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  • 详细介绍了小波变换的由来,对其中的尺度函数和小波函数进行了深入分析,是理解小波变换的入门宝典级讲义
  • matlab自带小波基的尺度函数和小波函数
  • 直到详细理解时,发现有尺度函数和小波函数两种。从上图可以发现尺度函数振幅为正,小波函数振幅有正有负,但两者周期(横坐标是波长?单位km识别的最小尺度距离长度?)一致。通过不同尺度的分解,获得不同分辨率的...

           小波变换能实现傅立叶变换无法分析的非平稳信号的频谱分析。之前在对小波变换进行理解的时候,只知道是对信号进行分解。直到详细理解时,发现有尺度函数和小波函数两种。从上图可以发现尺度函数振幅为正,小波函数振幅有正有负,但两者周期(横坐标是波长?单位km识别的最小尺度距离长度?)一致。通过不同尺度的分解,获得不同分辨率的信号。对于一级分解,先采用尺度函数对原始图像数据进行低通滤波,获得近似/低频信息。然后再用小波函数对原始图像进行高通滤波滤波,获得细节/高频信息。在此基础上对LL信息进行分解。

    傅里叶变换与傅里叶变换的主要区别在于,傅里叶变换将信号分解成正弦和余弦函数以及定在频率空间中的函数;相反,小波变换使用的函数是在实空间和频率空间中都本地化的,因此小波更有用的描述非连续信号,因为它们的时间本地化行为。

          好像每次进行分解时,识别的信号长度信息为5×2^分解层数。

        从信息量或者数据量而言,原始信号应该说所有分解信号的总和。例如如果总信号长度为16,那么HH1=4,LH1=4, HL1=4, LL2=1, HL2=1, LH2=1, HH2=1。

    新的疑问是?小波变换获得的信号的位置信息与原始信号是一 一匹配的么?按照我的理解是高频和低频的取样频率不一样。所以导致直接采用近似信息或者细节信息都能成图,但是只是在不同的频率空间抽稀图像,得到的图像或者数据结果与原结果差异可谓是巨大。

    如果对数据进行小波变换之后,如果对相应的的数据开展融合工作呢?

    使用MATLAB工具wfusimg函数进行图像的融合 - it610.com   图像融合工具

    wfusimg(x1,x2,'sym4',5,'max','max')说明

    x1,x2为需要融合的图像,采用小波:sym4,分解为5层,近似信号(低频)取两幅图中绝对值最大的值,细节(高频)信号取两幅图中绝对值最大值,

    可选:max,min,mean,img1,img2,rand.

    wavedec2函数:

    1.功能:实现图像(即二维信号)的多层分解.多层,即多尺度.

    2.格式:[c,s]=wavedec2(X,N,'wname')

        [c,s]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)

    3.参数说明:对图像X用wname小波基函数实现N层分解,

    这里的小波基函数应该根据实际情况选择,具体选择办法可以搜之.输出为c,s.

    c为各层分解系数,s为各层分解系数长度,也就是大小.

    4.c的结构:c=[A(N)|H(N)|V(N)|D(N)|H(N-1)|V(N-1)|D(N-1)|H(N-2)|V(N-2)|D(N-2)|...|H(1)|V(1)|D(1)]

    可见,c是一个行向量,即:1*(size(X)),(e.g,X=256*256,then c大小为:1*(256*256)=1*65536)

    http://maiqiuzhizhu.blog.sohu.com/110325150.html

    说说wavedec2函数_hugebawu的博客-CSDN博客

    clc;
    clear all;
    p=imread('12.jpg');
    q=imread('21.jpg');
    p=double(p)/256;
    q=double(q)/256;
    imshow(p);
    figure;
    imshow(q);
    figure;
    [c1,s1]=wavedec2(p,4,'sym4');
    [c2,s2]=wavedec2(q,4,'sym4');
    length=length(c1);
    hecheng=zeros(1,length);
    hecheng(1:s1(1,1)*s1(1,2))=c1(1:s1(1,1)*s1(1,2))+c2(1:s1(1,1)*s1(1,2))/2;
    MM1=c1(s1(1,1)*s1(1,2)+1:length);
    MM2=c2(s1(1,1)*s1(1,2)+1:length);
    mm=(abs(MM1)>abs(MM2));
    Y=(mm.*MM1)+(~mm.*MM2);
    hecheng(s1(1,1)*s1(1,2)+1:length)=Y;
    Y=waverec2(hecheng,s2,'sym4');
    imshow(Y);

    使用MATLAB工具wfusimg函数进行图像的融合 - it610.com

    M1 = double(imA) / 256; 求解是什么意思? – MATLAB中文论坛

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  • %小波尺度函数和小波函数 clear,clc,close all; figure,[phi1,psi1,xval1] = wavefun('haar',8,'plot'); figure,[psi2,xval2] = wavefun('morl',8,'plot'); figure,[phi3,pso3,xval3] = wavefun('meyr',8,'plot'); ...
    %小波尺度函数和小波函数
    clear,clc,close all;
    figure,[phi1,psi1,xval1] = wavefun('haar',8,'plot');
    figure,[psi2,xval2] = wavefun('morl',8,'plot');
    figure,[phi3,pso3,xval3] = wavefun('meyr',8,'plot');
    figure,[phi4,psi4,xval4] = wavefun('db4',8,'plot');

    结果:

    Haar小波尺度函数和小波函数 :

    Morlet小波函数:

     Meyer小波尺度函数和小波函数:

     db4小波尺度函数与小波函数:

     

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  • function ScaleWaveFig(h)% -- 函数描述 : 由滤波器系数绘制尺度函数和小波函数图像% M : 标准化常数% h : (尺度)滤波器系数% g : 小波滤波器系数% a : 尺度函数初始化% w : 小波函数初始化% -- 时间 : 2007-12-02% ...

    function ScaleWaveFig(h)% -- 函数描述 : 由滤波器系数绘制尺度函数和小波函数图像

    %    M : 标准化常数

    %    h : (尺度)滤波器系数

    %    g : 小波滤波器系数

    %    a : 尺度函数初始化

    %    w : 小波函数初始化

    % -- 时间 : 2007-12-02

    % -- 作者 : 刘恒冰(LIUHB)  版权所有(C)

    M = 2;

    g = fliplr(h);

    for i = 1 : length(h)

    g(i) = (-1) ^ (i + 1) * g(i);

    end

    a = h;

    w = g;

    % 绘制尺度函数图像

    b = [ ];

    for i = 1 : 7

    L = M * length(a);

    b(1 : M : L - M + 1) = a;

    for j = 2 : M

    b(j : M : L - M + j) = zeros(1, L / M);

    end

    a = b;

    a = conv(h, a);

    % a = sqrt(M) * a;  ||  a = sqrt(M) * a;   ?

    n = length(a);

    a = a(1, 1 : n - 1);

    end

    n = length(a);

    x = linspace(0, 3, n);

    subplot(221);

    plot(x, a); grid on;

    % 绘制小波函数图像b = [ ];for i = 1 : 7    L = M * length(w);    b(1 : M : L - M + 1) = w;    for j = 2 : M        b(j : M : L - M + j) = zeros(1, L / M);    end    w = b;      w = conv(h, w);    % w = sqrt(M) * w;  ||  w = sqrt(M) * w;   ?    n = length(w);    w = w(1, 1 : n - 1);endn = length(w);x = linspace(0, 3, n);subplot(222);plot(x, w); grid on;

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  • 小波分析中画出小波函数和尺度函数图像,MATLAB算法画图
  • 小波分析中画出小波函数和尺度函数图像,MATLAB算法画图
  • Content1 尺度函数1.1 Harr尺度函数1.2 尺度函数的重要性质1.2.1 VjV_jVj​空间的正交基1.2.2 嵌套子空间1.2.3 交空间并空间1.2.4 尺度函数递归等式2 小波函数2.1 Harr小波函数参考文献 前文Why wavelet?介绍了FT...

    小波变换系列
    小波变换第1讲:Why wavelet?
    小波变换第2讲:尺度函数与小波函数

    前文小波变换第1讲:Why wavelet?介绍了FT以及STFT在时频分析方面的缺陷,本文将介绍小波变换的主体部分。

    小波变换(WT)方面的不同书籍,涉及到的一些定义不尽相同,对理解小波造成了一些困扰。本文主要参考的是冈萨雷斯 数字图像处理 第3版第7章的有关内容。

    本文中的尺度函数选取Haar函数。

    1 尺度函数

    尺度函数(scaling function),通常记作 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t),又称为father wavelet

    1.1 Harr尺度函数

    Harr尺度函数及图示如下:
    ϕ ( t ) = { 1 , 0 ≤ t < 1 0 , o t h e r w i s e \phi_(t)=\left\{ \begin{aligned} 1&,0\le t<1 \\ 0&, otherwise \end{aligned} \right. ϕ(t)={10,0t<1,otherwise
    在这里插入图片描述
    对该函数进行缩放或平移:
    在这里插入图片描述
    该函数在不同的尺度 j , k ( j = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) j,k(j=0,\pm1,\pm2,...;k=0,\pm1,\pm2,...) j,k(j=0,±1,±2,...;k=0,±1,±2,...)缩放( 2 j 2^j 2j)及平移( 2 − j k 2^{-j}k 2jk),形成了一个集合 { ϕ j , k ( t ) } \{\phi_{j,k}(t)\} {ϕj,k(t)}:

    ϕ j , k ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − k ) \phi_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\phi(2^jt-k) ϕj,k(t)=22jϕ(2jtk)

    这里 j 2 \cfrac{j}{2} 2j的作用是为了保持 ∫ a b ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \int_a^b|f(t)|^2dt abf(t)2dt不变,即能量不变。

    1.2 尺度函数构成的空间

    尺度函数形成的子空间应该来说是小波变换中一个非常重要的性质。

    设空间 V j V_j Vj是由 ϕ j , k ( t ) , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \phi_{j,k}(t),k=0,\pm1,\pm2,... ϕj,k(t),k=0,±1,±2,...在实数域内张成的空间,即:

    V j V_j Vj空间中的任一函数 f ( t ) f(t) f(t)可表示为:

    f ( t ) = ∑ k ∈ Z a k ϕ j , k ( t ) f(t)=\sum\limits_{k\in Z}a_k\phi_{j,k}(t) f(t)=kZakϕj,k(t)

    1.3 尺度函数的性质

    1.3.1 V j V_j Vj空间的正交基

    对于 V j V_j Vj空间的任一基函数,均满足:
    ⟨ ϕ j , m ( t ) , ϕ j , n ( t ) ⟩ = { 0 , m ! = n 1 , m = n \langle\phi_{j,m}(t),\phi_{j,n}(t)\rangle= \left\{ \begin{aligned} 0&,m!=n \\ 1&, m=n \end{aligned} \right. ϕj,m(t),ϕj,n(t)={01,m!=n,m=n
    可以看下1.1节Harr函数 ϕ ( 2 t ) \phi(2t) ϕ(2t) ϕ ( 2 t − 1 ) \phi(2t-1) ϕ(2t1),即 ϕ 1 , 0 ( t ) \phi_{1,0}(t) ϕ1,0(t) ϕ 1 , 1 ( t ) \phi_{1,1}(t) ϕ1,1(t),二者积分为0,正交。

    1.3.2 嵌套子空间

    子空间在小波变换中非常重要。1.3.1正交基是定义在相同的尺度 j j j,而本小节子空间是定义在不同的尺度 j j j

    不同尺度j形成的空间之间的关系如图所示:
    V − ∞ ⊂ ⋯ ⊂ V − 1 ⊂ V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ ⋯ ⊂ V ∞ V_{-\infin} \subset \cdots \subset V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \cdots \subset V_{\infin} VV1V0V1V2V

    在这里插入图片描述
    举例说明, V 0 V_0 V0 V 1 V_1 V1的一个子空间,即 V 0 ⊂ V 1 V_0 \subset V_1 V0V1,则 V 0 V_0 V0中的任一函数可由 V 1 V_1 V1中的基线性表示:
    在这里插入图片描述
    这样,对于任一函数 f ( t ) f(t) f(t),总能用尺度趋向于无限大的空间 V ∞ V_\infty V中的基函数线性表示,即若 f ( t ) ∈ V j f(t) \in V_j f(t)Vj
    又因为 V j ⊂ V ∞ V_j \subset V_\infty VjV,则 f ( t ) f(t) f(t)也必然 ∈ V ∞ \in V_\infty V

    当然,我们不可能用 V ∞ V_\infty V中的基函数表示,这涉及到效率和资源的问题。

    有点类似AD转换中的逐次逼近法,先确定最高位,然后除2,不断确定次低位~

    1.3.3 交空间和并空间

    由1.2.2节嵌套子空间,可以得到下列性质:

    • 交空间
      ⋂ j V j = V − ∞ = { 0 } \bigcap_jV_j=V_{-\infin}=\{0\} jVj=V={0}
    • 并空间
      ⋃ j V j = V ∞ = { L 2 ( R ) } \bigcup_jV_j=V_{\infin}=\{L^2(R)\} jVj=V={L2(R)}
      L 2 ( R ) : L^2(R): L2(R):平方可积函数空间,是指函数 f ( x ) ∈ R f(x)\in R f(x)R,且 ∣ f ( x ) ∣ 2 |f(x)|^2 f(x)2 R R R内可积,这样的函数构成的集合。

    1.3.4 尺度函数递归等式

    由1.3.2节, V j ⊂ V j + 1 V_{j} \subset V_{j+1} VjVj+1,则:
    ϕ j , k ( t ) = ∑ n a n ⋅ ϕ j + 1 , n ( t ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi_{j,k}(t)=\sum_na_n\cdot\phi_{j+1,n}(t) ϕj,k(t)=nanϕj+1,n(t)
    又根据1.1节,
    ϕ j , k ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − k ) ϕ j + 1 , n ( t ) = 2 j + 1 2 ϕ ( 2 j + 1 t − n ) \phi_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\phi(2^jt-k)\\ \phi_{j+1,n}(t)=2^{\frac{j+1}{2}}\phi(2^{j+1}t-n) ϕj,k(t)=22jϕ(2jtk)ϕj+1,n(t)=22j+1ϕ(2j+1tn)
    j = 0 , k = 0 j=0,k=0 j=0,k=0,并用 h ϕ ( n ) h_{\phi}{(n)} hϕ(n)替代 a n a_n an,有:

    ϕ ( t ) = ∑ n h ϕ ( n ) 2 ϕ ( 2 t − n ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi(t)=\sum_nh_{\phi}{(n)}\sqrt{2}\phi(2t-n) ϕ(t)=nhϕ(n)2 ϕ(2tn)

    对于Haar小波尺度函数之间存在如下关系,详见下图:
    ϕ ( t ) = 2 [ 1 2 ϕ ( 2 t ) + 1 2 ϕ ( 2 t − 1 ) ] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi(t)=\sqrt{2}\lbrack\cfrac{1}{\sqrt2}\phi(2t)+\cfrac{1}{\sqrt2}\phi(2t-1)\rbrack ϕ(t)=2 [2 1ϕ(2t)+2 1ϕ(2t1)]
    在这里插入图片描述
    哈工大冉启文老师《小波变换与分数傅里叶变换理论及应用》将上述关系归纳为:

    • 嵌套关系/单调性: V j ⊂ V j + 1 V_{j} \subset V_{j+1} VjVj+1
    • 唯一关系: ⋂ j V j = { 0 } \bigcap_jV_j=\{0\} jVj={0}
    • 稠密关系: ⋃ j V j = { L 2 ( R ) } \bigcup_jV_j=\{L^2(R)\} jVj={L2(R)}
    • 伸缩关系: f ( x ) ∈ V j , 则 f ( 2 x ) ∈ V j + 1 f(x)\in V_j,则f(2x)\in V_{j+1} f(x)Vjf(2x)Vj+1

    2 小波函数

    小波函数(wavelet function),通常记作 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t),又称为mother wavelet

    小波函数与尺度函数有联系也有区别。

    2.1 Harr小波函数

    Harr小波函数及图示如下:
    ψ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 2 , − 1 1 2 ≤ t < 1 , 0   o t h e r w i s e . \psi_(t)=\left\{ \begin{aligned} 1&\qquad0\le t<\cfrac{1}{2}, \\ -1&\qquad\cfrac{1}{2}\le t<1, \\ 0&\qquad\ otherwise. \end{aligned} \right. ψ(t)=1100t<21,21t<1, otherwise.
    在这里插入图片描述

    类似于尺度函数,小波函数在不同的尺度 j , k ( j = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) j,k(j=0,\pm1,\pm2,...;k=0,\pm1,\pm2,...) j,k(j=0,±1,±2,...;k=0,±1,±2,...)缩放( 2 j 2^j 2j)及平移( 2 − j k 2^{-j}k 2jk),形成了一个集合 { ψ j , k ( t ) } \{\psi_{j,k}(t)\} {ψj,k(t)}:
    ψ j , k ( t ) = 2 j 2 ψ ( 2 j t − k ) \psi_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\psi(2^jt-k) ψj,k(t)=22jψ(2jtk)

    小波函数也可以进行缩放和平移:
    在这里插入图片描述

    2.2 小波函数构成的空间

    设空间 W j W_j Wj是由 ψ j , k ( t ) , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \psi_{j,k}(t),k=0,\pm1,\pm2,... ψj,k(t),k=0,±1,±2,...在实数域内张成的空间,即:

    W j W_j Wj空间中的任一函数 g ( t ) g(t) g(t)可表示为:

    g ( t ) = ∑ k ∈ Z b k ψ j , k ( t ) g(t)=\sum\limits_{k\in Z}b_k\psi_{j,k}(t) g(t)=kZbkψj,k(t)

    2.3 小波函数的性质

    2.3.1 小波函数子空间之间的正交性

    尺度函数子空间只针对同一尺度 j j j、不同的平移系数 k k k成立。

    而小波函数子空间的正交性,则是针对所有尺度 j j j(相同或不相同)、及不同平移系数 k k k的小波函数。即:

    ⟨ ψ j , k ( t ) , ψ j ′ , k ′ ( t ) ⟩ = 0 , 当 { j = j ′ , k ≠ k ′ j ≠ j ′ \qquad\qquad\qquad\langle\psi_{j,k}(t),\psi_{j',k'}(t)\rangle=0 ,当\left\{ \begin{aligned} & j=j',k \neq k' \\ & j\ne j' \end{aligned} \right. ψj,k(t),ψj,k(t)=0{j=j,k=kj=j
    下图展示了 ψ 1 , 0 ( t ) \psi_{1,0}(t) ψ1,0(t),与 ψ 0 , 0 ( t ) \psi_{0,0}(t) ψ0,0(t) ψ ( t ) \psi(t) ψ(t)的正交关系。

    在这里插入图片描述

    2.3.2 小波函数与尺度函数空间的关系

    2.3.2.1 正交补空间

    尺度函数子空间 V j V_j Vj、小波函数子空间 W j W_j Wj与尺度函数 V j + 1 V_{j+1} Vj+1满足:

    V j + 1 = V j ⊕ W j \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad V_{j+1}=V_{j}\oplus W_{j} Vj+1=VjWj
    V j V_j Vj W j W_j Wj空间正交,即:

    ⟨ ϕ j , k ( t ) , ψ j , l ( t ) ⟩ = 0 \qquad\qquad\qquad\langle\phi_{j,k}(t),\psi_{j,l}(t)\rangle=0 ϕj,k(t),ψj,l(t)=0,对所有 j , k , l j,k,l j,k,l均成立。

    2.3.2.2 子空间之间的关系

    由于小波函数子空间及尺度函数子空间之间存在的正交关系,尺度函数空间 V j V_j Vj,可由起始尺度空间如 V 0 V_0 V0,与一系列低尺度的小波函数空间 W j − 1 , W j − 2 , . . . , W 1 , W 0 W_{j-1},W_{j-2},...,W_1,W_0 Wj1Wj2...W1W0的合成:

    V 2 = V 1 ⊕ W 1 = V 0 ⊕ W 0 ⊕ W 1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad V_2=V_1\oplus W_1=V_0 \oplus W_0\oplus W_1 V2=V1W1=V0W0W1
    在这里插入图片描述
    推广之,
    V n = V n − 1 ⊕ W n − 1 = V n − 2 ⊕ W n − 2 ⊕ W n − 1 = V 0 ⊕ W 0 ⊕ W 1 ⊕ . . . ⊕ W n − 1 = V − ∞ ⊕ W − ∞ ⊕ . . . ⊕ W − 1 ⊕ W 0 ⊕ W 1 ⊕ . . . ⊕ W n − 1 \begin{aligned} V_n&=V_{n-1}\oplus W_{n-1}\\&=V_{n-2} \oplus W_{n-2}\oplus W_{n-1}\\ &=V_0 \oplus W_{0}\oplus W_{1}\oplus ... \oplus W_{n-1}\\ &=V_{-\infin} \oplus W_{-\infin} \oplus ...\oplus W_{-1}\oplus W_{0}\oplus W_{1}\oplus ... \oplus W_{n-1} \end{aligned} Vn=Vn1Wn1=Vn2Wn2Wn1=V0W0W1...Wn1=VW...W1W0W1...Wn1

    当然我们不可能从 − ∞ -\infin 尺度开始,而往往选择从尺度为0的分辨率开始。

    又由1.3.3节, V − ∞ = { 0 } V_{-\infin}=\{0\} V={0},因此:
    V n = ⨁ j = − ∞ n − 1 W k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad V_n=\bigoplus \limits_{j=-\infin}^{n-1}W_k Vn=j=n1Wk

    n → ∞ n\rightarrow \infin n时,由1.3.3节并空间的性质, V ∞ = { L 2 ( R ) } V_{\infin}=\{L^2(R)\} V={L2(R)},故对于任意 f ( x ) ∈ L 2 ( R ) f(x)\in L^2(R) f(x)L2(R),均有:

    f ( x ) = v 0 + ∑ j = 0 ∞ w j \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)=v_0+\sum\limits_{j=0}^{\infin}w_j f(x)=v0+j=0wj,其中 v 0 ∈ V 0 v_0\in V_0 v0V0 w j ∈ W j w_j\in W_j wjWj

    L 2 ( R ) {L^2(R)} L2(R)中的任意函数均可由小波正交空间中的函数线性表示。

    2.3.3 小波函数递归等式

    V j + 1 = V j ⊕ W j V_{j+1}=V_{j}\oplus W_{j} Vj+1=VjWj,则 W j W_{j} Wj V j V_{j} Vj都是 V j + 1 V_{j+1} Vj+1的子空间。因此与1.3.4类似,小波函数也可由相邻的较高分辨率的尺度函数来线性表示:

    ψ ( t ) = ∑ n h ψ ( n ) 2 ϕ ( 2 t − n ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \psi(t)=\sum_nh_{\psi}{(n)}\sqrt{2}\phi(2t-n) ψ(t)=nhψ(n)2 ϕ(2tn)

    在这里插入图片描述

    ps: 为了博客更生动形象,使用了不少来自参考文献的图片,在此感谢。若有侵犯,请联系删除。

    参考文献

    [1] Why wavelet?
    [2] 冈萨雷斯 数字图像处理 第3版
    [3] http://math.bu.edu/people/mkon/ma717/L12HaarWavelet.pdf
    [4] http://www.ws.binghamton.edu/fowler/EECE523/Ch_15_2%20Wavelet%20Example.pdf
    [5] https://slideplayer.com/slide/7537671/
    [6] https://mathworld.wolfram.com/HaarFunction.html
    [7] 知乎:通过Haar小波认识离散小波变换
    [8] 哈工大,冉启文,小波变换与分数傅里叶变换理论及应用

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  • 由滤波器系数绘制尺度函数和小波函数图像的Matlab程序 收藏function ScaleWaveFig(h)% -- 函数描述 : 由滤波器系数绘制尺度函数和小波函数图像% M : 标准化常数% h : (尺度)滤波器系数% g : 小波滤波器系数% a : ...
  • 该资源提供了在JPEG2000图像压缩中常用到得9/7小波的的构造方法,利用双正交小...返回值包括分解端重建端的低通高通滤波器,以及得到的响应的尺度函数小波函数。该函数的入口参数可以是不同的alpha值组成的向量。
  • 小波分析中的尺度函数小波函数

    万次阅读 多人点赞 2017-02-15 15:36:35
    尺度函数对应图像二维小波变换中的近似子带、小波函数对应细节子带。如果尺度函数为φ(2^a*x-i),则尺度因子a越大尺度函数生成的矢量空间越大,波形越小。 尺度函数小波函数 对于多分辨率而言,尺度函数小波...
  • 小波变换(1)多分辨率分析:尺度函数和小波函数

    万次阅读 多人点赞 2014-04-23 00:40:32
    小波分析中,常出现空间VW,以及Scaling
  • 小波函数和尺度函数,小波函数和尺度函数的区别,matlab源码.zip.zip
  • 还记得上篇博客中说的连续信号的离散小波变换吗,一个连续信号可以被拆解为多个版本的波基与系数的乘积之的形式,在泛函分析中,把这些多个版本的波基称为一组基,也就是说这个信号是由一组基线性表示出来,...
  • :为更好地将离散小波变换和连续小波变换...尺度函数和小波函数的方法的基础上。提出了对迭代卷积法的一种改进算法,同时给出了迭代卷积法的 收敛判定方法,并分析了改进后算法的优势.实验结果表明该算法是有效的.
  • 小波函数尺度函数分别是什么意思,有什么作用?小波分解的意义是什么以及作用?尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行副近.也就是用尺度函数对信号进行...
  • 小波分析和尺度函数(上)

    万次阅读 2015-01-27 21:15:38
    小波分析和尺度函数(上篇)  2011-08-28 21:31:19| 分类: 纸上谈兵|举报|字号 订阅...本文将不涉及小波分析的由来及发展历史,也不谈小波分析应用,本文主要目标仅是试着解释清楚小波函数和尺度函数两者的关系
  • 我们需要绘制各种小波函数 eg:Haar 这种 对于我们写文章等就很方便了 那么 现在打开MATLAB 版本较高的(2016以上的) 我们输入 waveletAnalyzer (低版本的是输入wavemenu,高版本也可以但是我的版本 MATLAB...
  • 对由尺度函数9生成的L2(R)上的多分辨分析以及小波空间W0,我们给出由尺度函数9构造出W0中的小波h的方法,建立了{h(x-k)}是W0的Riesz基的充分必要条件,将程正兴等在尺度序列属于l1空间限制下得到的9h的分解关系...
  • 使用matlab绘制N=2~7的Daubechies小波函数尺度函数的波形图。
  • a尺度正交多尺度函数合正交多小波!!!!!!!!!!!!!!
  • 几种小波的尺度和小波函数绘制程序
  • 小波分析和尺度函数(下)

    千次阅读 2015-01-27 21:18:40
    小波分析和尺度函数(下篇)  ...1,构造出尺度函数和所有小波函数,通过式(8)直接计算。 2,设计低通滤波器h(k),利用鱼骨型算法迭代计算。 其中方法2中,只需要设计出一个低通滤波器h(k),而方法1
  • 小波分析和尺度函数(中)

    千次阅读 2015-01-27 21:17:50
    小波分析和尺度函数(中篇)  2011-08-28 21:34:29| 分类: 纸上谈兵|举报|字号 订阅 (接上篇) 尺度函数: 在上图中,我们对频域进行分割,当分割到某个频率j时,不再继续分割了,...
  • 尺度函数和小波基构造程序matlab
  • 小波函数和尺度函数源码.zip
  • 基于正交小波尺度函数级数展开建立了一种计算复合函数多重积分的显式级数逼近方式,并将其应用到了强非线性微分方程边值问题的求解中。与经典小波伽辽金方法一样对待求解方程的未知函数,应用了尺度函数级数展开,但在...
  • 借助于正交多分辫分析和Fourier变换,在较弱条件下给出了空间L2(R)上M进制尺度函数的3...并利用一些等式和不等式,给出了正交尺度函数和正交小波的Fourier变换的紧支集刻画。所得结果推广和改进了彭思龙和吴华安的结论。
  • 小波函数SVM.pdf

    2018-04-26 23:45:37
    基于该核函数和正则化理论提出的最小二乘小波支持向量机用于非线性系统辨识, 对S I NC 函数的 逼近, 该小波核得到的均方根误差不足高斯径向基核的1 / 1 2,对l o g i s t i c混沌序列预测的均方根误差不超过 8×1 0 ...

空空如也

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尺度函数和小波函数