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  • 要分析一个控制系统的动、静态特性首先要判断系统是否稳定。以一个具体例子对劳斯判据、奈奎斯特判据和根轨迹法三种稳定性判据应用做了一个比较,给出了根据传递不同形式应优先选择哪种稳定性判据的方法
  • 线性系统稳定性分析MATLAB方法 ;线性系统稳定充分必要条件 线性系统稳定性仅取决于系统自身固有特性而与外界条件无关 ;代数法;根轨迹法判断系统稳定性;奈奎斯特图法判断系统稳定性;波特图法判断系统稳定性;1...
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  • 控制系统|反馈系统的稳定性分析

    千次阅读 2020-05-19 18:20:01
    一般来说,系统稳定性越高,机动性越差 。 稳定系统是指在有界输入作用下,输出响应也有界动态系统 。 确定一个系统是否稳定(绝对稳定)的方法是,判断传递函数所有极点或者系统矩阵A特征值是否都位于s平面...

    稳定性分析

              稳定系统包括绝对稳定性和相对稳定性,一般的,稳定性指绝对稳定性。引入相对稳定性可以衡量其稳定程度。

    一般来说,系统稳定性越高,机动性越差 。

    稳定系统是指在有界输入作用下,输出响应也有界的动态系统 。

    确定一个系统是否稳定(绝对稳定)的方法是,判断传递函数的所有极点或者系统矩阵A的特征值是否都位于s平面的左半平面。
    反馈系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点均有负的实部。

    常见的判定系统稳定性的方法(无需求解特征方程的根)分为三种:s平面法,频域法(jw平面)法和时域法。

    劳斯稳定性判据:
    n阶系统特征方程的一般形式为
    将上式等号左右同时除以 ,并定义替代变量 可以得到特征方程的一种标准形式:
    sn+an1sn1+an2sn2++a1s+ωnn=0{s^n} + {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{s^{n - 2}} + \cdots + {a_1}s + \omega _n^n = 0
    将上式等号左右同时除以 ,并定义替代变量 可以得到特征方程的一种标准形式:
    sn+bsn1+csn2++1=0{{\overset{*}{\mathop{s}}\,}^{n}}+b{{\overset{*}{\mathop{s}}\,}^{n-1}}+{{c}^{*}}{{\overset{*}{\mathop{s}}\,}^{^{n-2}}}+\cdots +1=0

    上表总结了六阶以内特征方程的稳定性判据。
    在这里插入图片描述

    反馈系统的相对稳定性

    相对稳定性是由特征方程的实根,或者共轭负根的实部决定的系统特性。
    反馈系统的相对稳定性取决于闭环极点在s平面上的位置分布。可以采用移动虚轴的方式来分析系统的相对稳定性。

    当分析状态变量系统的稳定性时,由系统矩阵A可通过poly函数来计算矩阵A的特征多项式,然后通过roots函数求解特征方程的根,判断极点是不是都在s的左半平面,分析系统的稳定性 。

    状态方程

    系统状态及其响应由状态向量(x1,x2,,xn)\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)和输入信号(u1,u2,,um)\left( {{u_1},{u_2}, \cdots ,{u_m}} \right) 的一阶微分方程组描述。
    状态变量组构成的列向量称为状态向量,记为x=[x1x2xn]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right],u表示输入信号向量。系统可以简写为状态微分方程的形式:
    x.=Ax+Bu\mathop {\bf{x}}\limits^. = {\bf{Ax}} + {\bf{Bu}}

    状态微分方程将系统状态变量的变化率与系统的状态和输入信号联系在一起,而系统的输出则常常通过输出方程与系统状态变量和输入信号联系在一起,即 y=Cx+Du{\bf{y}} = {\bf{Cx}} + {\bf{Du}}。其中y是列向量形式的输出信号。系统的状态空间(或状态变量)模型同时包括了状态微分方程和输出方程。

    运用matlab对控制系统稳定性进行判定

    1、代数稳定判据

    根据系统闭环特征多项式方程的所有根实部小于0,则系统是稳定的。手工求解高次方程的根不太容易,可利用matlab的roots函数。
    给定系统开环传递函数 ,判断单位闭环系统的稳定性。
    编写如下程序:

    num=[100 200];
    den=conv([1 0],conv([1 1],[1 20]));
    sys1=tf(num,den);
    sys=feedback(sys1,1 )
    roots(sys.den{1 })
    

    执行程序的结果为:ans =-12.8990 -5.0000 -3.1010
    表明所有特征根的实部均为负值,故该系统是稳定的。

    2、根轨迹法

    根轨迹法是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时, 闭环系统特征方程的根在S平面上移动的轨迹。根轨迹法可以用于研究改变系统某一参数(如开环增益)对系统根轨迹的影响。利用系统根轨迹函数 rlocus(sys)来绘制 SISO 的LTI对象的根轨迹图。其给定前向通道传递函数G(s),反馈增益为 K 的受控对象(反馈增益K取值为0到无穷),闭环传递函数为SYS=G(S)1+KG(S){\rm{SYS}} = \frac{{G(S)}}{{1 + KG(S)}}
    函数可在当前图形窗口中绘出系统的根轨迹图。其中极点用“×”表示, 零点用“○”表示。利用鼠标操作函数命令[k,poles]= rlocfind(sys),可在图形窗口根轨迹图中显示“十”字形光标, 当选择根轨迹上的某一点时, 其相应的增益由变量K记录,与此增益相关的所有极点记录在变量poles中,从显示所有极点的数值(即位置),就可判断系统的稳定性。
    以传递函数G(S)=K(S+2)S(S+1)(S+20)G(S) = K\frac{{(S + 2)}}{{S(S + 1)(S + 20)}}为例子来判别闭环系统的稳定性。
    编写如下程序:

    num=[1 2];
    den=conv([1 0],conv([1 1],[1 20]));
    G=tf(num,den);
    rlocus(G)
    [k,poles]=rlocfind(G)
    

    在这里插入图片描述
    执行[k,poles]=rlocfind(G)语句后,根轨迹窗口上有纵横两条坐标线,其焦点随鼠标而移动。当交点指在根轨迹负实轴上某一点上时,其相应的增益由变量K记录。与增益相关的所有极点记录在变量poles中。只要交点在根轨迹负实轴上的任一位置,系统全部闭环极点的实部都为负值,也就是闭环系统是稳定的。

    3、Bode图

    根据系统Bode图计算出相角稳定裕度γ>0,闭环系统稳定,否则系统不稳定。利用matlab函数margin()来绘制Bode图和计算频域指标;设单位负反馈系统开环传递函数为
    G(S)=100(S+2)S(S+1)(S+20)G(S) = 100\frac{{(S + 2)}}{{S(S + 1)(S + 20)}}
    编写如下程序:

    num=[100 200];
    den=conv([1 0],conv([1 1],[1 20]));
    G=tf(num,den);
    [Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(G);
    margin(G)
    

    [Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(G)%幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp
    在这里插入图片描述
    由图看出相角稳定裕度为65.4°>0,课件系统闭环稳定,且稳定裕度较大。

    展开全文
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    前言
    闭环系统的稳定性是控制系统设计的核心问题。一个稳定的系统在受到一个有界的输入激励的时候必然有一个有界的输出,这种有界输入——有界输出稳定性是本章主要讨论的问题。反馈系统的稳定性与系统转换方程的特征方程的根的位置,以及状态变量形式下系统矩阵的特征值的位置,有着直接的关系。我们将会介绍Routh-Hurwitz稳定判据,这是一个判断系统是否稳定很常用的方法。该方法能帮助我们给系统设计相关的参数以满足闭环稳定性。对于一些稳定系统,我们将会介绍相对稳定的概念,这能帮助我们定义系统稳定的程度。最后本章通过对光盘驱动系统的控制器的设计,讲解如何基于RH稳定判据设计一个让系统稳定的控制器

    本章目标:
    1.了解动态系统稳定的概念
    2.知道一些绝对和相对稳定性的关键概念
    3.熟悉有界输入——有界输出稳定性的表达
    4.理解s域极点的位置以及状态变量模型特征值的位置与系统稳定性的关系
    5.知道如何构建一个Routh array,并且使用RH稳定判据判断系统是否稳定

    6.1 什么是稳定
    当考虑反馈控制系统的设计与分析问题时,稳定性永远是重中之重。从实际的角度来看,不稳定的闭环系统几乎没有什么价值。但是也有例外,(比如核弹爆炸就不需要稳定性,越不稳定越好。。。)但是没做特殊说明的话我们默认我们的研究对象是稳定的闭环系统。很多物理系统天生的开环不稳定,一些系统甚至被设计成开环不稳定。大多数现代战斗机被被设计成开环不稳定,没有主动控制系统去协助飞行员,飞机是飞不了的。工程师设计了主动控制来使不稳定系统稳定也就是我们刚刚这里所说的飞机,系统稳定之后,一些瞬时响应才可以开始研究讨论。通过使用反馈,我们可以使不稳定系统稳定,然后再通过控制参数的调整使我们的系统最终满足一定的瞬时响应或者稳态响应的性能。而对于开环稳定系统,我们任然使用反馈来调整闭环稳定性能来满足我们对整个系统的控制要求。这些控制要求就包括有:稳态跟踪误差,稳定时间,峰值时间,以及一些4&5章里面讨论的其他性能指标。

    我们可以把闭环反馈系统分成不稳定和稳定两大类,这里面说的稳定我们称之为绝对稳定。一个稳定的系统就可以被称为绝对稳定系统,通常省去“绝对“两个字。但是对于稳定系统里面,我们可以进一步根据稳定的程度进行进一步分类,这种稳定就叫做相对稳定。研究飞行器设计的一线工程师就很熟悉这种分类法——一个飞机越稳定,那么该飞机就越难操控。对于战斗机我们希望它能做一些高难度的机动,就需要其灵活易操控;而商业客机要尽可能的稳,让乘客感到舒适,所以论相对稳定性,战斗机的相对稳定性就要比商业客机低,或者说差一点。正如我们本章即将讨论的,只要满足所有的转换方程极点都在s域的左边,也就是系统举证A的所有特征值都在s域左边,那么我们可以断定一个系统是稳定的。如果所有的极点都在左边,我们再通过研究极点间的相对位置来判断一个系统的相对稳定性。

    下面是稳定系统的定义:如果一个动态系统收到一个有界输入的激励只能得到有界的输出,那么该系统为稳定系统

    稳定的概念可以用一个三角锥来掩饰,如果一个三角锥低朝下摆放,那么一开始它就能处于初始平衡位置,这个就叫做稳定。如果侧过来放,不受外力的情况下,该三角锥也不会动,但是一受外力它就会滚动,这种情况我们称之为中性稳定或者临界稳定。但如果倒着放头朝下,那么一松手三角锥就会倒下,这就叫做不稳定。
    在这里插入图片描述

    动态系统的稳定性也可以这么解释:对于受到一个阶跃或者初始状态的影响,可能会导致一个减少的输出,或者不变的输出,亦或者增加的输出,它们各对应了稳定,中性稳定,不稳定系统的特征。

    系统极点在s域的位置在某种程度上能表明系统的瞬时响应。s域左边的极点引入的是向下的输出,在s域右边或者坐标轴上的极点会导致不变以及向上的输出。下图显示了极点位置与输出的关系
    在这里插入图片描述
    有一个很常见的由反馈带来不稳定的例子,那就是扬声器系统。当一个人对着话筒讲话,它的声音会被话筒放大然后通过扬声器播放出来,如果扬声器和话筒距离很近的话,那么放大后的声音会再次进入话筒被放大,由此往复声音会越来越大。这就是一个正反馈引起的不稳定系统的例子。

    另一个例子如下图
    在这里插入图片描述
    图a是Puget Sound大桥刚通车的图片,人们发现风会很容易的引起大桥摆动,果然四个月之后大桥被大风引起的摆动给摇塌了,图b是坍塌的图片。

    对于线性系统,我们发现稳定条件或许可能与闭环转换方程的极点位置有关。一个闭环系统转换方程如下所示:
    在这里插入图片描述
    此时
    在这里插入图片描述
    方程的根是闭环系统的极点,该系统的冲激响应为
    在这里插入图片描述
    这里的Ak和Bm是由
    在这里插入图片描述
    组成的常量。为了获得一个有界的响应,闭环系统的极点必须都在s域的左半边。因此一个反馈系统稳定的充要条件是系统转换方程的所有极点都在s域左边如果有极点在虚轴上,其他极点都在s域左边,那么稳态输出将会是一个有界的正弦震动,除非输入是一个频率等于虚轴极点根的长度,此时,系统的输出会变得无界。鉴于只有部分信号会导致系统不稳定,因此这样的系统就被称为部分稳定。对于不稳定系统,至少有一个极点在s域的右边,这种情况下,对于任何输入系统输出都会变得无界。

    举个例子,如果一个闭环系统的特征方程为:
    在这里插入图片描述
    这个系统就是部分稳定,如果用一个频率=4的正弦信号激励这个系统,该系统会变不稳定。

    为了搞清楚反馈控制系统的稳定性,我们可以求出特征多项式的根。但是,有没有一种方法可以直观的判断系统是否稳定,而不是通过求出特征多项式的根来求证?有几个方法可以快速回答系统是否稳定的问题:

    1. s域法
    2. 频域法
    3. 时域法
      频域法第九章会讲到,时域法将在6.4节称述。

    如今市场上面的机器人数不胜数,随着机器人能够胜任的工作越来越多,未来机器人的数目也会快速增长,尤其是可以行走的人形机器人。很多通过串联的制动器构成的机器人在1990年代被发明出来,下图所示的M2机器人可以消耗更少的能量,但是相对于其他消耗更多能量的设计更难以保持稳定。
    在这里插入图片描述
    从上图我们可以想象到这个结构在行走的时候本身存在固有的不稳定性。下面我们将会讲解如何通过使用Routh-Hurwitz判据不计算特征方程的根就能判断系统的稳定性。

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    稳定性与李雅普诺夫方法

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    稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。

    李雅普诺夫稳定性定义:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.渐进稳定:
    在这里插入图片描述

    3.大范围渐进稳定:
    在这里插入图片描述

    4.不稳定:

    在这里插入图片描述

    4.2李雅普诺夫第一法:
    利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法,它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。

    状态稳定和内部稳定:
    在这里插入图片描述

    雅可比矩阵:
    在这里插入图片描述

    使用李雅普诺夫第一法判断系统在某平衡状态稳定性:
    在这里插入图片描述

    4.3 李雅普诺夫第二法
    预备知识:
    (1)标量符号性质
    在这里插入图片描述

    (2)二次型标量函数
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (3)希尔维斯特判据
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    李雅普诺夫第二法判定方法:
    在这里插入图片描述

    稳定判据:
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    说明:
    在这里插入图片描述

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系统稳定性的判断方法