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  • 二阶rc低通滤波器
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    2019-07-19 10:50:09

    RC电路原理推导

    因为最近有做一些RC滤波电路的东西,这部分内容都是在大学本科的时候学习的,很多东西也记得不是很清晰了,手头也没有资料翻阅,在网上看的资料都是五花八门各不一样,很多都出现错误,并且对于二阶RC电路的介绍很少,所以我做了一些整理。

    一阶RC低通滤波电路

    一阶RC低通滤波电路如下图所示
    在这里插入图片描述对应系统的传递函数的表达式如下 U o U i = 1 R C S + 1 \frac{\mathrm{U}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{U}_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{R C S+1} UiUo=RCS+11
    对其进行离散化处理 S = 1 − z − 1 T S=\frac{1-z^{-1}}{T} S=T1z1
    可得 R C ⋅ 1 − z − 1 T R C 1 − z − 1 T + 1 = R C ( 1 − z − 1 ) R C ( 1 − z − 1 ) + T = Y n X n \frac{R C \cdot \frac{1-z^{-1}}{T}}{R C \frac{1-z^{-1}}{T}+1}=\frac{R C\left(1-z^{-1}\right)}{R C\left(1-z^{-1}\right)+T}=\frac{Y_{n}}{X_{n}} RCT1z1+1RCT1z1=RC(1z1)+TRC(1z1)=XnYn
    整理可得 Y n = T T + R C X n + R C T + R C Y n − 1 Y_{n}=\frac{T}{T+R C} X_{n}+\frac{RC}{T+R C} Y_{n-1} Yn=T+RCTXn+T+RCRCYn1
    以上就是我们常见的一阶滤波的形式,转换成我们常见的表达式就是 Y n = a X n + ( 1 − a ) Y n − 1 Y_{n}=a X_{n}+(1-a) Y_{n-1} Yn=aXn+(1a)Yn1

    二阶RC低通滤波电路

    好了讲完一阶来讲二阶,二阶相对于一阶计算的时候要复杂一点,思路还是一样的,二阶RC低通滤波的电路如下所示
    在这里插入图片描述
    二阶RC低通滤波器的传递函数表达式为 U 0 U i = 1 S C / / ( R + 1 S C ) R + 1 S C / ( R + 1 S C ) ⋅ 1 S C R + 1 S C \frac{U_{0}}{U_{i}}=\frac{\frac{1}{S C} / /\left(R+\frac{1}{SC}\right)}{R+\frac{1}{SC} /\left(R+\frac{1}{SC}\right)} \cdot \frac{\frac{1}{SC}}{R+\frac{1}{SC}} UiU0=R+SC1/(R+SC1)SC1//(R+SC1)R+SC1SC1
    简化后可得 U 0 U i = R C S + 1 R 2 C 2 S 2 + 3 R C S + 1 ⋅ 1 R C S + 1 = 1 R 2 C 2 S 2 + 3 R C S + 1 \frac{U_{0}}{U_{i}}=\frac{RCS+1}{R^{2} C^{2} S^{2}+3 R C S+1} \cdot \frac{1}{R C S+1}=\frac{1}{R^{2} C^{2} S^{2}+3 R C S+1} UiU0=R2C2S2+3RCS+1RCS+1RCS+11=R2C2S2+3RCS+11
    离散化 S = 1 − z − 1 T S=\frac{1-z^{-1}}{T} S=T1z1可得 T 2 R 2 C 2 ( 1 − z − 1 ) 2 + 3 R C ( 1 − z − 1 ) + T 2 = Y n X n \frac{T_{}^{2}}{R^{2} C^{2}\left(1-z^{-1}\right)^{2}+3 R C\left(1-z^{-1}\right)+T^{2}}=\frac{Y_{n}}{X_{n}} R2C2(1z1)2+3RC(1z1)+T2T2=XnYn整理后可得 Y n = T 2 R 2 C 2 + T 2 + 3 R C X n + 2 R 2 C 2 + 3 R C R 2 C 2 + T 2 + 3 R C Y n − 1 + − R 2 C 2 R 2 C 2 + T 2 + 3 R C Y n − 2 Y_{n}=\frac{T^{2}}{R^{2} C^{2}+T^{2}+3 RC}X_{n}+\frac{2 R^{2} C^{2}+3 R C}{R^{2} C^{2}+T^{2}+3 R C} Y_{n-1}+\frac{- R^{2} C^{2}}{R^{2} C^{2}+T^{2}+3 R C} Y_{n-2} Yn=R2C2+T2+3RCT2Xn+R2C2+T2+3RC2R2C2+3RCYn1+R2C2+T2+3RCR2C2Yn2可以看出二阶RC与除了与当前时刻的输入有关系还和上两个时刻的输出有关。

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    1.原理及用途

    (1)原理直接引用*原子STM32讲解PWM转DAC的篇章*

     

    (2)当MCU中DAC功能不够用时,而还要输出可控的DC电平,这时可以使用这种模式来达到目的;另外一些由PWM控制的负载器件,比如比例阀、电机,要测试这些负载流过的等效电流,也可以使用这种方法

    2.需求分析

    我们这里使用二阶RC低通滤波来达到检流电阻的PWM波等效DC直流电平的功能;

     

    电路示意图如下,这里的PWM不是MCU直接输出的,而是经过推挽放大电路处理过的信号

     

     

    R11/R12 、C3/C4组成二阶RC滤波;这里R11=R12、C3=C4

    3.数学计算

    假如我们要求经过滤波后结果达到检测电流±1mA,则1个位的精度达到1.5/2048=0.0007324V,采样电阻电平范围0-1.5V

    假设被滤波的信号电压范围0-1.5V,那么一次谐波的最大值1.5*2/π=0.95496,那么电路要至少提供-20log(0.95496/0.0007324V)=-63dB衰减

    这里使用的PWM是F=20KHz

    如果是一阶RC滤波,那截止频率Fs的计算由-10*log[1+(F/Fs)^2]=-63dB,得Fs=14Hz

    如果是二阶RC滤波,那截止频率Fs的计算由-20*log[1+(F/Fs)^2]=-63dB,得Fs=532Hz

    参数RC选择:

    这里使用二阶低通滤波器,Fs=1/2πRC,得R=1KΩ,C=300nF(这里是由设计者选取),(R11=R12=R,C3=C4=C),这个RC乘积是个定值,至于R  C选择组合,可根据实际应用来确定,但是有一个思路:R或C不能太小,比如R取很大时,C必然取小,这时由于电路的寄生效应,导致最后的等效电容增大比例很多,会影响滤波效果,这样就不行了;反过来选取R一样

    一阶二阶对比,除了电路上不同;计算的截止频率差别也是很大

    二阶衰减比一阶严重一点、但是二阶延迟较小,而且一阶纹波大

    4.电路仿真及波形数据-二阶滤波器

    因为实际负载工作电流范围:0-1A,故而电流电阻上的电压范围0-1.5V

    参数说明:这里使用Cadence OrCAD电路仿真功能

    V1是输出最小电平

    V2是输出最大电平,实际在V1-V2之间选择来试验

    TD是PWM波延迟时间

    TR是边沿上升时间

    TF是边沿下降时间

    PW占空比

    PER周期

    由图可知绿色波形在t=3-4ms时达到稳定,最大有3-4ms的延迟(按照100%计算)

    实际的RC参数确定,要根据输出的延迟时间、纹波大小来综合考量;当然这个只是仿真,到实际硬件电路中,你会发现还要有更改

    仿真波形中,你会发现滤波后的波形会有衰减,这个要进行补偿

    5.硬件实验波形及数据

    最后选定参数R=1kΩ、C=220nF 实际硬件测得的波形如下:

    仿真结果如下:

    对比波形,仿真和实际硬件测试基本上一致

    展开全文
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    二阶低通滤波器的设计

    一、系统设计方案选择

    1、总方案设计

    方案框图

    2、子框图的作用

    RC网络的作用

    在电路中RC网络起着滤波的作用,滤掉不需要的信号,这样在对波形的选取上起着至关重要的作用,通常主要由电阻和电容组成。

    放大器的作用

    电路中运用了同相输入运放,其闭环增益RVF=1+R4/R3同相放大器具有输入阻抗非常高,输出阻抗很低的特点,广泛用于前置放大级。

    反馈网络的作用

    将输出信号的一部分或全部通过牧电路印象输入端,称为反馈,其中电路称为反馈网络,反馈网络分为正、负反馈。

    3、方案选择

    1)滤波器的选择

    一阶滤波器电路最简单,但带外传输系数衰减慢,一般在对带外衰减性要求不高的场合下选用。无限增益多环反馈型滤波器的特性对参数变化比较敏感,在这点上它不如压控电压源型二阶滤波器。

    2)级数的选择

    滤波器的级数主要根据对带外衰减特殊性的要求来确定。每一阶低通或高通电路可获得-6dB每倍频程(-20dB每十倍频程)的衰减,每二阶低通或高通电路可获得-12dB每倍频程(-40dB每十倍频程)的衰减。

    3)元器件的选择

    一般设计滤波器时都要给定截止频率fc(ωc)带内增益Av,以及品质因数Q(二阶低通或高通一般为0.707)。在设计时经常出现待确定其值的元件数目多于限制元件取值的参数之数目,因此有许多个元件均可满足给定的要求,这就需要设计者自行选定某些元件值。一般从选定电容器入手,因为电容标称值的分档较少,电容难配,而电阻易配,可根据工作频率范围按照表1.1.3初选电容值。

    二、系统组成及工作原理

    1、有源二阶压控滤波器

    基础电路如图1所示

    图1二阶有源低通滤波基础电路

    它由两节RC滤波电路和同相比例放大电路组成,在集成运放输出到集成运放同相输入之间引入一个负反馈,在不同的频段,反馈的极性不相同,当信号频率f>>f0时(f0为截止频率),电路的每级RC电路的相移趋于-90º,两级RC电路的移相到-180º,电路的输出电压与输入电压的相位相反,故此时通过电容c引到集成运放同相端的反馈是负反馈,反馈信号将起着削弱输入信号的作用,使电压放大倍数减小,所以该反馈将使二阶有源低通滤波器的幅频特性高频端迅速衰减,只允许低频端信号通过。其特点是输入阻抗高,输出阻抗低。

    2、无限增益多路反馈有源滤波器

    基本形式图

    在二阶压控电压源低通滤波电路中,由于输入信号加到集成运放的同相输入端,同时电容C1在电路参数不合适时会产生自激震荡。为了避免这一点,Aup取值应小于3.可以考虑将输入信号加到集成运放的反相输入端,采取和二阶压控电压源低通滤波电路相同的方式,引入多路反馈,构成反相输入的二阶低通滤波电路,这样既能提高滤波电路的性能,也能提高在f=f0附近的频率特性幅度。由于所示电路中的运放可看成理想运放,即可认为其增益无穷大,所以该电路叫做无限增益多路反馈低通滤波电路。

    三、单元电路设计、参数计算、器件选择

    1、二阶压控低通滤波器设计及参数计算

    所以根据上述推导公式可得:电路设计时应该使得

    ,根据市场能买到的器件,则可以取R4+R3+10k,然后由中心频率计算公试可以取C1=C2=0.1uF,可以得出电阻R1=596.58k,R4=1.06255k.可以用2k的电位器代替,基本达到设计要求了。

    仿真电路图如下所示:

    2、无限增益多路反馈有源滤波器的设计及参数计算

    根据上述推导公式可得:电路设计时应该使得C1=C2,根据市场能买到的器件,则可以取C1=C3=0.1uF,然后由中心频率计算公式,电压增益公式以及品质因素的公式计算参数,依据以上三个公式,取fO=2KHz,Q=0.707,Aup=2.令R1=R2可得:R1=R2=0.22519K,3R=0.45038K,而用R1,R2用2K的电位器调节,

    使得其等于0.22519K即可基本达到设计要求。其仿真电路图如下

    四、电路组装及调试

    1、压控电压源二阶低通滤波电路

    当输入的信号频率小于截止频率2000hz,其电路的增益为2.即其波形的峰峰值是两倍

    2、无限增益多路负反馈二阶低通滤波器

    其仿真电路图如上:

    当输入的频率是1000HZ,2000HZ,30000JHZ的交流电源是输出信号的波形图分别如下:

    输出与输入的倍数关系分别是2倍,1.4倍然后是截至了,趋于0.滤波器的滤波效果已经达到,截至频率是2000HZ。小于2000HZ时,输出波放大2倍。

    展开全文
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    一阶RC低通滤波器

    一阶RC

    一阶RC滤波器如图所示,电阻 R R R串联电容 C C C,输入电压记为 U i U_i Ui,输出电压记为 U o U_o Uo,电容容抗记为 X c = 1 j ω c X_c=\frac{1}{j\omega c} Xc=jωc1

    根据串联分压,列出传递函数,
    H ( j ω ) = U o U i = X c R + X c = 1 j ω c R + 1 j ω c = 1 1 + j ω c H(j \omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{X_c}{R+X_c}=\frac{\frac{1}{j\omega c}}{R+\frac{1}{j\omega c}}=\frac{1}{1+j\omega c} H(jω)=UiUo=R+XcXc=R+jωc1jωc1=1+jωc1
    复数为分母,实数为分子,不方便我们后续计算复向量的模,这里做一下简单的变换,给出变换的过程。
    假设有复数 Z = a + b j Z=a+bj Z=a+bj,则倒数为 1 Z = 1 a + b j \frac{1}{Z}=\frac{1}{a+bj} Z1=a+bj1,分子分母同乘以 a − b j a-bj abj,即有,
    1 Z = a − b j ( a + b j ) ( a − b j ) = a − b j a 2 + b 2 \frac{1}{Z}=\frac{a-bj}{(a+bj)(a-bj)}=\frac{a-bj}{a^2+b^2} Z1=(a+bj)(abj)abj=a2+b2abj
    带入可得,
    H ( j ω ) = U o U i = 1 − j ω R C 1 + ( ω R C ) 2 H(j \omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^2} H(jω)=UiUo=1+(ωRC)21jωRC

    计算该复数的模,则有,
    ∣ H ( j ω ) ∣ = ( 1 1 + ( ω R C ) 2 ) 2 + ( ω R C 1 + ( ω R C ) 2 ) 2 = 1 1 + ( ω R C ) 2 |H(j \omega)|=\sqrt{(\frac{1}{1+(\omega RC)^2})^2+(\frac{\omega RC}{1+(\omega RC)^2})^2}=\sqrt{\frac{1}{1+(\omega RC)^2}} H(jω)=(1+(ωRC)21)2+(1+(ωRC)2ωRC)2 =1+(ωRC)21
    复数的模代表了电压增益,当电压增益下降到 2 2 \frac{\sqrt2}{2} 22 倍时,此时的频率即为截止频率,记为 f c f_c fc,那么就有,
    ∣ H ( j ω ) ∣ = 1 1 + ( ω R C ) 2 = 2 2 |H(j \omega)|=\sqrt{\frac{1}{1+(\omega RC)^2}}=\frac{\sqrt2}{2} H(jω)=1+(ωRC)21 =22
    化简可得,
    ω R C = 1 = 2 π f c R C \omega RC=1=2\pi f_cRC ωRC=1=2πfcRC
    求得截止频率 f c f_c fc
    f c = 1 2 π R C f_c=\frac{1}{2\pi RC} fc=2πRC1

    二阶RC低通滤波器

    二阶RC

    二阶RC滤波器如图所示,可见由两个一阶电路构成。第一个一阶电路的电阻记为 R 1 R1 R1,电容记为 C 1 C1 C1;第二个一阶电路的电阻记为 R 2 R2 R2,电容记为 C 2 C2 C2,,输入电压记为 U i U_i Ui,输出电压记为 U o U_o Uo,电容容抗记为 X c = 1 j ω c X_c=\frac{1}{j\omega c} Xc=jωc1(这里便于分析,取电阻 R 1 = R 2 = R R1=R2=R R1=R2=R,电容 C 1 = C 2 = C C1=C2=C C1=C2=C)。

    二阶电路的分析比一阶稍繁琐,不过原理还是一样,输出电压 U o U_o Uo即为电容 C 2 C2 C2上的压降,电容C2上的压降来自于电容 C 1 C1 C1上压降的分压。

    梳理完电路结构,列出传递函数,
    H ( j ω ) = U o U i = X c / / ( R + X c ) R + X c / / ( R + X c ) X c R + X c H(j \omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{X_c//(R+X_c)}{R+X_c//(R+X_c)}\frac{X_c}{R+X_c} H(jω)=UiUo=R+Xc//(R+Xc)Xc//(R+Xc)R+XcXc
    化简可得,
    H ( j ω ) = j ω R C + 1 ( j ω R C ) 2 + 3 j ω R C + 1 1 j ω R C + 1 = 1 1 − ( ω R C ) 2 + 3 j ω R C H(j \omega)=\frac{j\omega RC+1}{(j\omega RC)^2+3j\omega RC+1}\frac{1}{j\omega RC+1}=\frac{1}{1-(\omega RC)^2+3j\omega RC} H(jω)=(jωRC)2+3jωRC+1jωRC+1jωRC+11=1(ωRC)2+3jωRC1
    计算该复数的模,
    ∣ H ( j ω ) ∣ = 1 ( 1 − ( ω R C ) 2 ) 2 + 9 ( ω R C ) 2 |H(j \omega)|=\sqrt{\frac{1}{(1-(\omega RC)^2)^2+9(\omega RC)^2}} H(jω)=(1(ωRC)2)2+9(ωRC)21
    ∣ H ( j ω ) ∣ = 2 2 |H(j \omega)|=\frac{\sqrt2}{2} H(jω)=22 ,解得,
    ω = 1 2.672 R C \omega=\frac{1}{2.672RC} ω=2.672RC1
    求得截止频率 f c f_c fc
    f c = 1 5.344 π R C f_c=\frac{1}{5.344\pi RC} fc=5.344πRC1

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空空如也

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二阶rc低通滤波器