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  • 纯随机性检验
    2022-06-21 15:30:45

    平稳性

    首先先介绍平稳序列(此处及之后所述平稳均为宽平稳)的性质。

    对于时间序列

    时间1234t-1t
    变量 X 1 X_1 X1 X 2 X_2 X2 X 3 X_3 X3 X 4 X_4 X4 . . . ... ... X t − 1 X_{t-1} Xt1 X t X_t Xt

    1.常数均值
    E X t = μ , ∀ t ∈ T EX_t=\mu,\forall t \in T EXt=μtT
    2.自协方差函数和自相关系数仅依赖于时间间隔长度而与起止时间无关
    γ ( t , s ) = γ ( k , k + s − t ) , ∀ t , s , k ∈ T \gamma (t,s) = \gamma (k,k + s - t),\forall t,s,k \in T γ(t,s)=γ(k,k+st)t,s,kT

    其中
    γ ( t , s ) = E [ ( X t − μ t ) ( X s − μ s ) ] \gamma \left( {t,s} \right){\rm{ = E}}\left[ {\left( {{X_t} - {\mu _t}} \right)\left( {{X_s} - {\mu _s}} \right)} \right] γ(t,s)=E[(Xtμt)(Xsμs)]
    检验序列的平稳性通常有两种方法,分别为图检验方法和单位根检验法。

    图检验方法

    其中图检验方法又分为时序图检验法和自相关图法。

    一、时序图检验

    时序图检验是根据平稳时间序列具有常数均值和常数方差的性质进行判断。示例如下:
    1884 – 1939 年英格兰和威尔士每英亩大麦年产量
    时序图在某一个常数附近波动,并没有明显的趋势和季节性,基本可以视为平稳序列。

    二、自相关图检验

    自相关图检验的原理是平稳序列具有的短期相关性。随着延迟阶数k的增加,平稳时间序列的自相关系数会很快衰减到0,如序列不平稳,则衰减到0的速度较慢。
    自相关图是一个平面二维坐标悬垂线图。横坐标表示延迟阶数,纵坐标表示自相关系数。示例如下:
    ACF

    从图中可以看出,该序列的自相关系数一直都比较小,一直在x轴附近波动,因此可以认为该序列是平稳时间序列。

    纯随机性检验

    纯随机序列的定义

    如序列满足下列条件:
    (1) E X t = μ , ∀ t ∈ T E{X_t} = \mu,\forall {\rm{t}} \in T EXt=μtT
    (2) γ ( t , s ) = { σ 2 , t = s 0 , t ≠ s , ∀ t , s ∈ T \gamma (t,s) = \begin{cases}\sigma ^2,t = s \\{0,t \ne s} \end{cases}\text,\forall t,s \in T γ(t,s)={σ2,t=s0,t=st,sT
    则该序列为纯随机序列,也称做白噪声(white noise)序列,记为 X t = W N ( μ , σ 2 ) X_t=WN(\mu,\sigma^2) Xt=WN(μ,σ2)
    注意:白噪声序列也是平稳序列。

    纯随机性检验

    纯随机性检验又称为白噪声检验,用于检验序列是否为纯随机性序列。

    假设条件

    原假设:延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立
    备择假设:延迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性
    数学语言表达如下:
    H 0 : ρ 1 = ρ 2 = . . . = ρ m = 0 , ∀ m ≥ 1 H_0:\rho_1=\rho_2=...=\rho_m=0,\forall m \geq 1 H0:ρ1=ρ2=...=ρm=0m1
    H 1 : 至 少 存 在 一 个 ρ k ≠ 0 , ∀ m ≥ 1 , k ≤ m H_1:至少存在一个\rho_k\neq0,\forall m \geq 1,k\leq m H1:ρk=0m1,km

    检验统计量

    常常使用LB统计量,公式为:
    L B = n ( n + 2 ) ∑ k = 1 n ρ k 2 ^ n − k LB=n(n+2)\sum_{k=1}^n \frac {\hat{\rho_k^2}}{n-k} LB=n(n+2)k=1nnkρk2^
    式中n为序列观测期数,m为延迟期数。并且LB统计量近似服从自由度为m的卡方分布,即
    L B ∼ χ 2 ( m ) LB\sim\chi^2(m) LBχ2(m)
    对数据进行纯随机性检验,结果如下:
    在这里插入图片描述
    从上表中可以看出,其pvalue均大于0.05,因此无法拒绝原假设该时间序列为纯随机性序列,可以停止对该序列的统计分析。

    本文所使用的代码如下:

    import matplotlib.pyplot as plt
    import pandas as pd
    from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
    from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
    data = pd.read_csv(r'D:\附录1.1.CSV') #文件已上传至资源中
    plt.plot(data.Year,data.iloc[:,1])
    plot_acf(data.iloc[:,1],lags=20)
    acorr_ljungbox(data.iloc[:,1], lags = [i for i in range(1,12)],boxpierce=True)
    
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    1 时间序列预处理

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    2 平稳性检验

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    2.1 特征统计量(概率分布的意义)

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    2.2 时间序列的概率分布

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    2.3 概率分布族应用的局限性

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    2.4 特征统计量(均值、方差)

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    2.5 平稳时间序列的定义(严平稳、宽平稳)

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    2.6 正态时间序列

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    2.7 平稳时间序列的统计性质

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    2.8 自相关系数的性质

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    2.9 平稳时间序列的意义

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    2.10 平稳性的重大意义

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    2.11 样本自协方差函数

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    2.12 平稳性的检验(图检验方法、统计检验方法)

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    2.13 时序图检验

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    2.14 自相关图检验

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    3 纯随机性检验

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    3.1 纯随机序列的定义

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    3.2 标准正态白噪声序列时序图

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    3.3 纯随机序列的性质(纯随机性、方差齐性)

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    3.4 纯随机检验

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    3.5 Barlett定理

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    3.6 统计假设

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    3.7 检验统计量(Q统计量、LB统计量)

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    3.8 判别原则(拒绝原假设、接受原假设)

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    3.9 自相关图分析

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    3.10 白噪声检验

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  • 平稳性检验(描述性)与纯随机性检验

    万次阅读 多人点赞 2019-04-19 11:46:41
    本章主要介绍进行时序分析前的预处理,即平稳性检验与纯随机性检验。 平稳性检验(描述性) 平稳性检验的方法分为描述性方法与计量性方法。前者主要指时序图检验、ACF 图检验,后者主要指 DF 检验、ADF 检验与PP...

    这篇博客主要记录人大出版《应用时间序列分析》第二章的笔记。本章主要介绍进行时序分析前的预处理,即平稳性检验与纯随机性检验。

    平稳性检验(描述性)

    平稳性检验的方法分为描述性方法与计量性方法。前者主要指时序图检验、ACF 图检验,后者主要指 DF 检验、ADF 检验与PP检验。由于计量性方法需要 ARMA 模型的相关知识,这篇博客仅仅介绍描述性方法。

    时序图检验

    时序图检验即是通过观察时序图来判断时间序列是否平稳。Python 中画时序图的代码如下:

    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    data = pd.DataFrame({'2010-01-01': 10.00, '2010-01-02': 13.00, '2010-01-04': 13.50, '2010-01-05': 13.50, '2010-01-06': 14.50, '2010-01-07': 16.00, '2010-01-08': 20.50, '2010-01-10': 24.50, '2010-01-11': 27.50, '2010-01-12': 30.50}, index=['price'])
    data = data.T
    data['price'].plot()
    plt.show()

    作图结果如下:

    其实就是使用 pandas 中内置的折线图。

    具体如何通过时序图来检验平稳性呢?平稳时序定义要求均值、方差为常数,协方差仅仅与时间间隔相关。从定义入手,时序图满足以下任一条件的不是平稳时序:

    • 时序存在明显的趋势,即均值不为常数
    • 时序存在集群效应,即某段时间的波动幅度较其它时段明显较大或者较小,即方差不为常数

    下图为集群效应的一个例子:

     

     

    时序中间时段的波动幅度明显大于两端,可以认为时序存在集群效应,为非平稳时序。集群效应在金融时间序列中往往十分常见。

    ACF图检验

    上篇博客中介绍了自协方差函数的定义与作图方法,链接:https://blog.csdn.net/weixin_44607126/article/details/89086035

    平稳时序往往仅具有短期自相关性,长期的 ACF 会振荡随机趋近于0。因此,当 ACF 图不满足这一条件时,可以认为时序非平稳。如何理解振荡与随机呢?下面给出几个 ACF 图检验的例子。

    上图在 k >= 2 时就已经趋于 0 了,但是并没有满足随机趋于 0 的条件,该图中的 ACF(k) 先连续4项正值,然后连续6项负值,整个图形呈现出倒三角的形状,这意味着时序中存在明显的趋势,为非平稳时序。事实上,这是一条单增时序的 ACF 图。

    上图是平稳时序的 ACF 图的一个例子,可以看到 ACF(k) 没有出现规律性,振荡随机趋近于0,可以认为时序平稳。

    总结来看,当 ACF 图满足下列任一条件时,可以认为时序为非平稳时序

    • ACF 图正项与负项连续交替出现,呈现倒三角形,意味着时序中存在趋势
    • ACF 图拖尾,即当 k 很大时仍有 ACF(k) 显著

    描述性检验方法的注意事项

    无论是时序图还是 ACF 图,使用它们作为检验方法时都具有较强的主观性,没有引入客观的统计量。因此,时序图与 ACF 图仅能用来排除非平稳时序,不能用来判断一个时序是否是平稳时序!即描述性检验方法仅仅是为计量性检验方法作一个初步筛选,如果时序没有通过描述性检验方法,就不需要进行计量性检验了;而即使时序通过了描述性检验方法,仍需要进行计量性检验来进一步确认时序为平稳时序。

    纯随机性检验

    在进行时序分析之前,我们需要确认这个时序不是一个单纯的噪音,而是蕴含着可以用模型描述的信息。因此需要对时序进行纯随机性检验。

    白噪声的定义

    我们称满足下列条件的时序为白噪声(纯随机时序):

    1. EX_{t}=\mu
    2. Var(X_{t})=\sigma ^2
    3. Cov(X_{t}, X_{t+k})=0, \forall t, k

    白噪声满足均值与方差均为常数,且不同时刻上的随机变量不相关。显然,白噪声是一种平稳时序。

    从白噪声的定义中可以看出,对于白噪声时序,历史数据不能提供关于未来的信息,此时建立时序模型将会是徒劳的。因此在蚝时序建模前需要进行白噪声检验。同时,白噪声还可以用来判断时序模型总体的显著性,当模型残差是白噪声序列时,就可以认为模型已经充分提取了时序信息。

    Barlett定理

    如果一个时序是纯随机的,得到一个观察期数为 n 的观察序列,那么该序列的延迟非零期样本自相关系数近似服从 N(0, \frac{1}{n})的正态分布。

    仅仅想在应用层面理解时序则不必深究上述定理。

    BP检验

    根据 Barlett 定理,可以构建 Q 统计量:Q=n\sum_{k=1}^{m}\widehat{\rho}_{k}^2

    则有 Q$\sim$\chi^2(m),其中 m 为指定最大延迟期数,\widehat{\rho}_{k}^2 为 k 期延迟样本自相关系数。原假设为时序是白噪声序列,当 Q 大于单侧检验临界值时认为时序不是白噪声序列。

    LB检验

    LB 检验是在 BP 检验的基础上进行了一些修正,使其更适用于小样本。LB 统计量表达式为:LB=n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\widehat{\rho}_{k}^2/(n-k)

    在实际应用中通常使用 LB 检验。

    在python中进行 LB 检验的代码如下:

    from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
    print(acorr_ljungbox(np.random.rand(100), lags=[6, 12]))

    lags 即上面公式中的m , 通常取 6 与 12。

    输出如下:

    (array([2.02502998, 8.28247283]), array([0.91738225, 0.76268484]))

    第一个 array 是 LB 统计量的数值,第二个 array 是 p 值。当 p 值小于显著性水平时认为时序不是白噪声。

    总结

    1. 在进行正式的时序建模前需要检验时序的平稳性与纯随机性
    2. 平稳性检验可以通过时序图、ACF 图等描述性方法,但依然要使用 ADF 检验、PP 检验来最终判断
    3. 纯随机性检验可以使用 BP 统计量与 LB 统计量,通常使用 LB 统计量

    误区

    1. 仅仅通过时序图与 ACF 图就断定一个时序是平稳时序:时序图与 ACF 图仅仅只能用于判断非平稳时序,不能用于判断平稳时序
    2. 不画时序图与 ACF 图,直接对时序进行 ADF 检验与 PP 检验:描述统计是必不可少的步骤,通过时序图与 ACF 图可以清楚看出时序的趋势性与周期性
    3. 在正式建模之前不检验时序的纯随机性,认为仅仅检验时序的平稳性就足够了:白噪声时序也是平稳序列,但是没有分析的价值
    4. 在正式建模之后不检验残差序列的纯随机性:残差序列的纯随机性检验有点类似于多元回归中的 F 检验,检验的是模型总体的显著性水平
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  • 时间序列的预处理之纯随机性检验

    千次阅读 2022-03-03 08:03:39
    1.纯随机序列的定义 2.性质 3.纯随机性检验

    目录

            1.纯随机序列的定义

    2.性质

    3.纯随机性检验


    1.纯随机序列的定义

    • 纯随机序列也称为白噪声序列,满足如下性质:

    2.性质

    • 纯随机性(无记忆性)

    •  方差齐性

    举例,随机生成1000个白噪声序列

    用正态分布序列 rnorm(数量,均值,方差),如下为,1000个标准正态的分布图形

    a<-rnorm(1000)
    x<-ts(a)
    plot(x)
    

    时序图如下:

     自相关图:

    acf(x)
    

    返回:

    如图,可以看出自相关系数基本分布在二倍标准差之间,但由于数据是随机的,所以有一定的误差

    3.纯随机性检验

    Bartlett定理:如果一个时间序列是纯随机的,得到一个观察期数为n的观察序列,那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为0,方差为序列观察期数倒数的正态分布

    原假设

    备择假设

    Q统计量(Box和Pierce):服从自由度为m的卡方分布,其对大样本检验效果较好

    LB统计量(Box和Ljung):Q统计量的修正,现在使用较普遍

    拒绝域

    R语言白噪声检验

    Box.test(x,type=,lag=6)  
    其中:
    type='Box-Pierce'  Q统计量 ,默认
    type='Ljung-Box'   LB统计量

    举例1:对上面随机生成的白噪声序列进行6阶和12阶的LB统计量

    for(i in 1:2)print( Box.test(x,type='Ljung-Box',lag=6*i))
    

    返回:

    举例2:对1900年到1998年全球7级以上地震法伤次数序列进行平稳性和纯随机性检验

    读取数据

    a<-read.table('D:/桌面/E2_5.csv',sep=',',header=T)
    a

    返回:

     选择变量序列

    x<-ts(a$number,start=1900)
    x
    

    返回:

    绘制时序图:

    plot(x)
    

    绘制自相关图: 

    acf(x)
    

    6阶LB统计量:

    Box.test(x,type='Ljung-Box',lag=6)
    

    返回:

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纯随机性检验

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