找出符合上述条件的所有点

    在这里插入图片描述

    上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的,也有n解贝塞尔曲线

    曲线图示
    一阶
    三阶
    四阶
    五阶

     3.公式推导

    3.1一次贝塞尔曲线(线性公式)

    定义:给定点P_0,{P_1},线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线,这条线由下式给出,且其等同于线性插值:

            B(t)=P_0+(P_1-P_0)t=(1-t)P_0+tP_1,t\in [0,1]

     其中,公式中的 P_0,{P_1}同步表示为横或纵坐标。

     假设P_0坐标为(a,b),{P_1}的坐标为(c,d),P_2的坐标为(x,y),则有

    \frac{x-a}{c-x}=\frac{t}{1-t}\Rightarrow x=(1-t)a+tc                                                         (3-1)

    同理,有:

           \frac{y-b}{d-y}=\frac{t}{1-t}\Rightarrow y=(1-t)b+td                                                     (3-2)

     于是可将(3-1)(3-2)可简写为

     B(t)=(1-t)P_0+tP_1,t\in [0,1] 

    3.2 二次贝塞尔曲线(二次方公式)

    定义:二次贝塞尔曲线的路径由给定点P_0{P_1}P_2的函数B(t)给出:

     B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,t\in [0,1]

     假设P_0{P_1}上的点为A,{P_1}P_2上的点为B,AB上的点为C(也即C为曲线上的点)。则根据一次贝塞尔曲线公式有:

    A=(1-t)P_0+tP_1

    B=(1-t)P_1+tP_2

     C=(1-t)A+tB

    将上式中的A、B带入C中,即可得到二次贝塞尔曲线的公式:

    B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2 , t\in [0,1]

     3.3 二次贝塞尔曲线(三次方公式)

    同理可得三次贝塞尔曲线公式:

            B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 , t\in [0,1]

    3.4 n次贝塞尔曲线(一般参数公式)

    定义:给定点P_0,P_1,...,P_n,则n次贝塞尔曲线由下式给出:

    B(t)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}P_i(1-t)^{n-i}t^i=\binom{n}{0}P_0(1-t)^{n}t^0+\binom{n}{1}P_1(1-t)^{n-1}t^1+...+\binom{n}{n-1}P_{n-1}(1-t)^{n-1}t^{n-1}+\binom{n}{n}P_{n}(1-t)^{n}t^{n},t\in[0,1]

     n次贝塞尔曲线可由如下递归表达:

            P_0^{n}=(1-t)P_0^{n-1}+tP_1^{n-1},t\in [0,1]

    ————————————————
    版权声明:以上内容来自CSDN博主「hailler1119」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/hailler1119/article/details/89195558

     4、代码实现

    首先来看不同阶数的贝塞尔曲线公式,来找共同点

    N = 3: P = (1-t)^2P0 + 2(1-t)tP1 + t^2*P2
    N = 4: P = (1-t)^3P0 + 3(1-t)^2tP1 + 3(1-t)t^2P2 + t^3*P3
    N = 5: P = (1-t)^4P0 + 4(1-t)^3tP1 + 6(1-t)2*t2P2 + 4(1-t)t^3P3 + t^4*P4

    可将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示:
    设有常数 a,b 和 c,则该表达式可统一表示为如下形式:
    a * (1 - t)^b * t^c * Pn;

    根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则:

    b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
    c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
    a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示: 
    N=1:---------1
    N=2:--------1 1
    N=3:------1 2 1
    N=4:-----1 3 3 1
    N=5:---1 4 6 4 1
    a 值的改变规则为: 杨辉三角
    -------------------------------------------------------------------

    理论基础有了,开始写代码

    a 值用杨辉三角计算,b ,c 值在for 循环里计算,Pn从传入的点坐标读取。

    step1:首先使用杨辉三角的方式生成a值

    N=length(control_points);
    ta=zeros(N,N);%%对数组进行初始化
    %%杨辉三角左右两边的值赋1
    
    % 杨辉三角的数的规律
    % 1
    % 1 1
    % 1 2 1
    % 1 3 3 1
    % 1 4 6 4 1
    for i=1:N
        ta(i,1)=1;
        ta(i,i)=1;
    end
    %%从第二个数开始,也就是从第三行开始,等于前列的左边加上正上方的一个
    for row=2:N
        for col=2:row
            ta(row,col)=ta(row-1,col-1)+ta(row-1,col);
        end
    end

    step2:生成贝塞尔曲线上的点

    for i=1:M
        t=i/M;%%确定每一个点的比例
        for k=0:N-1
            c=k;%分别确定a,b,c三个系数
            b=N-c-1;%分别确定a,b,c三个系数
            a=ta(N,k+1);%分别确定a,b,c三个系数
                 
            p(i,1)=p(i,1)+a*(1-t)^b*t^c*control_points(k+1,1);%确定点的x坐标
           
            p(i,2)=p(i,2)+a*(1-t)^b*t^c*control_points(k+1,2);%确定点的y坐标
       end
      
    end

    下图是一个生成的四阶贝塞尔曲线(有5个控制点)

     以上,从0到1的完成了贝塞尔曲线的实现。

    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「CA727」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/cfan927/article/details/104649623/

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    贝塞尔曲线

    参考GAMES101计算机图形学视频

    讲得超级棒!

    定义

    Bezier曲线 —— 用给定的控制点定义曲线,控制点控制曲线的弯曲,不一定要全部经过所有控制点

    1.如何画Bezier曲线(递归过程)

    参数 t ∈ [ 0 , 1 ] t∈[0,1] t[0,1]
    对于每一个 t t t

    1. 针对每一个控制点所连的线段 b i b i + 1 b_ib_{i+1} bibi+1 取点 b i ′ b'_i bi,使得:
      • ∣ b i b i ′ ∣ = t |b_ib'_i|=t bibi=t
      • ∣ b i ′ b i + 1 ∣ = 1 − t |b'_ib_{i+1}|=1-t bibi+1=1t
    2. 连接 b i ′ b'_i bi b i + 1 ′ b'_{i+1} bi+1 ,新构成的所有线段,重复上述取点 b i ′ ′ b''_i bi 操作
    3. 重复1,2操作,直到线段数为1,则该线段上取的点就是该 t t t 对应的曲线上的点

    遍历所有 t ∈ [ 0 , 1 ] t∈[0,1] t[0,1] ,则可以画出该组控制点对应的Bezier曲线

    2.Bezier曲线的代数形式

    b n ( t ) = Σ j = 0 n b j ∗ B j n ( t ) b^n(t)=Σ^{n}_{j=0}b_j*B^{n}_j(t) bn(t)=Σj=0nbjBjn(t)

    其中 B j n ( t ) = C n i ∗ t i ∗ ( 1 − t ) n − i B^{n}_j(t)=C^{i}_n*t^i*(1-t)^{n-i} Bjn(t)=Cniti(1t)ni
    多项式对称 C n i = C n n − i C^{i}_n=C^{n-i}_n Cni=Cnni

    该公式可看做:

    1. 控制点 b j b_j bj 对多项式 B j n ( t ) B^{n}_j(t) Bjn(t) 的加权和;
    2. 多项式 B j n ( t ) B^{n}_j(t) Bjn(t) 对控制点 b j b_j bj 的加权和;

    Bezier曲线的性质

    Bezier曲线一定在其控制点的凸包中:
    当控制点共线时 → 形成的Bezier曲线就是这条直线

    分段Bezier曲线及连续性

    当控制点较多时,不好控制,曲线较平滑,单个控制点的改变对曲线形状影响较小
    常用三次Bezier曲线(4个控制点)

    矩阵形式表示

    MATLAB实现(二维点)

    function bezier(p0,p1,p2,p3)
    %p0-p3是控制点
    x_t = [];%存放曲线上x的坐标
    y_t = [];%存放曲线上y的坐标
    A = [-1 3 -3 1;3 -6 3 0;-3 3 0 0;1 0 0 0];
    %三次的矩阵表示
    for t = 0:0.001:1
        %遍历每个t
        x_it = [t^3 t^2 t 1] * A * [p0(1);p1(1);p2(1);p3(1)];
        y_it = [t^3 t^2 t 1] * A * [p0(2);p1(2);p2(2);p3(2)];
        x_t = [x_t,x_it]; %将本次计算的结果加入到结果矩阵中
        y_t = [y_t,y_it];
    end
     
    plot(x_t,y_t);
    

    【例子】
    example 1:

    p0 = [4 2];
    p1 = [7 10];
    p2 = [16 19];
    p3 = [41 21];
    bezier(p0,p1,p2,p3);
    

    example 2:

    p0=[-10,40];
    p1=[3,45];
    p2=[56,6];
    p3=[8,9];
    bezier(p0,p1,p2,p3);
    
    展开全文
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