永磁交流伺服电动机的定子磁场由定子的三相绕组的磁势( 或磁动势) 产生的，根据电动机旋转磁场理论可知，向对称的三相绕组中通以对称的三相正弦电流时，就会产生合成磁势，它是一个在空间以 ω 速度旋转的空间矢量。如果用磁势或电流空间矢量来描述等效的三相磁场、两相磁场和旋转直流磁场，并对它们进行坐标变换，就称为矢量坐标变换。Clarke变换是三相平面坐标系0ABC 向两相平面直角坐标系$0\alpha \beta$的转换。

1. 等幅值变换

在复平面上的矢量$\vec{v}$总能够用互差 120 度的 abc 三轴系中的分量$x_a$、$x_b$、$x_c$等效表示（a 轴与复平面的实轴重合），如下所示（ $\vec{x}$和${\vec{x}}_0$将合成矢量$\vec{v}$）。
$$\vec{x}=k(x_a+\rho x_b+{\rho }^{\text{2}}{x}_c)\text{\hspace{1em}( 1-1 )}$$ $${\vec{x}}_0=k_0(x_a+x_b+x_c)\text{\hspace{1em}( 1-2 )}$$

其中，$\rho =e^{j\frac{2}{3}\pi }=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}$、${\rho }^2=e^{j\frac{4}{3}\pi }=e^{-j\frac{2}{3}\pi }=-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}$；${\vec{x}}_0$的方向与复平面的实轴方向一致。所以有（1-2）式可表示为：
$$x_0=k_0(x_a+x_b+x_c)\text{\hspace{1em}( 1-3 )}$$写出（1-1）式的实部与虚部如下：
( 1-4 )  Re { x ⃗ } = k ( x a − 1 2 x b − 1 2 x c ) = k [ x a − 1 2 ( x b + x c ) ] ~\text{Re}\left\{ {\vec{x}} \right\}=k({{x}_{a}}-\dfrac{1}{2}{{x}_{b}}-\dfrac{1}{2}{{x}_{c}})=k[{{x}_{a}}-\dfrac{1}{2}({{x}_{b}}+{{x}_{c}})]\tag{ 1-4 }  Re{x }=k(xa​−21​xb​−21​xc​)=k[xa​−21​(xb​+xc​)]( 1-4 ) ( 1-5 ) Im { x ⃗ } = k 3 2 ( x b − x c ) \text{Im}\left\{ {\vec{x}} \right\}=k\dfrac{\sqrt{3}}{2}({{x}_{b}}-{{x}_{c}})\tag{ 1-5 } Im{x }=k23 ​​(xb​−xc​)( 1-5 )由（1-3）式可得：
$$x_b+x_c=\frac{x_0}{k_0}-x_a\text{\hspace{1em}( 1-6 )}$$ 代入（1-6）到（1-4）式中可得：
( 1-7 )  Re { x ⃗ } = k [ x a − 1 2 ( x b + x c ) ] = k [ x a − 1 2 ( x 0 k 0 − x a ) ] = 3 2 k x a − 1 2 k x 0 k 0 ~\text{Re}\left\{ {\vec{x}} \right\}=k[{{x}_{a}}-\dfrac{1}{2}({{x}_{b}}+{{x}_{c}})]=k[{{x}_{a}}-\dfrac{1}{2}(\dfrac{{{x}_{0}}}{{{k}_{0}}}-{{x}_{a}})]=\dfrac{3}{2}k{{x}_{a}}-\dfrac{1}{2}\dfrac{k{{x}_{0}}}{{{k}_{0}}}\tag{ 1-7 }  Re{x }=k[xa​−21​(xb​+xc​)]=k[xa​−21​(k0​x0​​−xa​)]=23​kxa​−21​k0​kx0​​( 1-7 ) 等幅值变换时，规定
( 1-8 )  Re { x ⃗ } = x a + x 0 ~\text{Re}\left\{ {\vec{x}} \right\}={{x}_{a}}+{{x}_{0}}\tag{ 1-8 }  Re{x }=xa​+x0​( 1-8 )

代入（1-8）到（1-7）可得：
$$\frac{3}{2}k{x}_a-\frac{1}{2}\frac{k{x}_0}{k_0}=x_a+x_0\text{\hspace{1em}( 1-9 )}$$

对比（1-9）式两端的$x_a$和$x_0$的系数可解得：$k=\frac{2}{3}$、$k_0=\frac{1}{3}$。
将实轴用a 轴代替，虚轴用 b 轴代替，代入$k$、$k_0$到（1-3）（1-4）（1-5）得到 Clarke 变换的等幅值变换形式：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{\alpha }=\frac{2}{3}[x_a-\frac{1}{2}(x_b+x_c)]=\frac{2}{3}{x}_a-\frac{1}{3}{x}_b-\frac{1}{3}{x}_c\\ x_{\beta }=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(x_b-x_c)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x_b-x_c)\\ x_0=\frac{1}{3}{x}_a+\frac{1}{3}{x}_b+\frac{1}{3}{x}_c\end{array}\text{\hspace{1em}( 1-10 )}$$

写为矩阵形式为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\\ x_0\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_a\\ x_b\\ x_c\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 1-11 )}$$
即，等幅值的Clarke变换矩阵为：
$$C_{Clarke}=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

2. 等功率Clarke变换

等功率矢量坐标变换必须要遵循如下原则:

• (1) 应遵循变换前后电流所产生的旋转磁场等效；
• (2) 应遵循变换前后两系统的电动机功率不变。

将原来坐标下的电压$u$和电流$i$变换为新坐标下的$u^{\prime }$和电流$i^{\prime }$。我们希望它们有相同的变换矩阵$C$，因此有:
$$u=C{u}^{\prime }\text{\hspace{1em}( 2-1 )}$$ $$i=C{i}^{\prime }\text{\hspace{1em}( 2-2 )}$$

为了能实现逆变换，变换矩阵$C$必须存在逆矩阵$C^{-1}$，因此变换矩阵$C$必须是方阵，而且其行列式的值必须不等于零。因为$u=zi$，$z$是阻抗矩阵，所以
$$u^{\prime }=C^{-1}u=C^{-1}zi=C^{-1}zC{i}^{\prime }=z^{\prime }{i}^{\prime }\text{\hspace{1em}( 2-3 )}$$

式中，z’是变换后的阻抗矩阵，而它为
$$z^{\prime }=C^{-1}zC\text{\hspace{1em}( 2-4 )}$$ 为了满足功率不变的原则，在一个坐标下的电功率$i^{T}u=u_1{i}_1+u_2{i}_2+\dots +u_n{i}_n$应该等于另一坐标下的电功率${i^T}^{\prime }{u}^{\prime }={u_1}^{\prime }{i_1}^{\prime }+{u_2}^{\prime }{i_2}^{\prime }+\dots +{u_n}^{\prime }{i_n}^{\prime }$，即
$$i^{T}u={i^T}^{\prime }{u}^{\prime }\text{\hspace{1em}( 2-5 )}$$ 而

$$i^{T}u={\left(C{i}^{\prime }\right)}^{T}C{u}^{\prime }={i^T}^{\prime }{C}^{T}C{u}^{\prime }\text{\hspace{1em}( 2-6 )}$$

为了使式( 2-5) 与式(2- 6) 相同，必须有
$$C^{T}C=I或C^T=C^{-1}\text{\hspace{1em}( 2-7 )}$$

因此，变换矩阵 C 应该是一个正交矩阵。

在以上公式中，其中 $C^{-1}$为$C$的逆阵;$i^T$为$i$的转置矩阵;${i^T}^{\prime }$为$i^{\prime }$的转置矩阵; $C^T$为$C$的转置矩阵;$I$为单位矩阵;$z$、$z^{\prime }$分别为阻抗矩阵; u，u’，i，i’分别为电压、电流列或行矩阵; 同时,依矩阵运算法则有:$C^{-1}C=I$;${\left(C{i}^{\prime }\right)}^T={i^T}^{\prime }{C}^T$;${\left(kC\right)}^T=k{C}^T$;$u=C{u}^{\prime }$，则有$u^{\prime }=C^{-1}u$。

图1为定子三相电动机绕组 A、B、C 的磁势矢量和两相电动机绕组$\alpha$、$\beta$的磁势矢量的空间位置关系。其中选定 A 轴与$\alpha $轴重合。根据矢量坐标变换原则，两者的磁场应该完全等效，即合成磁势矢量分别在两个坐标系坐标轴上的投影应该相等，如图 1 所示。

因此有：
$$\{\begin{array}{l}{N}_2{i}_{\alpha }=N_3{i}_A+N_3{i}_B\cos 120{}^{\circ }+N_3{i}_C\cos (-120{}^{\circ })\\ N_2{i}_{\beta }=0+N_3{i}_B\sin 120{}^{\circ }+N_3{i}_C\sin (120{}^{\circ })\end{array}\text{\hspace{1em}( 2-8 )}$$

也即:
$$\{\begin{array}{l}{i}_{\alpha }=\frac{N_3}{N_2}{i}_A-\frac{1}{2}{i}_B-\frac{1}{2}{i}_C\\ i_{\beta }=\frac{N_3}{N_2}0+\frac{\sqrt{3}}{2}{i}_B\frac{\sqrt{3}}{2}{i}_C\end{array}\text{\hspace{1em}( 2-9 )}$$

式中，N2、N3分别表示三相电动机和两相电动机定子每相绕组的有效匝数。式(2-9) 用矩阵表示，即
$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\frac{N_3}{N_2}\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-10 )}$$

转换矩阵$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\end{array}\right]$不是方阵，因此不能求逆阵。所以需要引进一个独立$i_{\alpha }$和$i_{\beta }$的新变量$i_0$，称它为零轴电流。零轴是同时垂直于$\alpha$和$\beta$轴的轴，因此形成$\alpha -\beta -0$轴坐标系。定义:
$$\{\begin{array}{l}{N}_2{i}_0=k(N_3{i}_A+N_3{i}_B+N_3{i}_C)\\ i_0=\frac{N_3}{N_2}k\left(i_A+i_B+i_C\right)\end{array}\text{\hspace{1em}( 2-11 )}$$

式中，k 为待定系数。所以，式(2-10 改写成:
$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_0\end{array}\right]=\frac{N_3}{N_2}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ k& k& k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-12 )}$$ 式中，定义矩阵 C 为:
$$C=\frac{N_3}{N_2}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ k& k& k\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-13 )}$$
其$C$的转置矩阵$C^T$为:
$$C^T=\frac{N_3}{N_2}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& k\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& k\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& k\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-14 )}$$
求其$C$的逆阵$C^{-1}$为:
$$C^{-1}=\frac{2N_2}{3N_3}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-15 )}$$
为了满足功率不变变换原则，有$C^T=C^{-1}$。令式(2-14) 和式(2-15) 相等，则有: $$\frac{2N_2}{3N_3}=\frac{N_3}{N_2}；\frac{1}{2k}=k$$
可分别求得：
$$\frac{N_3}{N_2}=\sqrt{\frac{2}{3}}，k=\sqrt{\frac{1}{2}}\text{\hspace{1em}( 2-16 )}$$
将式(2-16) 代入式(2- 13) 和式(2- 15) ，则得:
$$C=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-17 )}$$
$$C^{-1}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-18 )}$$
因此: Clarke 变换( 或 3 /2 变换) 式为:
$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_0\end{array}\right]=C\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 2-19 )}$$
Clarke逆变换为：
$$\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]=C^{-1}C\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]=C^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_0\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_0\end{array}\right]$$

3. $abc-\alpha \beta -dq$变换（包含Clarke变换和Park变换）

3.1恒幅值变换

（1）$abc\to dq0$：
$$C=C_{abc\to dq0}=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \cos (\theta -\frac{2\pi }{3})& \cos (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ -\sin \theta & -\sin (\theta -\frac{2\pi }{3})& -\sin (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$
（2）$abc\to \alpha \beta 0$：
$$C_{Clarke}=C_{abc\to \alpha \beta 0}^{}=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos 0& \cos (-\frac{2\pi }{3})& \cos (+\frac{2\pi }{3})\\ -\sin 0& -\sin (-\frac{2\pi }{3})& -\sin (+\frac{2\pi }{3})\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$
（3）$\alpha \beta \to dq$：
$$C_{Park}=C_{\alpha \beta \to dq}^{}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
$$C_{Park}^{-1}=C_{dq\to \alpha \beta }^{}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

3.2恒功率变换

（1）$abc\to dq0$：
$$C=C_{abc\to dq0}^{}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \cos (\theta -\frac{2\pi }{3})& \cos (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ -\sin \theta & -\sin (\theta -\frac{2\pi }{3})& -\sin (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$
$$C_{dq0\to abc}^{}={(C_{abc\to dq0})}^{-1}={(C_{abc\to dq0})}^T$$
（2）$abc\to \alpha \beta 0$：
$$C_{Clarke}=C_{abc\to \alpha \beta 0}^{}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\cos 0& \cos (-\frac{2\pi }{3})& \cos (+\frac{2\pi }{3})\\ -\sin 0& -\sin (-\frac{2\pi }{3})& -\sin (+\frac{2\pi }{3})\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$
（3）$\alpha \beta \to dq$：
$$C_{Park}=C_{\alpha \beta \to dq}^{}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
$$C_{Park}^{-1}=C_{dq\to \alpha \beta }^{}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

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FOC坐标变换

这里简述FOC中用到的用到的Clarke和Park坐标变换所涉及到的公式，想要更加详细了解可自行百度。

1. Clarke变换（3s/2s）

$$N_3:三相绕组每相绕组匝数$$

$$N_2:两相绕组每相绕组匝数$$

各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其相关空间矢量均位于有关相的坐标轴上。设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在Alpha和Beta轴上的投影都应相等，因此
$$N_2{i}_2=N_3{i}_A-N_3{i}_{B}cos60-N_3{i}_{C}cos60=N_3(i_A-\frac{1}{2}{i}_B-\frac{1}{2}{i}_C)$$

$$N_2{i}_2=N_3{i}_{B}sin60-N_3{i}_{C}sin60=\frac{\sqrt{3}}{2}{N}_3(i_B-i_C)$$
考虑变换前后总功率不变，可得匝数比应为
$$\frac{N_3}{N_2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

则Clarke变换：

Clarke反变换：

如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有
$$i_A+i_B+i_C=0$$
则有：


进行标幺化（以$\sqrt{\frac{2}{3}}$为基准值）：
$$i_{\alpha }=i_A$$

$$i_{\beta }=(i_A+2i_B)/\sqrt{3}$$

2. Park变换（2s/2r）

两个交流电流 $i_{\alpha }$ 、$i_{\beta }$ 和两个直流电流 $i_d$ 、$i_q$ ，产生同样的以同步转速 ${\omega }_1$旋转的合成磁动势$F_s$

$d$、$q$轴和矢量 $F_s(i_s)$都以转速 ${\omega }_1$ 旋转，分量 $i_d$、$i_q$ 的长短不变。$\alpha$轴与 $d$轴的夹角 $\omega$ 随时间变化

由图可见，$i_{\alpha }$、$i_{\beta }$和$i_d$、$iq$之间存在下列的关系
$$i_{\alpha }=i_{d}cos\theta -i_{q}sin\theta$$

$$i_{\beta }=i_{d}sin\theta +i_{q}cos\theta$$

写成矩阵的形式为：

坐标系变换矩阵为：