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  • 随机梯度算法

    千次阅读 2012-03-15 22:30:14
    随机梯度下降–Stochastic Gradient Descent | 丕子 ...这时,就要乃至随机梯度下降算法了,是用来简化求最小值的计算的。先给W一个初始值,然后朝梯度方向下降,直到不能下降为止,此时即可得到对应的极小

     随机梯度下降–Stochastic Gradient Descent | 丕子 http://www.zhizhihu.com/html/y2012/3731.html

    在求损失度最小值时,我们一般用到导数为0时求相应参数,但有时会导致很高的计算复杂度。这时,就要乃至随机梯度下降算法了,是用来简化求最小值的计算的。先给W一个初始值,然后朝梯度方向下降,直到不能下降为止,此时即可得到对应的极小值,但注意得到的是局部最小值,有时要对初始值进行不断修正。

    但这样,每iteration一次就得用所有数据求一次导数,代价太大,那么每一步只随机抽几个数据点来算一个梯度如何呢?当然可以!这被称之为Stochastic Gradient Descent,非常高效(随机梯度下降算法)。

    记得在ML中的目标函数通常是损失+罚(\ell(h)+\lambda f(h))的形式。例如ridge regression就是平方误差+\ell_2罚,lasso是平方误差+\ell_1罚,SVM是hinge loss+\ell_2罚。最小化这个目标函数可以等价于在f(h)\le\delta的限制下最小化\ell(h)\lambda\delta是一一对应的关系。实际上f(h)\le\delta就是定义了一个凸子空间,例如使用\ell_2罚时就是一个半径为\delta的球。所以,Online Gradient Descent可以online的解这一类目标函数,只是对于不同的罚选择不同的投影子。

    下面是理论分析。记投影前的\tilde h_{t+1} = h_t-\eta_t\nabla\ell_t(h_t),以及offline最优解h^*=\arg\min_{h\in\mathcal{H}}\sum_{t=1}^T\ell_t(h)。因为\mathcal{H}是凸的且h^*在其中,所以对\tilde h_{t+1}投影只会减少其与h^*的距离,既\|h_{t+1}-h^*\|\le\|\tilde h_{t+1}-h^*\|。记\nabla_t=\nabla \ell_t(h_t),注意到

    \displaystyle \|\tilde h_{t+1}-h^*\|^2=\|h_t-h^*\|^2+\eta_t^2\|\nabla_t\|^2-2\eta_t\langle\nabla_t,h_t-h^*\rangle.

    由于\ell_t是凸的,所以有

    \displaystyle \ell_t(h_t)-\ell_t(h^*)\le \langle\nabla_t,h_t-h^*\rangle \le \frac{1}{2\eta_t}\big(\|h_t-h^*\|^2 - \|h_{t+1}-h^*\|^2\big) + \frac{\eta_t}{2}\|\nabla_t\|^2.

    取固定的\eta_t=\eta,对t进行累加就有R(T)\le \frac{1}{2\eta}\|w_1-w^*\|^2+\frac{\eta}{2}\sum_{t=1}^T\|\nabla_t\|^2。记\mathcal{H}的直径为D,且对所有t\|\nabla_t\|\le L成立(既Lipschitz常数为L),再取\eta=\frac{D}{L\sqrt{T}},那么

    \displaystyle R(T)\le LD\sqrt{T}.

    这个bound可以通过设置变动的学习率\eta_t加强。

     

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  • 随机梯度算法(SGDOptimizer)

    千次阅读 2019-11-28 20:55:08
    随机梯度算法(SGDOptimizer) 随机梯度算法是神经网络中最常见的一种优化算法。主要是依据的梯度下降原理 设置要预测的函数为: 损失函数为: 则要使损失函数最小,我们可以使损失函数按照它下降速度最快的地方减小...

    随机梯度算法(SGDOptimizer)

    随机梯度算法是神经网络中最常见的一种优化算法。主要是依据的梯度下降原理
    设置要预测的函数为:
    在这里插入图片描述
    损失函数为:
    在这里插入图片描述
    则要使损失函数最小,我们可以使损失函数按照它下降速度最快的地方减小,因此需要在此列出损失函数的求导公式:
    在这里插入图片描述
    同时由于选用这种方法,可能会陷入局部最小值的问题,同时收敛的速度可能较慢
    所以选用SGD,每次更新的时候使用一个样本进行梯度下降,所谓的随机二字,就是说我们可以随机用一个样本来表示所有的样本,来调整超参数。
    因为这个样本是随机的,所以每次迭代没有办法得到一个准确的梯度,这样一来虽然每一次迭代得到的损失函数不一定是朝着全局最优方向,但是大体的方向还是朝着全局最优解的方向靠近,直到最后,得到的结果通常就会在全局最优解的附近。这种算法相比普通的梯度下降算法,收敛的速度更快,所以在一般神经网络模型训练中,随机梯度下降算法 SGD 是一种非常常见的优化算法。

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  • 使用随机梯度算法对线性模型进行最小二乘学习的算法流程: ①. 给θ以适当的初值。 ②. 随机选择一个训练样本(例如,选择顺序为 的训练样本( , ))。 ③. 对于选定的训练样本,采用使其梯度下降的方式,对参数...

    使用随机梯度算法对线性模型进行最小二乘学习法的算法流程:

    ①. 给θ以适当的初值。

    ②. 随机选择一个训练样本(例如,选择顺序为 的训练样本( , ))。

    ③. 对于选定的训练样本,采用使其梯度下降的方式,对参数θ进行更新。

    在这里, 是名为学习系数的无穷小正标量,表示梯度下降的步幅。 是顺序为 的训练样本相对应的训练平方误差的梯度,表示梯度下降的方向。

    ④.直接解 达到收敛精度为止,重复上述②、③步的计算。

    转载于:https://my.oschina.net/magicalee/blog/1518232

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  • 基于重铸模型的MIMO非线性系统的分层扩展随机梯度法
  • 借鉴https://www.sohu.com/a/131923387_473283中的一段内容:随机梯度下降算法最大的缺点就是在每次更新时可能并不会按照正确的方向进行,因此可能在优化的过程中带来扰动。如图 批处理最后得到是一个局部的最小值...

        借鉴https://www.sohu.com/a/131923387_473283中的一段内容:

    随机梯度下降算法最大的缺点就是在每次更新时可能并不会按照正确的方向进行,因此可能在优化的过程中带来扰动。如图

        批处理最后得到是一个局部的最小值,随机处理用每一个样本更新,可能没有使用全部的数据会在另一个地方找到了局部最小值。让我用一个例子来说明这个问题:

        随机梯度处理就是比如你要找一个东西,第一个村子里最可信的人对你说是黑色的,然后你往一个方向走,后来遇到第二个村子,第二村子最可信的人说是白色的,你可能有点不解往另一个方向走,然后后面的人给你的描述越来越多,最后你发现这个东西整体是黑的,局部是白的,只是每个人描述的部位不同,但最后你肯定完整的知道这个东西长什么样了,你发现大家说的都是同一个地方。同理批处理就是一次性告诉你最可信的所有的描述。

      (这里要寻找的东西的路途就是最后要求的参数θ,最可信就是求极值,村子里的人就是样本,每一次走的方向就是每一次求得的参数

        所以每次给你一个样本,都会给你提供参考,找到一个参数,参数可能有错,但参考的样本越来越多,最后发现参考说的都是这个值,参数只有是这个值的时候才基本符合前面提供的所有参考。
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