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  • 非支配排序遗传算法
    2021-04-24 17:15:36

    NGPM -- A NSGA-II Program in Matlab v1.4

    This program is an implementation of nondominated sorting genetic algorithm II (NSGA-II) proposed by K. Deb. Capabilities:

    1. R-NSGA-II: Reference-point-based NSGA-II.

    2. Coding: real, integer.

    3. GA operator: Intermediate crossover, Gaussian mutation.

    4. Constraint handling.

    5. Parallel computation of objective function evaluation.

    6. Population plot in window.

    I write this program because Aravind Seshadri’ program (File ID#10429) could not satisfy my request. I need constraint handling, integer coding to solve a finite element optimization problem. The finite element solution is very time-expensive, thus the parallel computation of objective evaluation is implemented in the code.

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    一、获取代码方式

    获取代码方式1:
    完整代码已上传我的资源:【优化算法】非支配排序遗传算法(NSGA)【含Matlab源码 176期】

    获取代码方式2:
    通过订阅紫极神光博客付费专栏,凭支付凭证,私信博主,可获得此代码。

    备注:
    订阅紫极神光博客付费专栏,可免费获得1份代码(有效期为订阅日起,三天内有效);

    二、遗传算法简介

    非支配排序遗传算法NSGA(Non-dominated So rng Genetic Algor thms) 是由Srinivas和Deb于1995年提出的”。这是一种基于Pareto最优概念的遗传算法, 它是众多的多目标优化遗传算法中体现God beg思想最直接的方法。该算法就是在基本遗传算法的基础上,对选择再生方法进行改进:将每个个体按照它们的支配与非支配关系进行分层,再做选择操作,从而使得该算法在多目标优化方面得到非常满意的结果。Z it z ler与Thiele等191曾对NSGA、NPG A、VEGA, 与Haj ela和Lin的加权向量算法以及纯随机搜索算法,作了系统的定量实验比较。通过采用多背包问题扩展形式的九种不同规模设置作为数值型多目标测试问题,经过全面的比较分析, 得到比较结果:NSGA的性能最优, 其次是VEGA, 而NPG A与Haj ela和Lin的加权向量算法的全部实验结果不分上下例。虽然这种比较结果不能无限制
    的外推, 但是它在一定程度上说明了NSGA具有一定的优越性。因此, 对该算法进行理论研究和应用研究具有十分重要的意义。

    虽然NSGA与其它多目标优化遗传算法比较具有一定的优越性:优化目标个数任选,非劣最优解分布均匀,并允许存在多个不同的等价解。但它仍存在一些问题(例:a)计算复杂度较高,当种群较大时,计算相当耗时;b)没有精英策略,精英策略可以加速算法的执行速度,而且也能在一定程度上确保已经找到的满意解不被丢失; c) 需要指定共享半径o, hare·

    三、部分源代码

    function NSGAII()
    clc;
    % format compact;
    tic;
    % hold on
    
    %--初始化 参数设定
    generations=100;        %迭代次数
    popnum=100;             %种群大小(偶数)
    poplength=30;           %个体长度
    minvalue=repmat(zeros(1,poplength),popnum,1);   %个体最小值---B = repmat(A, m, n) %将矩阵A复制m*n块,即B由m*n块A平铺而成
    maxvalue=repmat(ones(1,poplength),popnum,1);    %个体最大值
    population=rand(popnum,poplength).*(maxvalue-minvalue)+minvalue;    %产生新的初始种群
    
        %--开始迭代进化
        for gene=1:generations      %开始迭代
    
            %--交叉
            newpopulation=zeros(popnum,poplength);  %子代种群
            for i=1:popnum/2                        %交叉产生子代
                k=randperm(popnum);                 %从种群中随机选择出两个父母,不采用二进制联赛方法
                beta=(-1).^round(rand(1,poplength)).*abs(randn(1,poplength))*1.481;     %采用正态分布交叉产生两个子代
                newpopulation(i*2-1,:)=(population(k(1),:)+population(k(2),:))/2+beta.*(population(k(1),:)-population(k(2),:))./2;  %产生第一个子代
                newpopulation(i*2,:)=(population(k(1),:)+population(k(2),:))/2-beta.*(population(k(1),:)-population(k(2),:))./2;    %产生第二个子代
            end
            %--变异
           
            newpopulation(temp)=newpopulation(temp)+(maxvalue(temp)-minvalue(temp)).*((2.*miu(temp)+(1-2.*miu(temp)).*(1-(newpopulation(temp)-minvalue(temp))./(maxvalue(temp)-minvalue(temp))).^21).^(1/21)-1);        %变异情况一
            newpopulation(temp)=newpopulation(temp)+(maxvalue(temp)-minvalue(temp)).*(1-(2.*(1-miu(temp))+2.*(miu(temp)-0.5).*(1-(maxvalue(temp)-newpopulation(temp))./(maxvalue(temp)-minvalue(temp))).^21).^(1/21));  %变异情况二
    
            %--越界处理/种群合并
            newpopulation(newpopulation>maxvalue)=maxvalue(newpopulation>maxvalue); %子代越上界处理
            newpopulation(newpopulation<minvalue)=minvalue(newpopulation<minvalue); %子代越下界处理
          
    
            %--计算目标函数值
            functionvalue=zeros(size(newpopulation,1),2);   %合并后种群的各目标函数值,这里问题是ZDT1
            functionvalue(:,1)=newpopulation(:,1);   %计算第一维目标函数值
            g=1+9*sum(newpopulation(:,2:poplength),2)./(poplength-1);
            functionvalue(:,2)=g.*(1-(newpopulation(:,1)./g).^0.5); %计算第二维目标函数值
    
            %--非支配排序
            fnum=0;     %当前分配的前沿面编号
            cz=false(1,size(functionvalue,1));      %记录个体是否已被分配编号
            frontvalue=zeros(size(cz));             %每个个体的前沿面编号
            [functionvalue_sorted,newsite]=sortrows(functionvalue); %对种群按第一维目标值大小进行排序 则第一行个体p即为种群中支配个体p的数量为零的个体,Np=0
            while ~all(cz)      %开始迭代判断每个个体的前沿面,采用改进的deductive sort
                fnum=fnum+1;
                d=cz;
                
                    if ~d(i)
                        for j=i+1:size(functionvalue,1) %判断i对应的所有集合里面的支配和非支配的解,被i支配则为1,不被i支配则为0
                            if ~d(j)
                                k=1;
                                for m=2:size(functionvalue,2) %判断是否支配,找到个体p不支配的个体,标记为k=0
                                    if functionvalue_sorted(i,m)>functionvalue_sorted(j,m) %判断i,j是否支配,如果成立i,j互不支配
                                        k=0; %i,j互不支配
                                        break;
                                    end
                                end
                                if k
                                    d(j)=true;  %那么p所支配的个体k=1并记录在d里,则后面该个体已被支配就不能在这一层里进行判断
                                end
                            end
                        end
                        frontvalue(newsite(i))=fnum; %实际位置的非支配层赋值
                        cz(i)=true;
                    end
                end
            end
    
            %--计算拥挤距离/选择出下一代个体
           
            popu=find(frontvalue==fnum+1);   %popu记录第fnum+1个面上的个体编号
            distancevalue=zeros(size(popu));    %popu各个体的拥挤距离
            fmax=max(functionvalue(popu,:),[],1);   %popu每维上的最大值
            fmin=min(functionvalue(popu,:),[],1);   %popu每维上的最小值
            for i=1:size(functionvalue,2)   %分目标计算每个目标上popu各个体的拥挤距离
                [~,newsite]=sortrows(functionvalue(popu,i)); %popu里对第一维排序之后的位置
                distancevalue(newsite(1))=inf;
                distancevalue(newsite(end))=inf;
                for j=2:length(popu)-1
                    distancevalue(newsite(j))=distancevalue(newsite(j))+(functionvalue(popu(newsite(j+1)),i)-functionvalue(popu(newsite(j-1)),i))/(fmax(i)-fmin(i)); %
                end
            end
            popu=-sortrows(-[distancevalue;popu]')';    %按拥挤距离降序排序第fnum+1个面上的个体
            population(newnum+1:popnum,:)=newpopulation(popu(2,1:popnum-newnum),:); %将第fnum+1个面上拥挤距离较大的前popnum-newnum个个体复制入下一代
        end
    
    %--程序输出
    fprintf('已完成,耗时%4s秒\n',num2str(toc));    %程序最终耗时
    output=sortrows(functionvalue(frontvalue==1,:));    %最终结果:种群中非支配解的函数值
    plot(output(:,1),output(:,2),'*b');             %作图
    axis([0,1,0,1]);
    xlabel('F_1');
    ylabel('F_2');
    title('ZDT1');
    
    

    四、运行结果

    在这里插入图片描述

    五、matlab版本及参考文献

    1 matlab版本
    2014a

    2 参考文献
    [1]包子阳 ,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例(第2版)[J].电子工业出版社
    [2]高媛.非支配排序遗传算法(NSGA)的研究与应用[D].浙江大学

    展开全文
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    第三代非支配遗传算法是针对高维多目标优化计算代价大,难以挑选Pareto解的情况而开发的,基本流程与NSGA-II相似,但选择个体的方法加入了基于参考点的方法,能够有效降低计算代价。

    NSGA-III 首先定义一组参考点。然后随机生成含有 N 个个体的初始种群,其中 N 是种群大小。接下来,算法进行迭代直至终止条件满足。在第 t 代,算法在当前种群 Pt的基础上,通过交叉和变异产生子代种群 Qt。Pt和 Qt的大小均为 N。因此,两个种群 Pt和 Qt合并会形成种群大小为 2N 的新的种群 Rt=Pt∪Qt。

    为了从种群 Rt中选择最好的 N 个解进入下一代,首先利用基于Pareto支配的非支配排序将 Rt分为若干不同的非支配层(F1,F2等等)。然后,算法构建一个新的种群St,构建方法是从 F1开始,逐次将各非支配层的解加入到 St,直至 St的大小等于 N,或首次大于 N。假设最后可以接受的非支配层是 L层,那么在 L+ 1 层以及之后的那些解就被丢弃掉了,且 St\ FL中的解已经确定被选择作为 Pt+1中的解。Pt+1中余下的个体需要从 FL中选取,选择的依据是要使种群在目标空间中具有理想的多样性。

    比如你的N设置为100,那么Pt大小为100,Qt是Pt交叉和变异后的个体,Qt的数目也是100,那么Rt=Pt∪Qt,Rt数目是两百,现在只要从这两百中选100个个体进行下一轮迭代。

    那么怎么从这两百个选一百个呢?NSGA的思想首先是把所有解进行分非支配排序,假设问题为最小化问题,那么目标值越小越好,若个体A三个目标值是(2,3,5),B的三个目标是(4,3,5),C的三个目标是(3,3,4),那么个体A和C放入F1层,其等级为1,F2层是B,等级为2,以此类推。假如一共有8层非支配层(F1,F2,。。。,F8),你选到F1+F2+F3+…+F7时候已经有90个个体了,而F8层有20个个体,那么怎么在F8选这10个个体,即怎么在F8里的20个选十个,NSGA2用的是基于拥挤距离的方法,而NSGA3用的是基于参考点的方法。这是NSGA-III区别于NSGA-II的显著特征。( St\ FL里面,St就是这里的F1到F7的所有个体的总和,F8就是FL,St\ FL这个符号意思就是已经被选择的F1到F7所有个体)

    在原始NSGA-II中,FL中具有较大拥挤距离的解会优先被选择。然而,拥挤距离度量并不适合求解 高维多目标优化问题(三个及更多目标的多目标优化问题)。因此 NSGA-III 不再采用拥挤距离,而是采用了新的选择机制,该机制会通过所提供的参考点,对 St中的个体进行更加系统地分析,以选择 FL中的部分解进入 Pt+1。

    算法步骤如下:

    1. 分支配排序、分层

    2. 生成参考点

    3. 计算理想点

    即求解这一代种群所有目标每个维度的的最小值。比如A三个目标值是(2,3,5),B的三个目标是(4,3,5),C的三个目标是(3,3,4),那么 ideal point为(2,3,4)。

    4. 将解空间零点挪到上述理想点

    5. 找出极值点(以上几个步骤是常规操作,较好理解,这里专门阐述较难理解的极值点生成公式)

    647a6d0c5d7722be595148ea3ba4223d.png

    这个公式通过将群体中的个体均与一个同维度的向量点除找出极值点,这个向量ωi的特点是,除了第i位数字为1,其余都为一个极小值,比如0.000001。这个算法看起来很难,但其实很好理解,用下一张图来表示。

    98169564eb220e60bb00b6b101811736.png

    比方说我们现在想找出哪个点离x轴(1号轴)最近,那么ω1=[1, 0.000001],那么上图中的两个点分别点除这个向量会得到:【1,2000 000】,【3,500 000】,那么这两个个体(点)的最大值分别为2000 000和500 000,公式外面的argmin的意思就是说我要的点是带有500 000这个值的点,这样就把离X轴最近的点(极值点)找出来了。找出各个轴的极值点,就能构建超平面(对于上图只有两个个体的情况,超平面其实就是通过两个点的直线),超平面和坐标轴的交点即可得到截距,有多少个坐标轴,就有多少个截距,把所有个体点除包含所有截距的向量,就是个体的归一化,个体即映射到参考点所在的归一化平面上。

    6.将所有个体关联到参考点(根据参考点和个体之间的欧几里得距离或其他距离)

    7.依据参考点的小生境从F8层提取10个个体加入到下一代种群中。

    8.迭代往复进行,直至达到收敛条件。

    展开全文
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    1. 非支配排序遗传算法(NSGA)

    1995年,Srinivas和Deb提出了非支配排序遗传算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithms,NSGA)。这是一种基于Pareto最优概念的遗传算法。

    (1) 基本原理

    NSGA与简单的遗传算法的主要区别在于:该算法在选择算子执行之前根据个体之间的支配关系进行了分层。其选择算子、交叉算子和变异算子与简单遗传算法没有区别。

    在选择操作执行之前,种群根据个体之间的支配与非支配关系进行排序:

    首先,找出该种群中的所有非支配个体,并赋予他们一个共享的虚拟适应度值。得到第一个非支配最优层;

    然后,忽略这组己分层的个体,对种群中的其它个体继续按照支配与非支配关系进行分层,并赋予它们一个新的虚拟适应度值,该值要小于上一层的值,对剩下的个体继续上述操作,直到种群中的所有个体都被分层。

    算法根据适应度共享对虚拟适应值重新指定:

    比如指定第一层个体的虚拟适应值为1,第二层个体的虚拟适应值应该相应减少,可取为0.9,依此类推。这样,可使虚拟适应值规范化。保持优良个体适应度的优势,以获得更多的复制机会,同时也维持了种群的多样性。

    (2) 算法流程

    NSGA采用的非支配分层方法,可以使好的个体有更大的机会遗传到下一代;适应度共享策略则使得准Pamto面上的个体均匀分布,保持了群体多样性,克服了超级个体的过度繁殖,防止了早熟收敛。算法流程如图所示:

    (3) 算法缺陷

    非支配排序遗传算法(NSGA)在许多问题上得到了应用。但NSGA仍存在一些问题:

    a) 计算复杂度较高,为O(mN^{3})(m为目标函数个数,N为种群大小),所以当种群较大时,计算相当耗时。

    b) 没有精英策略;精英策略可以加速算法的执行速度,而且也能在一定程度上确保已经找到的满意解不被丢失。

    c) 需要指定共享半径\sigma_{share}

    2. 带精英策略的非支配排序的遗传算法(NSGA-II)

    2000年,Deb又提出NSGA的改进算法一带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-II),针对以上的缺陷通过以下三个方面进行了改进:

    a) 提出了快速非支配排序法,降低了算法的计算复杂度。由原来的O(mN^{3})降到O(mN^{2}),其中,m为目标函数个数,N为种群大小。

    b) 提出了拥挤度和拥挤度比较算子,代替了需要指定共享半径的适应度共享策略,并在快速排序后的同级比较中作为胜出标准,使准Pareto域中的个体能扩展到整个Pareto域,并均匀分布,保持了种群的多样性。

    c) 引入精英策略,扩大采样空间。将父代种群与其产生的子代种群组合,共同竞争产生下一代种群,有利于保持父代中的优良个体进入下一代,并通过对种群中所有个体的分层存放,使得最佳个体不会丢失,迅速提高种群水平。

    (1) 基本原理

    快速非支配排序法:

    NSGA-II对第一代算法中非支配排序方法进行了改进:对于每个个体 i 都设有以下两个参数 n(i) 和 S(i),

    n(i) 为在种群中支配个体 i 的解个体的数量。(别的解支配个体 i 的数量)

    S(i) 为被个体 i 所支配的解个体的集合。(个体 i 支配别的解的集合)

    1) 首先,找到种群中所有 n(i)=0 的个体(种群中所有不被其他个体至配的个体 i),将它们存入当前集合F(1);(找到种群中所有未被其他解支配的个体)

    2) 然后对于当前集合 F(1) 中的每个个体 j,考察它所支配的个体集 S(j),将集合 S(j) 中的每个个体 k 的 n(k) 减去1,即支配个体 k 的解个体数减1(因为支配个体 k 的个体 j 已经存入当前集 F(1) );(对其他解除去被第一层支配的数量,即减一)

    3) 如 n(k)-1=0则将个体 k 存入另一个集H。最后,将 F(1) 作为第一级非支配个体集合,并赋予该集合内个体一个相同的非支配序 i(rank),然后继续对 H 作上述分级操作并赋予相应的非支配序,直到所有的个体都被分级。其计算复杂度为O(mN^{2}),m为目标函数个数,N为种群大小。(按照1)、2)的方法完成所有分级)

    确定拥挤度:

    在原来的NSGA中,我们采用共享函数以确保种群的多样性,但这需要由决策者指定共享半径的值。为了解决这个问题,我们提出了拥挤度概念:在种群中的给定点的周围个体的密度,用 i_{d} 表示,它指出了在个体 i 周围包含个体 i 本身但不包含其他个体的长方形(以同一支配层的最近邻点作为顶点的长方形)

    如图所示:

    拥挤度比较算子: 

    从图中我们可以看出 i_{d} 值较小时表示该个体周围比较拥挤。为了维持种群的多样性,我们需要一个比较拥挤度的算予以确保算法能够收敛到一个均匀分布的Pareto面上。

    由于经过了排序和拥挤度的计算,群体中每个个体 i 都得到两个属性:非支配序 i(rank) 和拥挤度 i_{d},则定义偏序关系\prec _{n}:当满足条件 i(rank) < i_{d},或满足 i(rank) = i_{d} 且 i_{d}j_{d}。时,定义i\prec _{n}j,。也就是说:如果两个个体的非支配排序不同,取排序号较小的个体(分层排序时,先被分离出来的个体);如果两个个体在同一级,取周围较不拥挤的个体。

    (2) 算法流程

    首先,随机初始化一个父代种群P(0),并将所有个体按非支配关系排序且指定一个适应度值,如:可以指定适应度值等于其非支配序 i(rank),则1是最佳适应度值。然后,采用选择、交叉、变异算子产生下一代种群Q(0),大小为N。

    如图,首先将第 t 代产生的新种群Q(t)与父代P(t)合并组成R(t),种群大小为2N。然后R(t)。进行非支配排序,产生一系列非支配集 F(t) 并计算拥挤度。由于子代和父代个体都包含在 R(t) 中,则经过非支配排序以后的非支配集 F(1) 中包含的个体是 R(t) 中最好的,所以先将 F(1) 放入新的父代种群 P(t+1) 中。如果 F(1) 的大小小于N,则继续向 P(t+1) 中填充下一级非支配集 F(2),直到添加 F(3) 时,种群的大小超出N,对 F(3) 中的个体进行拥挤度排序(sort(F(3),\prec _{n})),取前N-\left | P(t+1)) \right |个个体,使 P(t+1) 个体数量达到N。然后通过遗传算子(选择、交叉、变异)产生新的子代种群 Q(t+1)。

    算法的整体复杂性为O(mN^{2}),由算法的非支配排序部分决定。


    通过介绍非支配排序遗传算法(NSGA)及其改进算法NSGA-II的基本原理和流程,我们了解到NSGA-II解决了NSGA中存在的3个问题:降低了计算复杂度;引入精英策略;采用拥挤度及其比较算子代替了共享半径。使得NSGA-Ⅱ在处理多目标优化问题上有更好的性能。

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    参考文献:

    非支配排序遗传算法(NSGA)的研究与应用

    带精英策略的非支配排序遗传算法的研究与应用

    展开全文
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非支配排序遗传算法

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