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  • 带通采样定理
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    2020-03-31 11:31:06

    终于写到这篇博文,相比于低通采样定理,带通采样定理在刚开始接触时,是真的难理解。现在,就由让我来引导你弄清楚带通采样定理吧。

    • 首先,为什么要有带通采样定理这个东西呢,对于所有的信号都使用奈奎斯特采样定理它不香吗?对于一些低频信号,使用奈奎斯特采样定理,那确实挺好。但是,科技在发展呀,现在基带信号骑在载波信号上形成的调制信号,那真的是层出不穷,载波信号有的上来就是三十多G,而基带信号的带宽可能就10M。现在我想把这个调制信号经过采样变成数字信号,我们要是使用奈奎斯特采样定理,你自己算算采样频率fs要多大,六七十Ghz,当然理论上这是可以采样的,但是,重要的是但是:实际中,你要做个这样的A/D转换器?太难了。
    • 奈奎斯特采样定理说明采样频率fs要不小于信号最高频率fH的两倍,最后就能无失真的恢复原信号。如果将从0到fH表示为这个信号的带宽(当然,这时的信号是个低频信号,比较好理解,别又是三四十Ghz的信号了),这时候其实也可以表示为fs只要不小于原信号两倍的带宽即2B就行了。而带通采样定理呢?fs也是以不小于原信号的带宽的两倍为条件的,当然可以根据fH与原信号带宽的关系,分为等于两倍带宽和大于两倍带宽两种。这是下面要讲的,这里看不懂,没关系。感觉还是补充一下什么是带宽吧,如下图中的B就是该信号的带宽。其中f0是中心频率,假设其是载波的频率。
      在这里插入图片描述
    • 下面可以直接上图了:
      图(1)

    这是原始信号的频谱图,现在我们要对于这个频谱图对应的时域信号x(t)进行采样,时域采样对应着频域的啥?频谱的周期延拓呗。下面这个图就是上面的频谱图进行周期延拓后的图。
    在这里插入图片描述
    当然,这个图只是一个特例,即是一个极限,刚好经过fs采样后,延拓后的频谱首尾相连,其实中间也可以是有空隙的,这里是为了由极限来推出公式而已。

    • 推导公式如下:
      { − f L + ( m − 1 ) f s ≤ f L f H ≤ − f H + m f s \left\{\begin{array}{c}-f_{\mathrm{L}}+(m-1) f_{\mathrm{s}} \leq f_{\mathrm{L}} \\ f_{\mathrm{H}} \leq-f_{\mathrm{H}}+m f_{\mathrm{s}}\end{array}\right. {fL+(m1)fsfLfHfH+mfs (1)
      这个公式一定要看懂哈,应该没啥难得吧,要是还是感觉看不懂可以在下方留言,让看到的朋友跟你解释,我看到的话,也会第一时间帮你解释解释。记住频谱是以fs为周期进行左右频移的。
    • 对于上面的公式进行变换可以得到:
      2 f H m ≤ f s ≤ 2 f L m − 1 \frac{2 f_{\mathrm{H}}}{m} \leq f_{\mathrm{s}} \leq \frac{2 f_{\mathrm{L}}}{m-1} m2fHfsm12fL (2)
    • 不要以为到这里公式就完了,这个m,它要有范围呀,你认为它能取到无穷大吗?肯定不行呀。
      首先,m是个整数;
      其次, 1 ≤ m ≤ ⌊ f H B ⌋ 1 \leq m \leq\left\lfloor\frac{f_{\mathrm{H}}}{B}\right\rfloor 1mBfH (3)
      这里 ⌊ ⋅ ⌋ \lfloor\cdot\rfloor 是向下取整哈。
    • 到最后了,可以说明为啥子fH与B的关系为什么可以影响到fs是取2B,还是要大于2B了。
      先看公式(2),如果说fH=nB,那么由公式(3),你说m最大可以取到几?当然是n了,这时候fs=2B,如果fH=(n+0.1)B,此时m最大值仍然是取n,这时候fs就要大于2B了。当然上面的m最大值是n,但是不一定是取n哈,如果不取n,那么fs就肯定大于2B了。
    • 欧克,到此结束,最后还要再把重点说一下,不论是奈奎斯特采样还是带通采样,都可以认为是fs不小于2B最后恢复信号时,即可完全恢复。所以说,其实带通采样也是满足奈奎斯特采样的,而奈奎斯特采样可以看作是带通采样的特例。
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    为什么要用带通采样定理呢?按理说,奈奎斯特采样定理不是通吃一切吗?话虽如此,奈奎斯特说,只要采样率不小于信号最高频率的2倍,采样后的信号就能能够准确恢复。

    可事实上,有很多行不通的地方,并不是说理论行不通,而是器件做不到,对于频带信号(带通信号)而言,例如天线发出的信号以及接收的信号,可以说都是频带信号,因为频带信号便于传输,这些信号的频率随着时代的进步,也越来越大,电磁信号向着GHz甚至数十GHz发展,如果再用奈奎斯特采样定理采样,如此之高的采样率ADC恐怕难以做到吧。

    下面的手稿是带通采样最简单的叙述:

    一些结论:

    如下图:带通信号最低采样频率随最高频率的变化,

     

    带通采样定理与奈奎斯特采样定理之间的关系:

    当带通信号的最高频率恰好等于信号带宽B时,此时带通信号就是一个基带信号了,最低的采样频率和奈奎斯特采样频率一样,为。

    2018/8/24更新:

    今天看论文:《宽带复杂雷达信号模拟技术研究》,里面也提到了带通采样定理,觉得这个推导方式还不错,分享下:

    感觉论文的最后一句话有点错误,应该表达为:若信号最高频率为信号带宽的整数倍时,采样频率只需大于信号带宽的两倍即可,当然如果信号的最高频率为带宽的整数倍,则采样频率可以为信号带宽的两倍进行采样,而不会发生频谱混叠。
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「李锐博恩」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/Reborn_Lee/article/details/81975499

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  • 带通采样定理+详细推导+应用举例

    热门讨论 2012-05-11 17:32:33
    CSDN上有人发带通采样定理的推导文档PDF格式,只有半页,居然收5分,我勒个去;我这个是有详细证明的,个人觉得讲解得很清晰,而且应用也很方便,word格式,看不懂我免费解释。只收2分,恶心下收5分的。
  • 低通采样定理与带通采样定理

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    一、(低通)采样定理 如何从抽样信号中恢复原连续信号、在什么条件下才可以无失真地由采样信号恢复原连续信号,著名的采样定理对此作了明确的回答。 采样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面...

    一、(低通)采样定理

    • 如何从抽样信号中恢复原连续信号、在什么条件下才可以无失真地由采样信号恢复原连续信号,著名的采样定理对此作了明确的回答。

    • 采样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位,该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。

    • 该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。

    抽样信号的频谱及频谱混叠现象

    1、连续信号及其频谱

    2、高抽样频率时的抽样信号及其频谱 

    3、低抽样频率时的抽样信号及其频谱

    不满足抽样定理时产生频率混叠现象

    时域抽样定理:

    时域抽样定理表明,一个频谱受限的信号, 如果频谱只占据的范围,则信号 可以用等间隔的抽样值唯一地表示,只要抽样间隔不大于, 其中为信号的最高频率,或者说,抽样频率满足条件

    通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率,把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔。

     


    二、带通采样定理

    实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通抽样定理的抽样速率fs≥2fH,对于频率限制在fL与fH之间的带通型信号抽样,肯定能满足频谱不混叠的要求。但这样选择fs太高了,它会使0~fL一大段频谱空隙得不到利用,抽样后的信号速率很高,降低了信道的利用率。

    那么,能否降低抽样频率?

    对带限信号采样时,若其下限频率fL, 上限频率为fH时:

    为使采样后的频域不发生混叠,需要使信号负频域的分量经过m-1次和m次平移后得到的频谱曲线不能与信号原本的正频域分量重叠,因此必须满足下式:

    对上式进行变换,可得

    从上面的结论中可以看出,当m取1时,正好是奈奎斯特采样定理。对于带通信号,没有必要使采样频率高于信号频率上限的两倍,若信号最高频率f_H为信号带宽的整数倍时采样频率只需大于或等于信号带宽的两倍即可,而不会发生频谱混叠。

    fs的计算例子,以30M-40M的信号为例,fH=40M,fL=30M,B=10M;当:

                        m=1时,80M<=fs<=∞;(低通采样定理)

                        m=2时,40M<=fs<=60M;

                        m=3时,26.6M<=fs<=30M;

                        m=4时,20M<=fs<=20M;(m取得最大值)

    以上3个区间内的任意频率都可以进行频谱不混叠的带通采样。

     

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  • 没有目的的学习是困难的,当初是为了过一遍信号处理的相关知识,遇到了带通采样定理,和奈奎斯特采样定理相比,简直麻烦的让人无法接受!转眼间,半年过去了,这次为了看论文而再次回顾带通采样定理时,发现,接受就...

    没有目的的学习是困难的,当初是为了过一遍信号处理的相关知识,遇到了带通采样定理,和奈奎斯特采样定理相比,简直麻烦的让人无法接受!转眼间,半年过去了,这次为了看论文而再次回顾带通采样定理时,发现,接受就好,也看了推导,反而觉得麻烦。

    下面简单的记录下带通采样定理,这个知识点,当你用的时候,你就不会认为它生涩难懂,因为比它难懂的东西太多了。


    为什么要用带通采样定理呢?按理说,奈奎斯特采样定理不是通吃一切吗?话虽如此,奈奎斯特说,只要采样率不小于信号最高频率的2倍,采样后的信号就能能够准确恢复。

    可事实上,有很多行不通的地方,并不是说理论行不通,而是器件做不到,对于频带信号(带通信号)而言,例如天线发出的信号以及接收的信号,可以说都是频带信号,因为频带信号便于传输,这些信号的频率随着时代的进步,也越来越大,电磁信号向着GHz甚至数十GHz发展,如果再用奈奎斯特采样定理采样,如此之高的采样率ADC恐怕难以做到吧。

    下面的手稿是带通采样最简单的叙述:


    一些结论:

    如下图:带通信号最低采样频率随最高频率的变化,


    带通采样定理与奈奎斯特采样定理之间的关系:

    当带通信号的最高频率f_{H}恰好等于信号带宽B时,此时带通信号就是一个基带信号了,最低的采样频率和奈奎斯特采样频率一样,为2f_H


    2018/8/24更新:

    今天看论文:《宽带复杂雷达信号模拟技术研究》,里面也提到了带通采样定理,觉得这个推导方式还不错,分享下:

     

    感觉论文的最后一句话有点错误,应该表达为:若信号最高频率为信号带宽的整数倍时,采样频率只需大于信号带宽的两倍即可,当然如果信号的最高频率f_H为带宽的整数倍,则采样频率可以为信号带宽的两倍进行采样,而不会发生频谱混叠。

    文中也提到了,带通采样的另一种表达方式,有兴趣的话可以找到这篇论文看看,个人觉得另一种方式说的就有点不像是人话了。

    展开全文
  • 带通采样定理是信号采样领域应用广泛的定理,描述为: 对带限信号采样时,若其下限频率为fL,上限频率为fH时,所需的采样频率fs满足:2fH/(m+1) ≤ fs ≤ 2fL/m,其中m为整数且满足m≤[ fL/(fH-fL) ],[ ]表示向下...
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带通采样定理

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