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  • 最小二乘法公式推导

    2018-03-24 16:24:00
    最小二乘法公式推导 https://blog.csdn.net/lql0716/article/details/70165695 转载于:https://www.cnblogs.com/Aaron12/p/8639574.html

    最小二乘法公式推导

    https://blog.csdn.net/lql0716/article/details/70165695

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  • 线性回归最小二乘法公式推导

    千次阅读 多人点赞 2019-03-11 11:04:23
    公式推导 L ( w ) = ∑ i = 1 N ( x i w − y i ) 2 L(w) = \sum^{N}_{i =1 } (x_{i}w - y_{i})^{2} L(w)=i=1∑N​(xi​w−yi​)2 w = arg ⁡ min ⁡ L ( w ) = arg ⁡ min ⁡ ∑ i = 1 N ( x i w − y i ) 2 w = \...

    1. 符号表示

    首先我们将训练样本的特征矩阵X进行表示,其中N为样本个数,p为特征个数,每一行表示为每个样本,每一列表示特征的每个维度:
    X=(x11x12...x1px21x22...x2p............xN1xN2...xNp)Np X= \begin{gathered} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & ... & x_{2p} \\ ... & ... &... &... \\ x_{N1} & x_{N2} & ... & x_{Np} \end{pmatrix} \quad \end{gathered}_{N\cdot p}

    然后我们对训练样本的标签向量Y权重向量w进行表示,其中权重向量指的是线性回归中各个系数形成的向量。
    Y=(y1y2...yN) Y = \begin{gathered} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ... \\ y_{N} \end{pmatrix} \quad \end{gathered}

    w=(w1w2...wp) w = \begin{gathered} \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ ... \\ w_{p} \end{pmatrix} \quad \end{gathered}
    为了方便运算,我们把yi=xiw+by_{i} = x_{i}w + b中的b也并入到w和x中。则上述的符号表示则为:

    X=(x10x11x12...x1px20x21x22...x2p...............xN0xN1xN2...xNp)Np X= \begin{gathered} \begin{pmatrix} x_{10} & x_{11} & x_{12} & ... & x_{1p} \\ x_{20} & x_{21} & x_{22} & ... & x_{2p} \\ ... & ... &... &... &... \\ x_{N0} & x_{N1} & x_{N2} & ... & x_{Np} \end{pmatrix} \quad \end{gathered}_{N\cdot p}

    w=(w0w1w2...wp) w = \begin{gathered} \begin{pmatrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \\ ... \\ w_{p} \end{pmatrix} \quad \end{gathered}

    2. 公式推导

    L(w)=i=1N(xiwyi)2L(w) = \sum^{N}_{i =1 } (x_{i}w - y_{i})^{2}
    w=argminL(w)=argmini=1N(xiwyi)2w = \operatorname { arg } \operatorname { min }L(w) = \operatorname { arg } \operatorname { min } \sum^{N}_{i =1 } (x_{i}w - y_{i})^{2}
    为什么是转置乘以原矩阵,这是由于Y是列向量,则(XWY)(XW - Y)则也是列向量。根据矩阵乘法的定义,只有行向量乘以列向量,最终结果才是一个常数。
    L(w)=(XWY)T(XWY)L(w) = (XW-Y)^{T} (XW-Y)

    L(w)=(WTXTYT)(XWY)L(w) = (W^{T}X^{T} - Y^{T})(XW-Y)

    L(w)=(WTXTXW2WTXTY+YTY)L(w) = (W^{T}X^{T}XW-2W^{T}X^{T}Y+Y^{T}Y)

    L(w)w=2XTXW2XTY=0\frac { \partial L(w)} {\partial w} = 2X^{T}XW - 2X^{T}Y = 0

    W=(XTX)1XTYW = {(X^{T}X)}^{-1}X^{T}Y

      后记:其实求非线性回归的时候也可以使用该最小二乘法来计算多项式系数ww,只要把高次项添加到原始的XX后面即可。

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  • 线性回归和最小二乘法 周志华西瓜书3.2、P55公式推导 公式推导如下 对应的需要有些矩阵求导的公式: 其中我们约定,大写字母表示矩阵,小写字母表示标量,小写字母加粗表示向量,大部分书中都是这么约定,不过...

    线性回归和最小二乘法 

     周志华西瓜书3.2、P55公式推导

    公式推导如下

     

    对应的需要有些矩阵求导的公式:

    其中我们约定,大写字母表示矩阵,小写字母表示标量,小写字母加粗表示向量,大部分书中都是这么约定,不过也要视情况而定。

     

     如果对公式产生疑惑也不要紧,可以看看这里的链接

     https://blog.csdn.net/Willen_/article/details/87912967

    如果还是不清楚,那么久补一补矩阵的知识 。推荐张贤达的矩阵分析

     

     

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  • 二元线性回归最小二乘法公式推导

    万次阅读 2017-02-28 21:23:23
    手动推导最小二乘法进行线性回归,求参数

    如图所示


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  • 最小二乘法的主要思想是通过确定未知参数θ\thetaθ(通常是一个参数矩阵),来使得真实值和预测值的误差(也称残差)平方和最小,其计算公式为E=∑i=0nei2=∑i=1n(yi−yi^)E=\sum_{i=0}^ne_i^2=\sum_{i=1}^n(y_i-\...
  • 简单线性回归-最小二乘法公式推导

    千次阅读 2018-03-26 11:54:22
    附python代码:(网上很多版本bo计算公式有误)import numpy as np def LSmethod(x,y): n=len(x) numerator = 0#分子 dinominator=0#分母 for i in range(0,n): numerator +=(x[i]-np.mean(x))*(y[i]-np.mean(y...
  • 最小二乘法公式

    千次阅读 2020-10-20 19:30:08
    最小二乘法公式 最小二乘法公式是一个数学的公式,在数学上称为曲线拟合,此处所讲最小二乘法,专指线性回归方程!最小二乘法公式为a=y(平均)-b*x(平均)。 1.简介: 最小二乘法公式: 设拟合直线的公式为, 其中:...
  • 最小二乘法简明推导过程

    千次阅读 2018-10-05 09:52:49
    最小二乘法公式 J(θ)=1m∑i=1m(y(i)−hθ(x(i)))2J(\theta) = \frac1m\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - h_{\theta}(x^{(i)}))^2J(θ)=m1​i=1∑m​(y(i)−hθ​(x(i)))2 证明 1.假设 设数据中未被考虑进来的特征和人为无法...
  • 最小二乘法-公式推导

    2018-05-20 11:36:47
    求出这样一些未知参数使得样本点和拟合线的总误差(距离)最小 最直观的感受如下图(图引用自知乎某作者) 而这个误差(距离)可以直接相减,但是直接相减会有正有负,相互抵消了,所以就用差的平方 推导过程 1 ...
  • 最后通过最小二乘法计算出最适合的权重w和b来拟合这些数据。 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0,100,200) noise = np.random.normal(loc=0,scale = 20,size=200) y =.
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  • 最小二乘法-公式推导 关于最小二乘法公式
  • 接上一篇文章【线性回归——二维线性回归方程(证明和代码实现)】 前言: ...一、公式推导 假如现在有一堆这样的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)(x1​,y1​),
  • 最小二乘法推导.pdf

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    万次阅读 热门讨论 2017-04-21 15:04:49
    最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小来寻找一组数据的最佳匹配函数的计算方法,最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。最小二乘圆拟合方法是一种基于统计的...
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  • 最小二乘法

    2017-04-15 00:03:02
    最小二乘法公式推导
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  • 本文档介绍了通过最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现
  • 递推最小二乘法RLS公式详细推导

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  • 关于最小二乘法求解,目的是求得最小解,以下以三阶最小二乘法为例。 求矩阵方程,即可得出系数a,b,c,d得值。
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