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  • 数学建模常用模型方法总结,tingbucuode
  • 数学建模常用模型及算法

    千次阅读 2020-09-03 14:57:36
    一、数学建模常用模型及算法:

    一、数学建模常用模型及算法:

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    下一篇博客开始我会分类别具体写出每一个模型和算法的知识和运用,有兴趣的同学持续关注哦!

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  • 数学建模常用模型13 :相关性分析

    万次阅读 多人点赞 2018-08-20 12:48:45
    相关分析研究的是两个变量的相关性,但你研究的两...相关性分析和聚类分析一样,比较简单,数学建模中经常用,但是每次都只用一小步,或者只是对数据进行一下分析,根据分析的结果确定使用的方法,所以这些方法不要掌...

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    相关分析研究的是两个变量的相关性,但你研究的两个变量必须是有关联的,如果你把历年人口总量和你历年的身高做相关性分析,分析结果会呈现显著地相关,但它没有实际的意义,因为人口总量和你的身高都是逐步增加的,从数据上来说是有一致性,但他们没有现实意义。

    相关性分析和聚类分析一样,比较简单,数学建模中经常用,但是每次都只用一小步,或者只是对数据进行一下分析,根据分析的结果确定使用的方法,所以这些方法不要掌握的特别深,能会用SPSS实现就行。相关性分析可以是简单的理解为各个变量之间的相关程度。

    相关性分析的SPSS操作不在演示,比较简单,大家可以参考下面链接操作一下。

    https://jingyan.baidu.com/article/22a299b5f4d17e9e18376a60.html

    一般这样认为:

    0.8-1.0 极强相关

    0.6-0.8 强相关

    0.4-0.6 中等程度相关

    0.2-0.4 弱相关

    0.0-0.2 极弱相关或无相关

     

    Sperman或kendall等级相关分析

    Person相关(样本点的个数比较多)//一般常用皮尔逊相关

    Copula相关(比较难,金融数学,概率密度)

    典型相关分析(因变量组Y1234,自变量组X1234,各自变量组相关性比较强,问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)

     

    下面是一个典型相关性分析的MATLAB的程序,想看的可以看一下

    例 满意度典型相关分析

    某调查公司从一个大型零售公司随机调查了 784 人,测量了 5 个职业特性指标和 7个职业满意变量,有关的变量见表 1讨论两组指标之间是否相联系。

    表1 指标变量表

    X组

    X1—用户反馈,X2—任务重要性,X3—任务多样性,X4—任务特殊性

    X5—自主性

    Y组

    Y1—主管满意度,Y2—事业前景满意度,Y3—财政满意度,Y4—工作强度满意度,Y5—公司地位满意度, Y6—工作满意度,Y7—总体满意度

    相关系数矩阵数据见表 2

    表2 相关系数矩阵数据

     

    X1

    X2

    X3

    X4

    X5

    Y1

    Y2

    Y3

    Y4

    Y5

    Y6

    Y7

    X1

    1.00

    0.49

    0.53

    0.49

    0.51

    0.33

    0.32

    0.20

    0.19

    0.30

    0.37

    0.21

    X2

    0.49

    1.00

    0.57

    0.46

    0.53

    0.30

    0.21

    0.16

    0.08

    0.27

    0.35

    0.20

    X3

    0.53

    0.57

    1.00

    0.48

    0.57

    0.31

    0.23

    0.14

    0.07

    0.24

    0.37

    0.18

    X4

    0.49

    0.46

    0.48

    1.00

    0.57

    0.24

    0.22

    0.12

    0.19

    0.21

    0.29

    0.16

    X5

    0.51

    0.53

    0.57

    0.57

    1.00

    0.38

    0.32

    0.17

    0.23

    0.32

    0.36

    0.27

    Y1

    0.33

    0.30

    0.31

    0.24

    0.38

    1.00

    0.43

    0.27

    0.24

    0.34

    0.37

    0.40

    Y2

    0.32

    0.21

    0.23

    0.22

    0.32

    0.43

    1.00

    0.33

    0.26

    0.54

    0.32

    0.58

    Y3

    0.20

    0.16

    0.14

    0.12

    0.17

    0.27

    0.33

    1.00

    0.25

    0.46

    0.29

    0.45

    Y4

    0.19

    0.08

    0.07

    0.19

    0.23

    0.24

    0.26

    0.25

    1.00

    0.28

    0.30

    0.27

    Y5

    0.30

    0.27

    0.24

    0.21

    0.32

    0.34

    0.54

    0.46

    0.28

    1.00

    0.35

    0.59

    Y6

    0.37

    0.35

    0.37

    0.29

    0.36

    0.37

    0.32

    0.29

    0.30

    0.35

    1.00

    0.31

    Y7

    0.21

    0.20

    0.18

    0.16

    0.27

    0.40

    0.58

    0.45

    0.27

    0.59

    0.31

    1.00

     

    一些计算结果的数据见下面的表格。

    表3 的典型变量

     

    u1

    u2

    u3

    u4

    u5

    X1

    0.421704

    -0.34285

    0.857665

    -0.78841

    0.030843

    X2

    0.195106

    0.668299

    -0.44343

    -0.26913

    0.983229

    X3

    0.167613

    0.853156

    0.259213

    0.468757

    -0.91414

    X4

    -0.02289

    -0.35607

    0.423106

    1.042324

    0.524367

    X5

    0.459656

    -0.72872

    -0.97991

    -0.16817

    -0.43924

    表 4原始变量与本组典型变量之间的相关系数

     

    u1

    u2

    u3

    u4

    u5

    X1

    0.829349

    -0.10934

    0.48534

    -0.24687

    0.061056

    X2

    0.730368

    0.436584

    -0.20014

    0.002084

    0.485692

    X3

    0.753343

    0.466088

    0.105568

    0.301958

    -0.33603

    X4

    0.615952

    -0.22251

    0.205263

    0.661353

    0.302609

    X5

    0.860623

    -0.26604

    -0.38859

    0.148424

    -0.12457

     

     

    V1

    V2

    V3

    V4

    V5

    Y1

    0.756411

    0.044607

    0.339474

    0.129367

    -0.33702

    Y2

    0.643884

    0.358163

    -0.17172

    0.352983

    -0.33353

    Y3

    0.387242

    0.037277

    -0.17673

    0.53477

    0.414847

    Y4

    0.377162

    0.791935

    -0.00536

    -0.28865

    0.334077

    Y5

    0.653234

    0.108391

    0.209182

    0.437648

    0.434613

    Y6

    0.803986

    -0.2416

    -0.23477

    -0.40522

    0.196419

    Y7

    0.502422

    0.162848

    0.4933

    0.188958

    0.067761

    表 5原始变量与对应组典型变量之间的相关系数

     

    V1

    V2

    V3

    V4

    V5

    X1

    0.459216

    0.025848

    -0.05785

    0.017831

    0.003497

    X2

    0.404409

    -0.10321

    0.023854

    -0.00015

    0.027816

    X3

    0.417131

    -0.11019

    -0.01258

    -0.02181

    -0.01924

    X4

    0.341056

    0.052602

    -0.02446

    -0.04777

    0.01733

    X5

    0.476532

    0.062893

    0.046315

    -0.01072

    -0.00713

     

     

    u1

    u2

    u3

    u4

    u5

    Y1

    0.41883

    -0.01055

    -0.04046

    -0.00934

    -0.0193

    Y2

    0.356523

    -0.08467

    0.020466

    -0.0255

    -0.0191

    Y3

    0.214418

    -0.00881

    0.021064

    -0.03863

    0.023758

    Y4

    0.208837

    -0.18722

    0.000639

    0.020849

    0.019133

    Y5

    0.3617

    -0.02562

    -0.02493

    -0.03161

    0.02489

    Y6

    0.445172

    0.057116

    0.027981

    0.029268

    0.011249

    Y7

    0.278194

    -0.0385

    -0.05879

    -0.01365

    0.003881

    表6 典型相关系数

    1

    2

    3

    4

    5

    0.5537

    0.2364

    0.1192

    0.0722

    0.0573

     

    MATLAB源代码:

    clc,clear
    load r.txt %原始的相关系数矩阵保存在纯文本文件r.txt中
    n1=5;n2=7;num=min(n1,n2);
    s1=r(1:n1,1:n1); %提出X与X的相关系数
    s12=r(1:n1,n1+1:end); %提出X与Y的相关系数
    s21=s12'; %提出Y与X的相关系数
    s2=r(n1+1:end,n1+1:end); %提出Y与Y的相关系数
    m1=inv(s1)*s12*inv(s2)*s21; %计算矩阵M1
    m2=inv(s2)*s21*inv(s1)*s12; %计算矩阵M2
    [vec1,val1]=eig(m1); %求M1的特征向量和特征值
    for i=1:n1
        vec1(:,i)=vec1(:,i)/sqrt(vec1(:,i)'*s1*vec1(:,i)); %特征向量归一化,满足a's1a=1
        vec1(:,i)=vec1(:,i)/sign(sum(vec1(:,i))); %特征向量乘以1或-1,保证所有分量和为正
    end
    val1=sqrt(diag(val1)); %计算特征值的平方根
    [val1,ind1]=sort(val1,'descend'); %按照从大到小排列
    a=vec1(:,ind1(1:num)) %取出X组的系数阵
    dcoef1=val1(1:num) %提出典型相关系数
    [vec2,val2]=eig(m2);
    for i=1:n2
        vec2(:,i)=vec2(:,i)/sqrt(vec2(:,i)'*s2*vec2(:,i)); %特征向量归一化,满足b's2b=1
        vec2(:,i)=vec2(:,i)/sign(sum(vec2(:,i))); %特征向量乘以1或-1,保证所有分量和为正
    end
    val2=sqrt(diag(val2)); %计算特征值的平方根
    [val2,ind2]=sort(val2,'descend'); %按照从大到小排列
    b=vec2(:,ind2(1:num)) %取出Y组的系数阵
    dcoef2=val2(1:num) %提出典型相关系数
    x_u_r=s1*a %x,u的相关系数
    y_v_r=s2*b %y,v的相关系数
    x_v_r=s12*b %x,v的相关系数
    y_u_r=s21*a %y,u的相关系数
    mu=sum(x_u_r.^2)/n1 %x组原始变量被u_i解释的方差比例
    mv=sum(x_v_r.^2)/n1 %x组原始变量被v_i解释的方差比例
    nu=sum(y_u_r.^2)/n2 %y组原始变量被u_i解释的方差比例
    nv=sum(y_v_r.^2)/n2 %y组原始变量被v_i解释的方差比例
    fprintf('X组的原始变量被u1~u%d解释的比例为%f\n',num,sum(mu));
    fprintf('Y组的原始变量被v1~v%d解释的比例为%f\n',num,sum(nv));
    

    可以看出,所有五个表示职业特性的变量与有大致相同的相关系数,视为形容职业特性的指标。第一对典型变量的第二个成员V1与Y1,Y2,Y5,Y6有较大的相关系数,说明V1主要代表了主管满意度,事业前景满意度,公司地位满意度和工种满意度。而U1和V1之间的相关系数0.5537。

    u1和v1解释的本组原始变量的比率:

    {m_{{u_1}}} = 0.5818 ,{n_{{v_1}}} = 0.3721

    X组的原始变量被到解释了100%, Y 组的原始变量被到解释了80.3%。

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    给大家安利一款朋友开发的自研国产数据分析基础工具,一键式自动分析,自动生成分析模板,5分钟掌握主流61个统计类数学模型(几乎涵盖SPSS绝大部分功能),以及23个有监督机器学习(包括随机森林,SVM,XGBoost等)

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    数据包络分析模板

    数据包络分析是评价多输入指标和多输出指标的较为有效的方法,将投入与产出进行比较。它的结果包含的意思有:

    ①θ=1,DEA有效,表示投入与产出比达到最优

    ②θ<1,非DEA有效,表示投入与产出比没有达到最优,一般来说,θ越大说明效果越好。

    数据包络分析是通过对投入的指标和产出的指标做了一个线性规划,并且进行变换后,然后根据其线性规划的对偶问题(线性规划对偶问题具有经济学意义),求解这个对偶问题的最值就是θ。

    数据包络分析(data envelopment analysis,DEA)是一个对多投入\多产出的多个决策单元的效率评价方法。是1978年由CHARNES和COOPER创建的。可广泛使用于业绩评价。

    DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统,这主要体现在以下几点:

    1. DEA以决策单位各输入/输出的权重为变量,从最有利于决策单元的角度进行评价,从而避免了确定各指标在优先意义下的权重;
    2. 假定每个输入都关联到一个或者多个输出,而且输入/输出之间确实存在某种关系,使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------

    例 利用DEA方法对天津市的可持续发展进行评价。在这里选取较具代表性的指标作为输入变量和输出变量,见表1。

    表1 各决策单元输入、输出指标值

    序号

    决策

    单元

    政府财政收入占

    GDP的比例/%

    环保投资占GDP

    的比例/%

    每千人科技

    人员数/人

    人均GDP

    /元

    城市环境

    质量指数

    1

    1990

    14.40

    0.65

    31.30

    3621.00

    0.00

    2

    1991

    16.90

    0.72

    32.20

    3943.00

    0.09

    3

    1992

    15.53

    0.72

    31.87

    4086.67

    0.07

    4

    1993

    15.40

    0.76

    32.23

    4904.67

    0.13

    5

    1994

    14.17

    0.76

    32.40

    6311.67

    0.37

    6

    1995

    13.33

    0.69

    30.77

    8173.33

    0.59

    7

    1996

    12.83

    0.61

    29.23

    10236.00

    0.51

    8

    1997

    13.00

    0.63

    28.20

    12094.33

    0.44

    9

    1998

    13.40

    0.75

    28.80

    13603.33

    0.58

    10

    1999

    14.00

    0.84

    29.10

    14841.00

    1.00

    输入变量:政府财政收入占GDP的比例、环保投资占GDP的比例、每千人科技人员数。输出变量:经济发展(用人均GDP表示)、环境发展(用城市环境质量指数表示;计算过程中,城市环境指数的数值作了归一化处理)。

    MATLAB程序为:

    clc,clear

    format long

    load('data.txt');%把原始数据保存在纯文本文件data.txt中

    X=data(:,[1:3]);%X为输入变量,3为输入变量的个数

    X=X';

    Y=data(:,[4:5]);%Y为输出变量,5(3+2),2为输出变量的个数

    Y=Y';           

    n=size(X',1);m=size(X,1);s=size(Y,1);

    A=[-X' Y'];

    b=zeros(n,1);

    LB=zeros(m+s,1);UB=[];

    for i=1:n;

      f=[zeros(1,m)  -Y(:,i)'];

      Aeq=[X(:,i)',zeros(1,s)];beq=1;

      w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);

        E(i,i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i);

    end

    theta=diag(E)';

    fprintf('用DEA方法对此的相对评价结果为:\n');

    disp(theta);

    omega=w(1:m,:)

    mu=w(m+1:m+s,:)

    ——————————————————————————————————

    补充:

    定义1 若线性规划问题的最优目标值theta=1,则称决策单元是弱DEA有效地。

    定义2 若线性规划问题存在最优解omega>0,mu>0,并且其最优目标值theta=1,则称决策单元是DEA有效的。

    从上述定义可以看出,所谓DEA有效,就是指那些决策单元,它们的投入产出比达到最大。因此,可以用DEA来对决策变量进行评价。

    ——————————————————————————————————

    计算结果见表2,最优目标值用 表示。显而易见,该市在20世纪90年代的发展是朝着可持续方向前进的。

    表2 用DEA方法对天津市可持续发展的相对评价结果

    年份

     

    结论

    年份

     

    结论

    1990

    0.2901843

    非DEA有效

    1995

    0.7182609

    非DEA有效,规模收益递增

    1991

    0.2853571

    非DEA有效,规模收益递减

    1996

    0.9069108

    非DEA有效,规模收益递增

    1992

    0.2968261

    非DEA有效,规模收益递增

    1997

    1

    DEA有效,规模收益递增

    1992

    0.3425151

    非DEA有效,规模收益递增

    1998

    1

    DEA有效,规模收益不变

    1994

    0.4594712

    非DEA有效,规模收益递增

    1999

    1

    DEA有效,规模收益不变

    后面三个不是1,只是非常接进1,实际运算结果见下图:

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  • 数学建模常用模型23:马尔可夫预测方法

    万次阅读 多人点赞 2018-08-21 14:53:06
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    马尔可夫预测的性质及运用

    对事件的全面预测,不仅要能够指出事件发生的各种可能结果,而且还必须给出每一种结果出现的概率,说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。

    马尔可夫(Markov)预测法,就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻(或时期)变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。

    基本概念

    (一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程

    1.状态  在马尔可夫预测中,“状态”是一个重要的术语。所谓状态,就是指某一事件在某个时刻(或时期)出现的某种结果。一般而言,随着所研究的事件及其预测的目标不同,状态可以有不同的划分方式。譬如,在商品销售预测中,有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态;在农业收成预测中,有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态;在人口构成预测中,有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态;等等。

    2.状态转移过程  在事件的发展过程中,从一种状态转变为另一种状态,就称为状态转移。事件的发展,随着时间的变化而变化所作的状态转移,或者说状态转移与时间的关系,就称为状态转移过程,简称过程。

     

    (二)状态转移概率与状态转移概率矩阵

    1.状态转移概率  在事件的发展变化过程中,从某一种状态出发,下一时刻转移到其它状态的可能性,称为状态转移概率。根据条件概率的定义,由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率P(Ei→Ej)就是条件概率P(Ej/Ei),即

                                 {\rm{P(Ei}} \to {\rm{Ej) = P(Ej/Ei) = Pij }}

    2.状态转移概率矩阵  假定某一种被预测的事件有E1,E2,…,En,共n个可能的状态。记Pij为从状态Ei转为状态Ej的状态转移概率,作矩阵

                             

    则称P为状态转移概率矩阵。

    如果被预测的某一事件目前处于状态Ei,那么在下一个时刻,它可能由状态Ei转向E1,E2,…Ei…En中的任一个状态。所以Pij满足条件: 

                             

    一般地,我们将满足上面条件的任何矩阵都称为随机矩阵,或概率矩阵。不难证明,如果P为概率矩阵,则对任何数m>0,矩阵Pm都是概率矩阵。

    如果P为概率矩阵,而且存在整数m>0,使得概率矩阵Pm中诸元素皆非零,则称P为标准概率矩阵。可以证明,如果P为标准概率矩阵,则存在非零向量a = \left[ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right],而且满足\[0 \le {x_i} \le 1 {\rm{and}} \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1\],使得:

                                  ap=a 

    这样的向量α称为平衡向量,或终极向量。

    3.状态转移概率矩阵的计算  计算状态转移概率矩阵P,就是要求每个状态转移到其它任何一个状态的转移概率Pij(i,j=1,2,…,n)。为了求出每一个Pij,我们采用频率近似概率的思想来加以计算。

     

    举例如下:

    考虑某地区农业收成变化的三个状态,即“丰收”、“平收”和“欠收”。记E1为“丰收”状态,E2为“平收”状态,E3为“欠收”状态。下表给出了该地区1950—1989年期间农业收成的情况以及状态变化:

    年份

    1950

    1951

    1952

    1953

    1954

    1955

    1956

    1957

    1958

    1959

    序号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    状态

    E1

    E1

    E2

    E3

    E2

    E1

    E3

    E2

    E1

    E2

    年份

    1960

    1961

    1962

    1963

    1964

    1965

    1966

    1967

    1968

    1969

    序号

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    状态

    E3

    E1

    E2

    E3

    E1

    E2

    E1

    E3

    E3

    E1

    年份

    1970

    1971

    1972

    1973

    1974

    1975

    1976

    1977

    1978

    1979

    序号

    21

    22

    23

    24

    25

    26

    27

    28

    29

    30

    状态

    E3

    E3

    E2

    E1

    E1

    E3

    E2

    E2

    E1

    E2

    年份

    1980

    1981

    1982

    1983

    1984

    1985

    1986

    1987

    1988

    1989

    序号

    31

    32

    33

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    状态

    E1

    E3

    E2

    E1

    E1

    E2

    E2

    E3

    E1

    E2

    以下,我们来计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。

    从表2-18中可知,在15个从E1出发(转移出去)的状态转移中,有3个是从E1转移到E1的(即1→2,24→25,34→35),有7个是从E1转移到E2的(即2→3,9→10,12→13,15→16,29→30,35→36,39→40),有5个是从E1转移到E3的(即6→7,17→18,20→21,25→26,31→32)。

            故

                 

    按照上述同样的办法计算可以得到

                     

    所以,该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为

                      (1)

    马尔可夫预测法

    为了运用马尔可夫预测法对事件发展过程中状态出现的概率进行预测,还需要再介绍一个名词:状态概率πj(k)。πj(k)表示事件在初始(k=0)时状态为已知的条件下,经过k次状态转移后,第k个时刻(时期)处于状态Ej的概率。根据概率的性质,显然有:

                     \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _j}(k) = 1}                           (2)

    从初始状态开始,经过k次状态转移后到达状态Ej这一状态转移过程,可以看作是首先经过(k-1)次状态转移后到达状态Ei(i=1,2,…,n),然后再由Ei经过一次状态转移到达状态Ej。根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式,有

                    {\pi _j}(k) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\pi _i}} (k - 1){P_{ij}}(j = 1,2, \cdots n)                     (3)

    若记行向量π(k)=[π1(k),π2(k),…,πn(k)],则由(3)式可得逐次计算状态概率的递推公式:

                                  (4)

    在(4)式中,π(0)=[π1(0),π2(0),…,πn(0)]为初始状态概率向量。

    由上述分析可知,如果某一事件在第0个时刻(或时期)的初始状态已知(即π(0)已知),则利用递推公式(4)式,就可以求得它经过k次状态转移后,在第k个时刻(时期)处于各种可能的状态的概率(即π(k)),从而得到该事件在第k个时刻(时期)的状态概率预测。

    在前例中,如果将1989年的农业收成状态记为π(0)=[0,1,0](因为1989年处于“平收”状态),则将状态转移概率矩阵(1)式及π(0)代入递推公式(4)式,就可以求得1990—2000年可能出现的各种状态的概率(见下表)。

         

    (二)终极状态概率预测

    经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率,或称平衡状态概率。如果记终极状态概率向量为π=[π1,π2,…,πn],则

                    (5)

    即有:

                                               (6)

    将(6)式代入马尔可夫预测模型的递推公式(4)式得

                π=πP 

    这样,就得到了终极状态概率应满足的条件:

    (1)π=πP

    (2)0 \le \pi i \le 1i = 12 \ldots n)

    (3)\sum\limits_{i = 1}^n {{\pi _i}} = 1

    以上条件(2)与(3)是状态概率的要求,其中,条件(2)表示,在无穷多次状态转移后,事件必处在n个状态中的任意一个;条件(1)就是用来计算终极状态概率的公式。终极状态概率是用来预测马尔可夫过程在遥远的未来会出现什么趋势的重要信息。

    在前例关于某地区农业收成状态概率的预测中,设终极状态的概率为π=[π1,π2,π3],则

               

    即:

                                    (7)

    求解方程组(7)式得:π1=0.3653,π2=0.3525,π3=0.2799。这说明,该地区农业收成的变化,在无穷多次状态转移后,“丰收”和“平收”状态出现的概率都将大于“欠收”状态出现的概率。

    在地理事件的预测中,被预测对象所经历的过程中各个阶段(或时点)的状态和状态之间的转移概率是最为关键的。马尔可夫预测的基本方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势。马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此,必须具有足够多的统计数据,才能保证预测的精度与准确性。

     

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