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  • 傅里叶变换(二维离散傅里叶变换)

    万次阅读 多人点赞 2018-06-15 22:22:35
    (1)可分离性: 二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次一维的FFT来得到二维快速傅里叶FFT算法。根据快速傅里叶变换的计算要求,需要图像的行数、列数均满足2...

    离散二维傅里叶变换

    一常用性质:

           可分离性、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理;

    (1)可分离性:

       二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次一维的FFT来得到二维快速傅里叶FFT算法。根据快速傅里叶变换的计算要求,需要图像的行数、列数均满足2的n次方,如果不满足,在计算FFT之前先要对图像补零以满足2的n次。

       一个M行N列的二维图像f(x,y),先按行队列变量y做一次长度为N的一维离散傅里叶变换,再将计算结果按列向对变量x做一次长度为M傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果,如式所示:

                          

    将上式分解开来就是如下的两部分,先得到F(x,v),再由F(x,v)得到F(u,v):

                            


    计算过程如下:


    每一行由N个点,对每一行的一维N点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u),再对得到F(x,u)按列向对每一列做M点的离散傅里叶变换,就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v).

    同样,做傅里叶逆变换时,先对列向做一维傅里叶逆变换,再对行做一维逆傅里叶变换,如下式所示:


    (2)周期性和共轭对称性

    由傅里叶变换的基本性质可以知道,离散信号的频谱具有周期性。离散傅里叶变换DFT和它的里变换都以傅里叶变换的点数N为周期的。

    对于一维傅里叶变换有:

    对于二维傅里叶变换有:

    类似有:即从DFT角度来看,反变换得到的图像阵列也是二维循环的。

    共轭对称性

    对于一维信号有:F(u)=F*(-u),如图所示的一维信号的幅度谱:点数为M的傅里叶变换一个周期为M,关于原点对称。原点即为0频率点,从图中可以看出在0频率的值最大,即信号f(x)的直流分量(均值),远离原点处的即为高频成份,高频成份的幅值较小,说明信号的大部分能量集中在低频部分。


    对于二维信号有:F(u,v)=F*(-u,-v)对于二维图像,其结果如图c所示。左上角(0,0)处为二维图像得0频率点,该点得值对应图像的平均灰度值,图中四个角对应低频成分,中间区域为高频成份,低频区域的幅度值打羽高频区域的幅度值,也同样表示该信号的主要能量集中在低频区域。


    根据周期性和共轭对称性,在对图像进行频谱分析处理时只需要关注一个周期就可以了,同时利用图像的傅里叶变换和傅里叶变换的共轭可以直接计算图像的幅度谱,因此使得图像的频谱计算和显示得以简化。

    (3)平移性:

    傅里叶变换对有如下平移性质:


    式子表明,

    在频域中原点平移到(u0 ,v0)时,其对应的空间域 f(x,y)要乘上一个正的指数项:

                                 

    在空域中图像原点平移到(x0,y0)时,其对应的F(u,v)要乘上一个负的指数项:

                                  

    在数字图像处理中,常常需要将F(u,v)的原点移到N*N频域的中心,以便能清楚地分析傅里叶谱的情况,平移前空域、频域原点均在左上方。要做到这点,只需令上面平移公式中的:u0=v0=N/2;


    所以

    上式表明:如果需要将图像傅里叶谱的原点从左上角(0,0)移到中心点(N/2,N/2),只要f(x,y)乘上因子进行傅里叶变换即可实现。

    平移性还体现了:当空域中f(x,y)产生移动时,在频域中只发生相移,并不影响他的傅里叶变换的幅度,因为:

                                            

    反之,当频域中F(u,v)产生移动时,相应f(x,y)在空域中也只发生相移,不产生幅值变化。根据平移性质,为了更清楚查看二维图像的频谱,使直流成分出项在图像中央,在把画面分成四分的基础上,进行如图所示的换位(移位)也是可以的,这样,频域原点就回平移到中心。如下所示:


    (4)旋转性质

    如果 f(x,y)旋转了一个角度,那么 f(x,y)旋转后的图像的傅立叶变换也旋转了相同的角度。平面直角坐标改写成极坐标形式:

    替换则有:

    如果f(x,y)被旋转W,则F(u,v)被旋转同一角度。即有傅里叶变换对:

                                


    如下所示:


    同时,我们可以得出结论,对图像进行旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的。即先旋转再傅里叶变换或者先傅里叶变换再旋转,得到的结果相同。F{R{f(x,y)}} = R{F{f(x,y)}}。

    (5)卷积与相关定理

    卷积定理包括空间域卷积和频率域卷积,卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带:两个空域信号的卷积等价于其频域信号的 乘积f(x,y)*h(x,y) → F(u,v)H(u,v) 或者 F{f(x,y)*h(x,y)} = F(u,v)H(u,v)

    两个信号频域上的卷积等价于空间域的相乘f(x,y) g(x,y) →F(u,v)*H(u,v);

    该性质的好处是将需要经过翻折、平移、相乘、求和等步骤实现的复杂的卷积运算简化为简单的乘法运算,这也是快速傅里叶变换(FFT)的出现使得该性质得到更广泛应用,同时,该性质对于理解信号的频率域处理方法特别重要,使得信号的空间域处理可以转换到频率域进行处理实现。

    根据空间域卷积定理,在空间域对应的是原始信号与滤波器的冲击响应的卷积,卷积定义式为信号翻折平移求和的过程,步骤复杂,运算量大,但如果转换到频率域进行处理,则对在将二者的频谱直接相乘就可以得到滤波结果,然后对滤波结果进行傅里叶逆变换就可以得到滤波后的空间域域图像。如下图所示,对信号进行低通和高通滤波处理的过程和效果。

    相关定理:

    空域中 f(x,y)与 与 g(x,y) 的相关等价于频域中 F(u,v) 的共轭与 G(u,v)  相乘f(x,y) g(x,y) → F*(u,v)G(u,v)

    同时有:f*(x,y)g(x,y) → F(u,v) G(u,v)

    相关定理与卷积定理类似,也是把积分求和过程转化为了频域相乘,因此,也使得相关分析的计算简化。

    相关的重要应用在于匹配:确定是否有感兴趣的物体区域。f(x,y)是原始图像,g(x,y)作为感兴趣的物体或区域(模板),如果匹配,两个函数的相关值会在 f 中找到相应 g 点的位置上达到最大值。如下图所示。图像 f(x,y) 与模板 g(x,y),通过计算相关函数,在匹配点处达到最大值,如图中红色圆圈标注的区域


    延拓图像 f(x,y),延拓图像 g(x,y),相关函数图像,通过相关图像最大值的水平灰度剖面图。

    傅里叶变换的实例与应用

    首先我们认识几点有关傅里叶变换的特点:

    l 傅里叶变换是从将图像从空间域变换到频率域,具有明确的物理意义。图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度,在噪声点和图像边缘处的频率为高频。

    l 在频率域中,将信号表示为一系列正弦信号或者复指数函数的叠加,正弦信号的频率、幅值和相位可以描述正弦信号中的所有信息,由此可以得到信号的幅度谱和相位谱。在图像领域就是将图像灰度作为正弦变量。

    l 傅里叶变换全局性的,是一个积分求和的过程,对时间、地点位置无法进行准确定义,也就是说傅里叶变换得到的频谱图中的点无法与空间域中的某个空间位置对应,因此,从傅里叶变换图中并不能直接对应某个位置的特点。

    l 傅里叶变换是一系列不同频率三角函数的和,每个频率分量的系数不同,这些系数代表了各频率成分的强弱或者所占比重,通过分析这些系数就可以分析图像的特性。







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  • Python 二维离散傅里叶变换

    千次阅读 2019-10-29 21:26:25
    文章目录Python 二维离散傅里叶变换需要的库计算两张图片的PSNR二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换频域平移绘制频域图像 需要的库 import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt 计算两张...

    Python 二维离散傅里叶变换

    需要的库

    import numpy as np
    import cv2
    import matplotlib.pyplot as plt
    

    计算两张图片的PSNR

    def PSNR(A, B):
        MSE = np.sum((A - B) ** 2) / A.shape[0] / A.shape[1]
        return 10 * np.log10((255 ** 2) / MSE)
    

    二维离散傅里叶变换

    def DFT_2(f, N, M):
        '''
        :param f: 2_dim marix
        :param N: even; denote number of rows
        :param M: even; denote number of cols
        :return: DFT results without shifting(complex number)
        '''
        if N % 2 != 0 or M % 2 != 0:
            print("param is wrong")
            return
        f = f.astype('float64')
        rows = f.shape[0]
        cols = f.shape[1]
        n = np.arange(0, N, 1).reshape((N, 1))
        row = np.arange(0, rows, 1).reshape((1, rows))
        left = np.exp(-1j*2*np.pi/N*(n @ row))
        col = np.arange(0, cols, 1).reshape((cols, 1))
        m = np.arange(0, M, 1).reshape((1, M))
        right = np.exp(-1j*2*np.pi/M*(col @ m))
        F = left @ f @ right
        return F
    

    二维离散傅里叶逆变换

    def IDFT_2(F, rows, cols, option=True):
        '''
        :param F: 2-dim freqency spectrum without shifting
        :param rows: rows of original picture
        :param cols: cols of original picture
        :param option: whether make some process for results
        :return: picture in space domain
        '''
        if cols % 2 != 0 or rows % 2 != 0:
            print("IDFT params are wrong")
            return
        N = F.shape[0]
        M = F.shape[1]
        row = np.arange(0, rows, 1).reshape((rows, 1))
        n = np.arange(0, N, 1).reshape((1, N))
        left = np.exp(1j*2*np.pi/N*(row @ n))
        m = np.arange(0, M, 1).reshape((M, 1))
        col = np.arange(0, cols, 1).reshape((1, cols))
        right = np.exp(1j*2*np.pi/M*(m @ col))
        f = (left @ F @ right) / rows / cols
        if option:
            f = np.abs(f)
            f = np.around((f - np.min(f)) / (np.max(f) - np.min(f)) * 255)
        return f
    

    其中option为True时,返回值为复数的模,否则返回值为复数。


    频域平移

    DFT的结果具有共轭对称性,因此需要将结果平移以后才能看出结果的这种对称性。

    def DFT_shifting(F):
        F_shift = 1j + np.zeros(F.shape)
        N = F.shape[0]
        M = F.shape[1]
        F_shift[N>>1:N, M>>1:M] = F[0:N>>1, 0:M>>1]
        F_shift[N>>1:N, 0:M>>1] = F[0:N>>1, M>>1:M]
        F_shift[0:N>>1, M>>1:M] = F[N>>1:N, 0:M>>1]
        F_shift[0:N>>1, 0:M>>1] = F[N>>1:N, M>>1:M]
        return F_shift
    

    其中F表示上述DFT_2()求出的频域结果。


    绘制频域图像

    由于DFT得到的结果是复数,需要对其求模值,同时取log

    def DFT_2_pic(f, N, M):
        '''
        :param f: 2_dim marix
        :param N: even; denote number of rows
        :param M: even; denote number of cols
        :return: DFT results with shifting(complex number) and make log
        '''
        if N % 2 != 0 or M % 2 != 0:
            print("param is wrong")
            return
        F = DFT_2(f, N, M)
        shift = DFT_shifting(F)
        F_pic = np.log2(np.abs(shift))
        F_pic = np.round((F_pic-np.min(F_pic)) / (np.max(F_pic) - np.min(F_pic)) * 255)   # make pixel value in 0 - 255
        F_pic = F_pic.astype('uint8')
        return shift, F_pic
    

    其中F_pic返回取对数以后的频谱;shift表示进行平移以后的复数频谱。


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  • 通过matlab实现二维离散傅里叶变换,并与matlab自带的函数计算的结果比较
  • 二维离散傅里叶变换3.1 二维离散傅里叶变换(DFT) 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下: 设 是独立变量 的函数,且在 上绝对可积,则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换,并定义...

    二维离散傅里叶变换

    3.1 二维离散傅里叶变换(DFT) 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下: 设 是独立变量 的函数,且在 上绝对可积,则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换,并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。 3.1.2 二维离散傅里叶变换 尺寸为M×N的离散图像函数的DFT 反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 DFT变换进行图像处理时有如下特点: (1)直流成分为F(0,0)。 (2)幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 (3)图像f (x, y)平移后,幅度谱不发生变化,仅有相位发生了变化。 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换: 幅度谱: DFT取的区间是[0,N-1],在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ,要显示一个完整的周期,必须将变换的原点移至u=N/2点。 根据定义,有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ,可以在一个周期的变换中(u=0,1,2,…,N-1),求得一个完整的频谱。 推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数,则有: DFT的原点,即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为: 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像,在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级,也称作频率谱的直流成分。 2.可分性 离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里 对于每个x值,当v=0,1,2,…,N-1时,该等式是完整的一维傅里叶变换。 3.离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组,则它们的离散卷积定义为 卷积定理 【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解:MATLAB程序如下: A=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图 3.2 二维离散余弦变换(DCT) 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项,余弦变换是傅里叶变换的特例,余弦变换是简化DFT的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换 将一个信号通过对折延拓成实偶函数,然后进行傅里叶变换,我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1.以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得: 3.对0到2N-1的2N个点的离散周期序列 作DFT,得 令i=2N-m-1,则上式为 为了保证变换基的规范正交性,引入常量,定义: DCT逆变换为 【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解:MATLAB程序如下: A=imread('pout.tif'); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[0 5]); 3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换(DHT) 前面的变换都是余弦型变换,基底函数选用的都是余弦型。 图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。 沃尔什(Walsh)变换。 沃尔什函数是一组矩形波,其取值为1和-1,非常便于计算机运算。 沃尔什函数有三种排列或编号方式,以哈达玛排列最便于快速计算。 采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换,简称WHT或直称哈达玛变换。 3.3.1 哈达玛变换 哈达玛矩阵:元素仅由+1和-1组成的正交方阵。 正交方阵:指它的任意两行(或两列)都彼此正交,或者说它们对应元素之和为零。 哈达玛变换要求图像的大小为N=2n 。 一维哈达玛变换

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  • 二维离散傅里叶变换

    2019-11-02 21:59:24
    在学完一维的傅里叶变换后,紧接着就是二维傅里叶变换了。直接上干货吧!!! 途中会用到opencv读取与显示图片。 一. 公式 M表示图像的行数,N表示图像的列数。 经过欧拉公式可以得一下形式,这样就可以轻松得到...

    在学完一维的傅里叶变换后,紧接着就是二维的傅里叶变换了。直接上干货吧!!!
    途中会用到opencv读取与显示图片。

    一. 公式

    1. M表示图像的行数,N表示图像的列数。
      在这里插入图片描述
    2. 经过欧拉公式可以得一下形式,这样就可以轻松得到实部和虚部了。
      在这里插入图片描述
    3. 其逆变换
      在这里插入图片描述4. 将傅里叶保护后的图像中心化。只需要在傅里叶变换的f(x,y)前面成以一个(-1)的x+y次方就可以了。其数学推导可以自行去百度。
      在这里插入图片描述
      看完上面的公式之后,下面开始编程实现拉,使用的是C++。

    二. 编程实现DTF

    1. 代码中有详细的注释。就不在这里作过多的解释了。

    2. 头文件包含及以下宏定义

    #include<opencv2/opencv.hpp>
    #include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
    #include<opencv2/core/core.hpp>
    #include<iostream>
    #include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
    using namespace std;
    using namespace cv;
    
    #define PI 3.1415926535    //定义π
    #define col 100				//图像的行数为100,再大的话运算量太大的。
    #define row 100				//图像的列数为100。
    
    1. 类的定义
    class FFT {
    private:
    	double img[col][row];    //保存输入的数据,输入的数据只有实部
    	
    	double re[col][row];    //保存DFT后的实部
    	double im[col][row]; 	//保存DFT后的虚部
    	Mat a = imread("1.jpg", 0);   //读取图像
    public:
    	void init();       //将读取的图像数据写入img中
    	void dft();			//进行DFT变换
    	void idft();		//进行DFT逆变换
    	
    	void reserve();
    	void fudu();       //计算幅度值。
    	void show();
    };
    
    1. init()函数
    void FFT::init()
    {
    	int b;
    	resize(a, a, Size(100, 100));   //将图像resize到(100,100)
    	for (int i = 0; i < 100; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < 100; j++)
    		{
    			b = a.at<uchar>(i, j);   //得到每一个像素值
    			img[i][j] = b;
    		}
    	}
    }
    
    1. dft()函数
    void FFT::dft()
    {
    	double a, b;
    	for(int n=0;n<col;n++)
    		for (int m = 0; m < row; m++)
    		{
    			a = 0.0;
    			b = 0.0;
    			for (int i = 0; i < col; i++)
    			{
    				
    				for (int j = 0; j < row; j++)
    				{
    				//根据公式列表达式
    					a += pow(-1, i + j)*img[i][j] * cos(2 * PI*(((double(n*i) / double(col))+(double((m*j))/double(row)))));
    					b += pow(-1, i + j)*img[i][j] * sin(2 * PI*(((double(n*i) / double(col)) + (double((m*j)) / double(row)))));
    				}
    			}
    			//将计算的值写入对应的变量中,这里已经进行了中心化操作
    			re[n][m] = a;
    			im[n][m] = -b;
    		}
    }
    
    1. idft()函数
    void FFT::idft()
    {
    	double a;
    	for (int n = 0; n < col; n++)
    	{
    		for (int m = 0; m < row; m++)
    		{
    			a = 0.0;
    			for (int i = 0; i < col; i++)
    			{
    				for (int j = 0; j < row; j++)
    				{
    					//这里只求其逆变换的实部,与原图片对比。
    					a += re[i][j] * cos(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row)))) - im[i][j] * sin(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row))));
    				}
    			}
    			re[n][m] = ((1. / (10000.))*a);
    		}
    	}
    }
    
    1. fudu()函数
    void FFT::fudu()
    {
    	int b;
    	for(int i=0;i<col;i++)
    		for (int j = 0; j < row; j++)
    		{
    			//计算幅度值
    			b = sqrt(re[i][j] * re[i][j] + im[i][j] * im[i][j]);
    			b = b / 255;    //归一化到0-255
    			//写入Mat中,便于可视化
    			a.at<uchar>(i, j) = b;
    		}
    	//显示DTF幅度场
    	imshow("aa", a);
    	waitKey(0);
    }
    
    1. show()函数
    //显示逆变换后的图像,看看与原始图像是不是一样的。
    void FFT::show()
    {
    	for(int i=0;i<col;i++)
    		for (int j = 0; j < row; j++)
    		{
    			a.at<uchar>(i, j) = re[i][j];
    		}
    	imshow("aa", a);
    	waitKey(0);
    }
    
    1. main()函数
    int main(void)
    {
    	FFT a;
    	
    	a.init();
    	a.dft();
    	a.idft();
    	a.fudu();
    	//a.show();
    	return 0;
    }
    

    所有的函数都实现了,下面来看看实现的效果吧!
    原始图像
    在这里插入图片描述
    DFT后的振幅场
    在这里插入图片描述
    逆变换后的图像,差距有点大O(∩_∩)O。
    在这里插入图片描述
    Thank for your reading !!!!

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空空如也

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二维离散傅里叶变换