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  • Control-车辆动力学模型
    2021-11-10 18:44:54

    动力学主要研究作用于物体的力与物体运动的关系,车辆动力学模型一般用于分析车辆的平顺性和车辆操纵性的稳定性。对于车辆动力学,主要是研究车辆轮胎及相关部件的受力情况。比如纵向速度控制通过控制轮胎转速实现,横向航向控制通过控制轮胎转角实现。

    正常情况下,车辆上的作用力沿着三个不同的轴分布:

    • x x x轴上的力:驱动力、制动力、滚动阻力和拖曳阻力。车辆绕 x x x轴做滚动运动;
    • y y y轴上的力:转向力、离心力和侧风力。车辆绕 y y y轴做俯仰运动;
    • z z z轴上的力:地面支持力、风压力。车辆绕 z z z轴做横摆运动;

    在这里插入图片描述

    在单车模型假设的前提下,做以下假设:

    • 只考虑纯侧偏轮胎特性,忽略轮胎力的横纵向耦合关系;
    • 不考虑载荷转移;
    • 忽略横纵向空气动力学。
      在这里插入图片描述

    如图所示,单车模型具有两个自由度:绕 z z z轴的横摆运动和沿 x x x轴的纵向运动。轮胎滑移角是轮胎方向和轮胎速度方向的夹角,产生原因主要是由于轮胎所受合力并非朝向车轮行进的方向,但车轮的偏移角通常较小。

    根据牛顿第二定律,分别沿 x x x轴、 y y y轴、 z z z轴做受力分析:

    x x x轴:
    m a x = F x , f + F x , r (1) m a_x = F_{x,f} + F_{x,r} \tag{1} max=Fx,f+Fx,r(1)
    y y y轴:
    m a y = F y , f + F y , r (2) m a_y = F_{y,f} + F_{y,r} \tag{2} may=Fy,f+Fy,r(2)
    z z z轴:
    I z ψ ¨ = a F y , f − b F y , r (3) I_z \ddot{\psi} = a F_{y,f} - b F_{y,r} \tag{3} Izψ¨=aFy,fbFy,r(3)
    在这里插入图片描述

    车辆在 y y y轴的加速度 a y a_y ay由两部分构成: y y y轴的位移相关的加速度 y ¨ \ddot{y} y¨和向心加速度 v x ψ ˙ v_x \dot{\psi} vxψ˙
    a y = y ¨ + v x ψ ˙ (4) a_y = \ddot{y} + v_x \dot{\psi} \tag{4} ay=y¨+vxψ˙(4)
    则公式(2)转变为:
    m ( y ¨ + v x ψ ˙ ) = F y , f + F y , r (5) m (\ddot{y} + v_x \dot{\psi}) = F_{y,f} + F_{y,r} \tag{5} m(y¨+vxψ˙)=Fy,f+Fy,r(5)
    由于轮胎受到横向压力,会有一个很小的滑移角,如下图所示:

    在这里插入图片描述

    前后轮滑移角:
    { α f = δ − θ v , f α r = − θ v , r (6) \begin{cases} \alpha_f = \delta - \theta_{v,f} \\ \alpha_r = - \theta_{v,r} \end{cases} \tag{6} {αf=δθv,fαr=θv,r(6)
    其中, θ v , f \theta_{v,f} θv,f为前轮速度方向, δ \delta δ为前轮转角, θ v , r \theta_{v,r} θv,r为后轮速度方向,后轮转角为 0 0 0

    前后轮所受横向力为:
    { F y , f = 2 C α , f α f = 2 C α , f ( δ − θ v , f ) F y , r = 2 C α , r α r = 2 C α , r ( − θ v , r ) (7) \begin{cases} F_{y,f} = 2 C_{\alpha,f}\alpha_f = 2 C_{\alpha,f}(\delta - \theta_{v,f}) \\ F_{y,r} = 2 C_{\alpha,r} \alpha_r = 2 C_{\alpha,r} (- \theta_{v,r}) \end{cases} \tag{7} {Fy,f=2Cα,fαf=2Cα,f(δθv,f)Fy,r=2Cα,rαr=2Cα,r(θv,r)(7)
    其中, C α , f , C α , r C_{\alpha,f},C_{\alpha,r} Cα,f,Cα,r分别为前后轮胎的侧偏刚度,因为前后各有两个轮胎,因此乘以 2 2 2

    θ v , f , θ v , r \theta_{v,f},\theta_{v,r} θv,fθv,r的计算如下:
    { tan ⁡ ( θ v , f ) = v y + l f ψ ˙ v x tan ⁡ ( θ v , r ) = v y − l r ψ ˙ v x (8) \begin{cases} \tan(\theta_{v,f}) = \frac{v_y + l_f \dot{\psi}}{v_x} \\ \tan(\theta_{v,r}) = \frac{v_y - l_r \dot{\psi}}{v_x} \end{cases} \tag{8} {tan(θv,f)=vxvy+lfψ˙tan(θv,r)=vxvylrψ˙(8)
    根据小角度近似可得:
    { θ v , f = y ˙ + l f ψ ˙ v x θ v , r = y ˙ − l r ψ ˙ v x (8) \begin{cases} \theta_{v,f} = \frac{\dot{y} + l_f \dot{\psi}}{v_x} \\ \theta_{v,r} = \frac{\dot{y} - l_r \dot{\psi}}{v_x} \end{cases} \tag{8} {θv,f=vxy˙+lfψ˙θv,r=vxy˙lrψ˙(8)
    整理可得状态方程:
    d d t [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C α , f + 2 C α , r m v x 0 − v x − 2 C α , f l f − 2 C α , r l r m v x 0 0 0 1 0 − 2 C α , f l f − 2 C α , r l r I z v x 0 − 2 C α , f l f 2 + 2 C α , r l r 2 I z v x ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + [ 0 2 C α , f m 0 2 l f C α , f I z ] δ (9) \frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f} + 2C_{\alpha,r}}{m v_x} & 0 & -v_x -\frac{2C_{\alpha,f}l_f - 2C_{\alpha,r}l_r}{m v_x} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f-2C_{\alpha,r}l_r}{I_z v_x} & 0 & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f^2+2C_{\alpha,r}l_r^2}{I_z v_x}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{2C_{\alpha,f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2l_fC_{\alpha,f}}{I_z} \end{matrix}\right] \delta \tag{9} dtdyy˙ψψ˙=00001mvx2Cα,f+2Cα,r0Izvx2Cα,flf2Cα,rlr00000vxmvx2Cα,flf2Cα,rlr1Izvx2Cα,flf2+2Cα,rlr2yy˙ψψ˙+0m2Cα,f0Iz2lfCα,fδ(9)
    以相对于道路的方向和距离误差为状态变量建立误差动力学模型。假设 e 1 e_1 e1为横向距离误差,车辆质心距离车道中心线的距离, e 2 e_2 e2为航向误差。

    假设车辆的纵向速度为 v x v_x vx,匀速平稳,转向半径为 R R R,则车辆转过期望角度所需的角速度为:
    ψ ˙ d e s = v x R (10) \dot{\psi}_{des} = \frac{v_x}{R} \tag{10} ψ˙des=Rvx(10)
    所需横向加速度为:
    a y , d e s = v x 2 R = v x ψ ˙ d e s (11) a_{y,des} = \frac{v_x^2}{R} = v_x \dot{\psi}_{des} \tag{11} ay,des=Rvx2=vxψ˙des(11)
    则横向加速度误差为:
    e ¨ 1 = a y − a y , d e s = ( y ¨ + v x ψ ˙ ) − v x ψ ˙ d e s = y ¨ + v x ( ψ ˙ − ψ ˙ d e s ) (12) \ddot{e}_1 = a_y - a_{y,des} = (\ddot{y} + v_x \dot{\psi}) - v_x \dot{\psi}_{des} = \ddot{y} + v_x(\dot{\psi} - \dot{\psi}_{des}) \tag{12} e¨1=ayay,des=(y¨+vxψ˙)vxψ˙des=y¨+vx(ψ˙ψ˙des)(12)
    横向速度误差为:
    e ˙ 1 = y ˙ + v x ( ψ − ψ d e s ) (13) \dot{e}_1 = \dot{y} + v_x({\psi} - {\psi}_{des}) \tag{13} e˙1=y˙+vx(ψψdes)(13)
    航向误差:
    e 2 = ψ − ψ d e s (14) e_2 = \psi - \psi_{des} \tag{14} e2=ψψdes(14)
    可得误差动力学模型为:
    d d t [ e 1 e ˙ 1 e 2 e ˙ 2 ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C α , f + 2 C α , r m v x 2 C α , f + 2 C α , r m − 2 C α , f l f + 2 C α , r l r m v x 0 0 0 1 0 − 2 C α , f l f − 2 C α , r l r I z v x 2 C α , f l f − 2 C α , r l r I z − 2 C α , f l f 2 + 2 C α , r l r 2 I z v x ] [ e 1 e ˙ 1 e 2 e ˙ 2 ] + [ 0 2 C α , f m 0 2 l f C α , f I z ] δ + [ 0 − 2 C α , f l f + 2 C α , r l r m v x − v x 0 − 2 C α , f l f 2 + 2 C α , r l r 2 I z v x ] ψ ˙ d e s (15) \frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} e_1 \\ \dot{e}_1 \\ e_2 \\ \dot{e}_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f} + 2C_{\alpha,r}}{m v_x} & \frac{2C_{\alpha,f} + 2C_{\alpha,r}}{m} & \frac{-2C_{\alpha,f}l_f + 2C_{\alpha,r}l_r}{m v_x} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f-2C_{\alpha,r}l_r}{I_z v_x} & \frac{2C_{\alpha,f}l_f-2C_{\alpha,r}l_r}{I_z} & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f^2+2C_{\alpha,r}l_r^2}{I_z v_x}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} e_1 \\ \dot{e}_1 \\ e_2 \\ \dot{e}_2 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{2C_{\alpha,f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2l_fC_{\alpha,f}}{I_z} \end{matrix}\right] \delta + \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{-2C_{\alpha,f}l_f + 2C_{\alpha,r}l_r}{m v_x} -v_x \\ 0 \\ -\frac{2C_{\alpha,f}l_f^2+2C_{\alpha,r}l_r^2}{I_z v_x} \end{matrix}\right] \dot{\psi}_{des} \tag{15} dtde1e˙1e2e˙2=00001mvx2Cα,f+2Cα,r0Izvx2Cα,flf2Cα,rlr0m2Cα,f+2Cα,r0Iz2Cα,flf2Cα,rlr0mvx2Cα,flf+2Cα,rlr1Izvx2Cα,flf2+2Cα,rlr2e1e˙1e2e˙2+0m2Cα,f0Iz2lfCα,fδ+0mvx2Cα,flf+2Cα,rlrvx0Izvx2Cα,flf2+2Cα,rlr2ψ˙des(15)

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    2022-05-08 14:34:00
    二自由度 模型 一个车辆坐标系下,车辆存在六个自由度: 沿x轴运动,前进运动 沿y轴运动,侧向运动 沿z轴运动,垂直运动 绕x轴转动,侧倾运动 ...因为之后汽车理论将用运动学和动力学的方式联.

    二自由度 模型

    一个车辆坐标系下,车辆存在六个自由度:

    • 沿x轴运动,前进运动
    • 沿y轴运动,侧向运动
    • 沿z轴运动,垂直运动
    • 绕x轴转动,侧倾运动
    • 绕y轴转动,俯仰运动
    • 绕z轴转动,横摆运动

     

    给出了如下假设:

    忽略悬架的作用。
    汽车车身无法依靠减震器和弹性元件实现沿z轴的运动,无法上下振动。
    也没有所谓的独立悬架和非独立悬架之分,无法左右摇动,即绕x轴的侧倾运动。
    没有弹性元件也无法完成绕y轴的俯仰运动。
    汽车前进速度不变。
    也不用考虑沿x轴运动。因为之后汽车理论将用运动学和动力学的方式联立等式(理论力学的内容),而沿x轴速度不变意味着x轴方向的加速度为0,不用参与到联立的等式中。
    上面两个假设限定了四个自由度,剩下的就是沿y轴的侧向运动和绕z轴的横摆运动,这就是汽车的二自由度。

     

     

    其中

     

     式中,m为整车质量;k1、k2分别为前、后车轮的侧偏刚度;a、b分别为前、后轴到质心的距离;v 为侧向速度;u 为横向速度;β为质心侧偏角;δ为前轮转角;ωr为横摆角速度。

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    1. 动力学模型 在纵向时,可能还会受到纵向空气阻力,前轮滚动阻力,后轮滚动阻力,坡道重力分量等

    1. 动力学模型

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    在纵向时,可能还会受到纵向空气阻力前轮滚动阻力后轮滚动阻力,坡道重力分量

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    车辆动力学模型 动力学主要研究作用于物体的力与物体运动的关系,车辆动力学模型一般用于分析车辆的平顺性和车辆操纵的稳定性。对于车来说,研究车辆动力学,主要是研究车辆轮胎及其相关部件的受力情况。 正常情况下...

    车辆动力学模型

    动力学主要研究作用于物体的力与物体运动的关系,车辆动力学模型一般用于分析车辆的平顺性和车辆操纵的稳定性。对于车来说,研究车辆动力学,主要是研究车辆轮胎及其相关部件的受力情况。

    正常情况下,车辆上的作用力沿着三个不同的轴分布:

    1. 纵轴上的力包括驱动力和制动力,以及滚动阻力和拖拽阻力作滚摆运动(roll);

    2. 横轴上的力包括转向力、离心力和侧风力,汽车绕横轴作俯仰运动(pitch);

    3. 立轴上的力包括车辆上下振荡施加的力,汽车绕立轴作偏摆或转向运动(yaw);

    在这里插入图片描述
    图 1   车 辆 受 力 模 型 图 1 \space车辆受力模型 1 

    而在单车模型假设的前提下,再作如下假设1即可简单搭建车辆的动力学模型:

    1. 只考虑纯侧偏轮胎特性,忽略轮胎力的纵横向耦合关系;
    2. 用单车模型来描述车辆的运动,不考虑载荷的左右转移;
    3. 忽略横纵向空气动力学。

    在这里插入图片描述
    图 2   车 辆 单 车 模 型 受 力 状 态 图 2 \space车辆单车模型受力状态 2 
    如图2所示, o x y z oxyz oxyz为固定于车身的车辆坐标系, O X Y OXY OXY为固定于地面的惯性坐标系。单车模型的车辆具有2个自由度:绕 z z z轴的横摆运动,和沿 x x x轴的纵向运动。
    纵向指沿物体前进方向,横向(或侧向)指垂直纵向方向。

    横向运动:出自横向的风力,以及曲线行驶时的离心力等。
    纵向运动:受总驱动阻力、加速、减速等的影响。总驱动阻力由滚动阻力、拖拽阻力和坡度阻力等构成。
    滑移角(slip−angle)(slip−angle):轮胎方向和轮胎速度方向的夹角。滑移角的产生主要是由于车轮所受合力方向并非朝向车轮行进方向,但车轮的偏移角通常较小。

    图2中各符号定义:

    符号定义
    F l f , F l r F_{lf},F_{lr} Flf,Flr前、后轮胎受到的纵向力
    F c f , F c r F_{cf},F_{cr} Fcf,Fcr前、后轮胎受到的侧向力
    F x f , F x r F_{xf},F_{xr} Fxf,Fxr前、后轮胎受到的x方向力
    F y f , F y r F_{yf},F_{yr} Fyf,Fyr前、后轮胎受到的y方向力
    a, ℓ f \ell_f f前悬长度
    b, ℓ r \ell_r r后悬长度
    δ f \delta_f δf, δ \delta δ前轮偏角
    δ r \delta_r δr后轮偏角
    a f a_f af前轮偏移角

    分别沿着 x x x, y y y, z z z轴做相关分析:
    在x轴上:
    m a x = F x f + F x r (1) ma_x=F_{xf}+F_{xr} \tag{1} max=Fxf+Fxr(1)
    在y轴上:
    m a y = F y f + F y r (2) ma_y=F_{yf}+F_{yr} \tag{2} may=Fyf+Fyr(2)
    在z轴上:
    I z φ ¨ = a F y f − b F y r (3) I_z\ddot{\varphi}=aF_{yf}-bF_{yr} \tag{3} Izφ¨=aFyfbFyr(3)
    式中,m为车辆质量, φ \varphi φ为车辆航向(yaw), I z I_z Iz为车辆绕z轴的转动惯量。
    x轴方向的运动暂时不用考虑,车子翻滚不属于正常行驶范围。

    横向动力学

    在这里插入图片描述
    图   3   横 向 动 力 学 图\space 3 \space横向动力学  3 
    y轴方向加速度 a y a_y ay由两部分构成:沿着y轴方向的加速度 y ¨ \ddot{y} y¨,垂直于y轴方向的向心加速度 V x φ ˙ V_x\dot{\varphi} Vxφ˙
    a y = y ¨ + V x φ ˙ a_y=\ddot{y}+V_x\dot{\varphi} ay=y¨+Vxφ˙
    则式(2)可变为:
    m ( y ¨ + V x φ ˙ ) = F y f + F y r (4) m(\ddot{y}+V_x\dot{\varphi})=F_{yf}+F_{yr} \tag{4} m(y¨+Vxφ˙)=Fyf+Fyr(4)

    由于轮胎受到的横向压力,轮胎会有一个很小的滑移角,如图4所示
    在这里插入图片描述
    图   4   轮 胎 滑 移 角 图\space4 \space 轮胎滑移角  4 
    前轮滑移角
    a f = δ − θ V f (5) a_f=\delta-\theta_{Vf} \tag{5} af=δθVf(5)
    其中, θ V f \theta_{Vf} θVf为前轮速度方向, δ \delta δ为前轮转角。

    后轮滑移角
    a r = − θ V r (6) a_r=-\theta_{Vr} \tag{6} ar=θVr(6)
    其中, θ V r \theta_{Vr} θVr为前轮速度方向。

    则前轮所受到的横向力为
    F y f = 2 C a f ( δ − θ V f ) (7) F_{yf}=2C_{af}(\delta-\theta_{Vf}) \tag{7} Fyf=2Caf(δθVf)(7)
    后轮所受到的横向力为
    F y r = 2 C a r ( − θ V r ) (8) F_{yr}=2C_{ar}(-\theta_{Vr}) \tag{8} Fyr=2Car(θVr)(8)
    其中, C a f C_{af} Caf​、 C a r C_{ar} Car分别为前后轮的侧偏刚度(cornering stiffness),由于车辆前后各两个轮,所以受力要乘以2。
    结合图4,可以有
    tan ⁡ ( θ V f ) = y ˙ + a φ ˙ V x (9) \tan(\theta_{Vf})=\frac{\dot{y}+a\dot{\varphi}}{V_{x}} \tag{9} tan(θVf)=Vxy˙+aφ˙(9)
    tan ⁡ ( θ V r ) = y ˙ − b φ ˙ V x (10) \tan(\theta_{Vr})=\frac{\dot{y}-b\dot{\varphi}}{V_{x}} \tag{10} tan(θVr)=Vxy˙bφ˙(10)
    式(9),(10)可以近似转换为:
    θ V f = y ˙ + a φ ˙ V x (11) \theta_{Vf}=\frac{\dot{y}+a\dot{\varphi}}{V_{x}} \tag{11} θVf=Vxy˙+aφ˙(11)
    θ V r = y ˙ − b φ ˙ V x (12) \theta_{Vr}=\frac{\dot{y}-b\dot{\varphi}}{V_{x}} \tag{12} θVr=Vxy˙bφ˙(12)
    将式(5),(6),(11),(12)带入式(2),(3)可以得到车辆动力学模型
    d d t [ y y ˙ φ φ ˙ ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C a f + 2 C a r m V x 0 − V x − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r m V x 0 0 0 1 0 − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r I z V x 0 − 2 C a f ℓ f 2 + 2 C a r ℓ r 2 I z V x ] [ y y ˙ φ φ ˙ ] + [ 0 2 C a f m 0 2 C a f ℓ f I z ] δ (13) \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} y \\ \dot{y} \\ \varphi \\ \dot{\varphi} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && -\frac{2C_{af}+2C_{ar}}{mV_{x}} && 0 && -V_{x}- \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{mV_{x}} \\ 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && -\frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{I_{z}V_{x}} && 0 && -\frac{2C_{af}\ell_{f}^{2}+2C_{ar}\ell_{r}^{2}}{I_{z}V_{x}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ \dot{y} \\ \varphi \\ \dot{\varphi} \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2C_{af}}{m} \\ 0 \\ \frac{2C_{af}\ell_{f}}{I_{z}} \\ \end{bmatrix}\delta \tag{13} dtdyy˙φφ˙=00001mVx2Caf+2Car0IzVx2Caff2Carr00000VxmVx2Caff2Carr1IzVx2Caff2+2Carr2yy˙φφ˙+0m2Caf0Iz2Caffδ(13)
    式中, ℓ f \ell_{f} f ℓ r \ell_{r} r分别为车辆的前悬距离,后悬距离,也就是前文中的a,b。

    方向盘控制模型

    横向控制主要通过控制轮胎转角实现,而对于驾驶员来说,可直接操控的是方向盘角度,因此在搭建车辆动力学模型时,可以以相对于道路的方向和距离误差为状态变量的动力学模型。
    如上文所述, e 1 e_1 e1为横向误差,车辆质心到规划轨迹最近投影点的距离, e 2 e_2 e2为航向误差,车辆纵向速度为 V x V_x Vx,车辆转弯半径为 R R R,结合上文有:
    车辆转过期望角度所需角速度
    φ ˙ = V x / R (14) \dot{\varphi}=V_{x}/R \tag{14} φ˙=Vx/R(14)
    所需横向加速度
    a y d e s = V x 2 / R = V x   φ d e s (15) a_{ydes}=V_{x}^{2}/R=V_{x} \space \varphi_{des} \tag{15} aydes=Vx2/R=Vx φdes(15)
    则横向加速度误差
    e ¨ 1 = a y − a y d e s = ( y ¨ + V x φ ˙ ) − V x 2 R = y ¨ + V x ( φ ˙ − φ ˙ d e s ) (16) \ddot{e}_1=a_{y}-a_{ydes}=(\ddot{y}+V_{x}\dot{\varphi})-\frac{V_{x}^{2}}{R}=\ddot{y}+V_{x}(\dot{\varphi} - \dot{\varphi}_{des}) \tag{16} e¨1=ayaydes=(y¨+Vxφ˙)RVx2=y¨+Vx(φ˙φ˙des)(16)
    横向速度误差为
    e ˙ 1 = V y − V y d e s = y ˙ + V x ( φ − φ d e s ) (17) \dot{e}_1=V_{y}-V_{ydes}=\dot{y}+V_{x}(\varphi - \varphi_{des}) \tag{17} e˙1=VyVydes=y˙+Vx(φφdes)(17)
    航向误差
    e 2 = φ − φ d e s (18) e_2=\varphi - \varphi_{des} \tag{18} e2=φφdes(18)
    将式(17),(18)带入式(3),(4)后,有
    d d t [ e 1 e ˙ 1 e 2 e ˙ 2 ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C a f + 2 C a r m V x 2 C a f + 2 C a r m − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r m V x 0 0 0 1 0 − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r I z V x 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r I z − 2 C a f ℓ f 2 + 2 C a r ℓ r 2 I z V x ] [ e 1 e ˙ 1 e 2 e ˙ 2 ] + [ 0 2 C a f m 0 2 C a f ℓ f I z ] δ + [ 0 − V x − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r m V x 0 − 2 C a f ℓ f 2 + 2 C a r ℓ r 2 I z V x ] φ ˙ d e s (19) \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} e_1 \\ \dot{e}_1 \\ e_2 \\ \dot{e}_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && -\frac{2C_{af}+2C_{ar}}{mV_{x}} && \frac{2C_{af}+2C_{ar}}{m} && - \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{mV_{x}} \\ 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && -\frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{I_{z}V_{x}} && \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{I_{z}} && -\frac{2C_{af}\ell_{f}^{2}+2C_{ar}\ell_{r}^{2}}{I_{z}V_{x}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e_1 \\ \dot{e}_1 \\ e_2 \\ \dot{e}_2 \\ \end{bmatrix} \\ +\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2C_{af}}{m} \\ 0 \\ \frac{2C_{af}\ell_{f}}{I_{z}} \\ \end{bmatrix}\delta+ \begin{bmatrix} 0 \\ -V_{x}- \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{mV_{x}} \\ 0 \\ -\frac{2C_{af}\ell_{f}^{2}+2C_{ar}\ell_{r}^{2}}{I_{z}V_{x}} \\ \end{bmatrix}\dot{\varphi}_{des} \tag{19} dtde1e˙1e2e˙2=00001mVx2Caf+2Car0IzVx2Caff2Carr0m2Caf+2Car0Iz2Caff2Carr0mVx2Caff2Carr1IzVx2Caff2+2Carr2e1e˙1e2e˙2+0m2Caf0Iz2Caffδ+0VxmVx2Caff2Carr0IzVx2Caff2+2Carr2φ˙des(19)
    综上,车辆动力学模型在Apollo中主要使用的为横向动力学模型,且有以下假设前提,

    • 侧偏角角度很小
    • 车辆匀速行驶
    • 不考虑环境因素

    再根据上述公式推导,得到横向动力学连续模型转换为可用的近似离散化模型
    x ( k + 1 ) = A x + B u + C (20) x(k+1)=Ax+Bu+C \tag{20} x(k+1)=Ax+Bu+C(20)
    式中,
    A = [ 0 1 0 0 0 − 2 C a f + 2 C a r m V x 2 C a f + 2 C a r m − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r m V x 0 0 0 1 0 − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r I z V x 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r I z − 2 C a f ℓ f 2 + 2 C a r ℓ r 2 I z V x ] , B = [ 0 2 C a f m 0 2 C a f ℓ f I z ] , C = [ 0 − V x − 2 C a f ℓ f − 2 C a r ℓ r m V x 0 − 2 C a f ℓ f 2 + 2 C a r ℓ r 2 I z V x ] φ ˙ d e s A=\begin{bmatrix} 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && -\frac{2C_{af}+2C_{ar}}{mV_{x}} && \frac{2C_{af}+2C_{ar}}{m} && - \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{mV_{x}} \\ 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && -\frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{I_{z}V_{x}} && \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{I_{z}} && -\frac{2C_{af}\ell_{f}^{2}+2C_{ar}\ell_{r}^{2}}{I_{z}V_{x}} \end{bmatrix},\\ B=\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{2C_{af}}{m} \\ 0 \\ \frac{2C_{af}\ell_{f}}{I_{z}} \\ \end{bmatrix},\\ C=\begin{bmatrix} 0 \\ -V_{x}- \frac{2C_{af}\ell_{f}-2C_{ar}\ell_{r}}{mV_{x}} \\ 0 \\ -\frac{2C_{af}\ell_{f}^{2}+2C_{ar}\ell_{r}^{2}}{I_{z}V_{x}} \\ \end{bmatrix}\dot{\varphi}_{des} A=00001mVx2Caf+2Car0IzVx2Caff2Carr0m2Caf+2Car0Iz2Caff2Carr0mVx2Caff2Carr1IzVx2Caff2+2Carr2B=0m2Caf0Iz2CaffC=0VxmVx2Caff2Carr0IzVx2Caff2+2Carr2φ˙des
    Apollo中的LQR控制就是基于此模型的,具体的LQR控制在另外一篇文章中有详细描述。

    前馈控制

    系统加入反馈后,发现还有一个问题,就是相关的项不一定收敛于0,为了解决这个问题,于是就再加入了一个前馈项来进行补偿。
    δ f f = L / R + K v a y − k ( 2 , 0 ) [ ℓ r R − ℓ f 2 C a r m V x 2 R ℓ ] (21) \delta_{ff}=L/R+K_{v}a_{y}-k_{(2,0)}[\frac{\ell_r}{R}-\frac{\ell_{f}}{2C_{ar}}\frac{mV^{2}_{x}}{R\ell}] \tag{21} δff=L/R+Kvayk(2,0)[Rr2CarfRmVx2](21)
    式中,
    K v = ℓ r m 2 C a f ( ℓ f + ℓ r ) − ℓ f m 2 C a r ( ℓ f + ℓ r ) K_v=\frac{\ell_{r}m}{2C_{af}(\ell_f+\ell_r)}-\frac{\ell_{f}m}{2C_{ar}(\ell_f+\ell_r)} Kv=2Caf(f+r)rm2Car(f+r)fm
    a y = V x 2 / R a_y=V_{x}^{2}/R ay=Vx2/R
    注意: k ( 2 , 0 ) k_{(2,0)} k(2,0)是LQR中求解出来的K矩阵。后续会对Apollo中的各个控制算法做详细的记录和说明。

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