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    万次阅读 多人点赞 2018-12-29 15:51:29
    一、快速傅里叶介绍 傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的余弦(或正弦)波信号的无限叠加。FFT是离散傅立叶变换快速算法,可以将一个信号变换到频域。那其在实际应用中,有哪些...

    转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_a1d5b9ba0102vxj2.html

    一、快速傅里叶介绍

    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的余弦(或正弦)波信号的无限叠加。FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。那其在实际应用中,有哪些用途呢?

     

    1.有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征(频率,幅值,初相位);

    2.FFT可以将一个信号的频谱提取出来,进行频谱分析,为后续滤波准备;

    3.通过对一个系统的输入信号和输出信号进行快速傅里叶变换后,两者进行对比,对系统可以有一个初步认识。

     

    假设采样频率Fs,信号频率F,信号长度L,采样点数N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。

     

    具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?

    1. 假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍,而第一个点就是直流分量(即0Hz),它的模值是直流分量的N倍;

    2. 每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量,它的相位是该频率的初相位,matlab以cos为底的,若信号时正弦形式sin(t),则变成cos(t-pi/2)即可。

    采样频率Fs,被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。为了方便进行FFT运算,通常N取大于信号长度L的2的整数次方。

    例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N。如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。

    1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz。如果采样2秒时间的信号,则N为2048,并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。

    如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

    假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,该复数的模就是An=sqrt(a*a+b*b),相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn);对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。

    由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。

     

    二、例子

    假设我们有一个信号,它含有5V的直流分量,频率为50Hz、相位为-30度、幅度为7V的交流信号以及一个频率为90Hz、相位为90度、幅度为3V的交流信号。数学表达式为:

    x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t - 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t - 90*pi/180)。

    我们以128Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是0.5Hz。我们的信号有3个频率:0Hz、15Hz、40Hz

    出于编程方便,因为直流分量的幅值A1/N,其他点幅值为An/(N/2),故直流分量最后要除以2才是对的。

    一般FFT所用数据点数N与原含有信号数据点数L相同,这样的频谱图具有较高的质量,可减小因补零或截断而产生的影响。

     三、Matlab代码

    clear
    
    Fs = 128;       % 采样频率
    
    T = 1/Fs;       % 采样时间
    
    L = 256;        % 信号长度
    
    t = (0:L-1)*T; % 时间
    
    x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t - 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t - 90*pi/180);   %cos为底原始信号
    
    y = x + randn(size(t));     %添加噪声
    
    figure;
    
    plot(t,y)
    
    title('加噪声的信号')
    
    xlabel('时间(s)')
    
    >> N = 2^nextpow2(L); %采样点数,采样点数越大,分辨的频率越精确,N>=L,超出的部分信号补为0
    
    Y = fft(y,N)/N*2;   %除以N乘以2才是真实幅值,N越大,幅值精度越高
    
    f = Fs/N*(0:1:N-1); %频率
    
    A = abs(Y);     %幅值
    
    P = angle(Y);   %相值
    
    figure;
    
    subplot(211);plot(f(1:N/2),A(1:N/2));   %函数fft返回值的数据结构具有对称性,因此我们只取前一半
    
    title('幅值频谱')
    
    xlabel('频率(Hz)')
    
    ylabel('幅值')
    
    subplot(212);plot(f(1:N/2),P(1:N/2));
    
    title('相位谱频')
    
    xlabel('频率(Hz)')
    
    ylabel('相位')



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                            目录

    1. 用DTFT的矩阵表示法计算序列的DFT;
    2. 用FFT算法计算序列的线性卷积;
    3. 用FFT算法计算有限(无限)长序列的频谱;
    4. 用FFT计算连续时间周期(非周期)信号的频谱。

    一、用DTFT的矩阵表示法计算序列的DFT

            已知x(n)=[2,1,-1,2,3],用矩阵表示法求x(ejω)=DTFT[x(n)]及x(n)的5点DFT,并将DFT的(0,2pi)范围移到与DTFT的[-π,π]重叠。

    1.实验代码

    %FFT快速计算方法
    
    close all;clear all;clc;
    x=[2,1,-1,2,3];
    nx=0:4;
    K=128;
    dw=2*pi/K;
    k=floor((-K/2+0.5):(K/2-0.5));
    X=x*exp(-j*dw*nx'*k);
    
    figure('position',[800,300,700,200]);
    m=1;n=3;
    subplot(m,n,1);plot(k*dw,abs(X));
    title('5点序列的DTFT和FFT');xlabel('\omega');ylabel('幅度响应');
    Xd=fft([2,1,-1,2,3]);
    hold on;
    plot([0:4]*2*pi/5,abs(Xd),'.');grid on;
    
    Xd1=fftshift(Xd);
    subplot(m,n,2);plot(k*dw,abs(X));grid on;
    xlabel('\omega');ylabel('幅度响应');title('FFT移位后');
    
    hold on;
    plot([-2:2]*2*pi/5,abs(Xd1),'.');
    subplot(m,n,3);
    plot(k*dw,angle(X));grid on;
    title('FFT移位后');xlabel('\omega');ylabel('相位响应');
    

    2.实验结果

     

    二、用FFT法计算序列的线性卷积

            计算序列x(n)=[2,1,3,2,1,5]与h(n)=[1,2,-1,-3]的线性卷积。

    1.实验代码

    %用FFT计算有限长序列的线性卷积和线性相关
    
    close all;clear all;clc;
    x=[2,1,3,2,1,5,1];
    h=[1,2,-1,-3];
    N=length(x)+length(h)-1;    %卷积输出对应长度。
    n=0:N-1;
    x=[x,zeros(1,N-length(x))]; %对x补零。
    h=[h,zeros(1,N-length(h))]; %对h补零。
    X=fft(x);H=fft(h);          %求x,h的FFT。
    Y=X.*H;y=ifft(Y);           %求两序列的FFT相乘并求IFFT。
    
    figure('position',[800,300,700,200]);
    m1=1;m2=3;
    subplot(m1,m2,1);stem(n,x,'.');grid on;
    xlabel('n');ylabel('x(n)');title('序列x(n)');
    subplot(m1,m2,2);stem(n,h,'.');grid on;
    xlabel('n');ylabel('h(n)');title('序列h(n)');
    subplot(m1,m2,3);stem(n,y,'.');grid on;
    xlabel('n');ylabel('y(n)');title('序列y(n)');
    

    2.实验结果

     三、FFT计算有限长序列的频谱

     1.实验代码

    %计算序列的频谱(DTFT)
    
    close all;clear all;clc;
    c=[9,16,32,512];
    T=0.4;
    for i=1:4
        L=c(i);
        D=2*pi/(L*T);
        x=[ones(1,5),zeros(1,L-9),ones(1,4)];
        k=floor(-(L-1)/2:(L-1)/2);
        X=fftshift(fft(x,L));
        m1=2;m2=2;
        subplot(m1,m2,i);plot(k*D,real(X));grid on;
        xlabel('\omega(rad)');ylabel('X(e^j^\omega)');
        Str=['N= ',num2str(L)];
        title({Str});
    end

    2.实验结果

     四、FFT算法实现无限长序列的频谱

            x(n)=0.5nu(n),求无限长序列的频谱。若需时域加倍长截断前后,同一频率处频谱的最大相对误差不大于0.5%,试求截断长度为多少,画出其频谱。设抽样间隔为T=0.4。

    1.实验代码

    %计算无限长序列的频谱
    
    close all;clear all;clc;
    T=0.4;
    r=1;
    beta=5e-3;b=0.01;
    
    while b>beta
        N1=2^r;n1=0:N1-1;x1=0.5.^n1;X1=fft(x1);
        N2=2*N1;n2=0:N2-1;x2=0.5.^n2;X2=fft(x2);
        k1=0:N1/2-1;k2=2*k1;                    %确定两序列同一角频率的下标。
        d=max(abs(X1(k1+1)-X2(k2+1)));          %对应的同一频率点上的FFT的误差的最大绝对值。
        X1m=max(abs(X1(k1+1)));                 %X1幅度的最大值。
        b=d/X1m;                                %最大相对误差的百分数。
        r=r+1;                                  %序列长度加倍。
    end
    
    k=floor(-(N2-1)/2:(N2-1)/2);                %那奎斯频率范围。
    D=2*pi/(N2*T);                              %角频率间隔。
    m1=1;m2=2;
    subplot(m1,m2,1);plot(k*D,abs(fftshift(X2)));grid on;
    title('相位普');xlabel('模拟角频率(rad/s)');ylabel('相角');
    subplot(m1,m2,2);plot(k*D,angle(fftshift(X2)));grid on;
    title('相位普');xlabel('模拟角频率(rad/s)');ylabel('相角');
    

    2.实验结果

    五、用FFT算法计算连续时间非周期信号的频谱

     

    1.实验代码

    %计算连续非周期信号的频谱。
    
    close all;clear all;clc;
    T0=[0.05,0.02,0.01,0.01];               %4种抽样间隔。
    L0=[10,10,10,20];                       %4种信号记录长度,N=L0(i)/T0(i)。
    for i=1:4
       T=T0(i);N=L0(i)/T0(i);               %按顺序选用T和L。
       D=2*pi/(N*T);                        %频率分辨率。
       n=0:N-1;
       x=exp(-0.02*n*T).*cos(6*pi*n*T)+2*cos(14*pi*n*T);%序列。
       k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);           %奈斯特下标向量。
       X=T*fftshift(fft(x));                %求x的FFT并移到对称位置。
       [i,X(i)];                            %检查四次循环在奈斯特频率出的幅度。
       m1=2;m2=2;
       subplot(m1,m2,i);plot(k*D,abs(X));grid on;
       xlabel('模拟角频率(rad/s)');ylabel('幅度');
       str=['T=',num2str(T),'N=',num2str(N)];
       title(str);                          %标题显示抽样间隔及FFT点数N。
    end
    

    2.实验结果

     

    六、用FFT计算连续时间周期信号的频谱

    实验六:设周期信号的频谱时两个冲激,即Xa(t)=cos(10t),试用DFT法分析其频谱。

    1.实验代码

    %用DFT法分析周期信号的频谱
    
    clear all;clc;
    N=input('N= ');T=0.05;n=1:N;    %原始数据。
    D=2*pi/(N*T);                   %计算分辨率。
    xa=cos(10*n*T);                 %求x(n)的DFT,移到对称位置。
    Xa=T*fftshift(fft(xa,N));Xa(1); %求x(n)的DFT,移到对称位置。
    k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);      %对于w=0对称的奈斯特频率下标向量。
    TITLE=sprintf('N=%i,L=%i',N,N+T);%变数值为格式控制下的字符串。
    figure;
    plot(k*D,abs(Xa));grid on;
    xlim([-20,20]);
    xlabel('\omega');ylabel('|X(j\omega)|');
    title(TITLE);                   %N=100,200,800,1200分别执行。
    

    2.实验结果

     

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  • MATLAB 快速傅里叶变换分析

    千次阅读 2021-06-18 19:19:35
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    随机波浪序列的生成:随机波浪模拟传送门
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    %% FFT analysis
    % code by JN_Cui
    function [S,F,Mag] = fft_analysis(x,frequency)
    Y   = fft(x);
    N   = length(Y);
    P   = abs(Y/N);
    P1  = P(1:N/2+1);
    P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
    F   = (0:N/2)*frequency/N;
    S   = P1;
    Mag = abs(N*S.^2/(2*frequency));
    Mag = smooth(Mag,60);
    end
    

    主程序

    clear;clc;
    [W_s,t,x,Omega,S1]=random_wave_v1_0(0.3,4,0.1,0.01,1000,1,0);
    [S,F,Mag] = fft_analysis(W_s(:,1),100);
    semilogx(F,Mag/2/pi);hold on
    semilogx(Omega/2/pi,S1);
    legend('分析谱','靶谱');
    xlabel('频率 (rad/s)');
    ylabel('谱密度 (m^2*s)');
    

    分析结果如图
    在这里插入图片描述

    有小伙伴想看振幅的频率组成,只需要将绘图纵坐标改为S就行,如
    在这里插入图片描述

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