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最小二乘法推导
假设一组数据线性关系为 $\ y=\beta_0 +\beta_1x$
实际建模中系数$\ \beta_0,\beta_1$是未知的，但是我们的数据是已知的，为了让我们估计的$\ \hat{y}$与实际的$\ y$ 尽可能接近，我们使
$\ RSS = (y_1-\hat{y}_1)^2+(y_2-\hat{y}_2)^2+……+(y_n-\hat{y}_n)^2$
$\ = (y_1-\beta_0-\beta_1x_1)^2+(y_2-\beta_0-\beta_1x_2)^2+……+(y_2-\beta_0-\beta_1x_2)^2$
$\ =\sum_{i=1}^n(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2$
因为$\ RSS$最小值为0，没有最大值，所以当$\ RSS(\beta_0,\beta_1)$对未知参数$\ \beta_0,\beta_1$求偏导等于0：
$\ =\left\{\begin{matrix} \frac{\partial RSS(\beta_0,\beta_1)}{\partial\beta_0}=-2\sum_{i=1}^n(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)=0\\ \\ \frac{\partial RSS(\beta_0,\beta_1)}{\partial\beta_1}=-2\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)=0 \end{matrix}\right.$

$\ \frac{\partial RSS(\beta_0,\beta_1)}{\partial\beta_0}=-2\sum_{i=1}^n(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)=0$
$\ =>\sum_{i=1}^ny_i-\sum_{i=1}^n\beta_0-\sum_{i=1}^n\beta_1x_i=0$
$\ =>\sum_{i=1}^n\beta_0=\sum_{i=1}^ny_i-\sum_{i=1}^n\beta_1x_i$
$\ =>n\beta_0=\sum_{i=1}^ny_i-\beta_1\sum_{i=1}^nx_i$
$\ =>\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}$

$\ \frac{\partial RSS(\beta_0,\beta_1)}{\partial\beta_1}=-2\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)=0$
$\ =>-2\sum_{i=1}^nx_i(y_i-(\overline{y}-\beta_1\overline{x})-\beta_1x_i)=0$
$\ =>\sum_{i=1}^nx_i[y_i-\overline{y}-\beta_1(x_i-\overline{x})]=0$
$\ =>\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\overline{y})=\sum_{i=1}^n\beta_1x_i(x_i-\overline{x})$
$\ =>\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=1}^nx_i(x_i-\overline{x})}$
$\ =>\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\overline{y})-n\overline{x}\overline{y}+n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^nx_i(x_i-\overline{x})-n\overline{x}\overline{x}+n\overline{x}\overline{x}}$
$\ =>\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^nx_i(y_i-\overline{y})-\sum_{i=1}^n\overline{x}y_i+\sum_{i=1}^n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^nx_i^2-2\sum_{i=1}^nx_i\overline{x}+\sum_{i=1}^n\overline{x}^2}$
$\ =>\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}$
上下同时除以$\ n^2$,
$\ => \beta_1=\frac{E(x-E(x))E(y-E(y))}{E(x-E(x))^2}=\frac{cov(x,y)}{Var(x)}$
$\ \beta_1$ 即 $\ x,y$ 的协方差$\ cov(x,y)$ 和 $\ x$ 方差 $\ Var(x)$的比值
$\ \sum_{i=1}^nx_i=n\overline{x},\sum_{i=1}^ny_i=n\overline{y}$


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最小二乘法有什么用？一般用它做什么事？
我们最早接触最小二乘法是在高中的时候学的。最小二乘法一般被用来拟合数据。什么叫做拟合数据？
就是给定你一堆数据，然后你假设这些数据是满足某种函数的，比如你假设这些数据是一条直线。现在问题来了到底这些数据所对应的那条直线斜率是多少截距是多少？这就得用最小二乘法来求解。
总结：最小二乘法拟合数据的步骤有两步。1.首先，假设这些数据符合某种函数。而这种函数往往有几个待设定的参数，不同数据对应不同参数。（就像直线一样不同数据，拟合这些数据的直线的斜率和截距都不一样）。2.然后，使用最小二乘法求解前面步骤提到的那几个待设定参数。具体怎么求解请看后面的内容。
从实例中学习线性最小二乘法
假设我们需要拟合下面这三个点。

前面提到了第一步我们需要假设这些数据符合某种函数。在这里我们假设它们是符合线性函数的。假设拟合他们的直线方程为$y=kx+b$。其中k是斜率，b是截距。这两个都是未知的待求解的量
如果他们完全是在直线上那么他们应该要满足$y=kx+b$。现在有三个数据点那么代入到$(kx+b)=y$可以得到三个式子（由于数据并不完全在直线上所以是约等于）。
$(kx1+b)\approx y1\\ (kx2+b)\approx y2\\ (kx3+b)\approx y3$
我们需要根据上面三个式子求出k和b。
为了能让计算机快速的求解我们将上面那个式子写成矩阵相乘的形式。
$\begin{bmatrix} x1 & 1 \\ x2 & 1\\ x3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k \\ b \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y1 \\ y2\\ y3 \end{bmatrix}$
为了书写方便，我们将这几个矩阵分别弄个名字。定义：
$A=\begin{bmatrix} x1 & 1 \\ x2 & 1\\ x3 & 1 \end{bmatrix} \\ x=\begin{bmatrix} k \\ b \end{bmatrix} \\ y=\begin{bmatrix} y1 \\ y2\\ y3 \end{bmatrix}$
因此我们得到了一个等式$Ax=y$。我们已知A和y，需要求x。按道理我们直接对A求逆就可以求出x。但是由于现在A不是方阵没法求逆。虽然A不是方阵但是$A^TA$却是方阵。我们在等式$Ax=y$两边同时乘上$A^T$即可得到$A^TAx=A^Ty$，然后$x=(A^TA)^{-1}A^Ty=\begin{bmatrix} 1.5\\ -0.333 \end{bmatrix}$。
所以最优的那条拟合曲线就是y = 1.5x – 0.333。
下面我们用Python编程实现下这个求解过程
Python实现线性最小二乘法
import numpy as np

A = np.array([
[1, 1],
[2, 1],
[3, 1],
])

y = np.array([1, 3, 4])

x = np.matmul(np.matmul(np.linalg.inv(np.matmul(A.T,A)),A.T),y)

print("求得直线为：y={}*x+{}".format(x[0],x[1]))



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• 最小二乘法在中学时讲过。有一些散点有线性的趋势，用一个一次函数去拟合，使得差距最小化。 假设数据点为 $$(x_1, y_1), (x_2, y_2),\dots,(x_m, y_m)$$ ，使用如下一次函数去拟合： $y = w_1 x + w_0$ 对于 ...

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代数形式
最小二乘法在中学时讲过。有一些散点有线性的趋势，用一个一次函数去拟合，使得差距最小化。

假设数据点为 $$(x_1, y_1), (x_2, y_2),\dots,(x_m, y_m)$$ ，使用如下一次函数去拟合：
$y = w_1 x + w_0$
对于 $$x_i$$ ，采用上述函数计算出的结果记为 $$\hat{y_i}$$ ，即：
$\hat{y_i} = w_1 x_i+w_0$
定义差距为：
$\sum_{i=1}^m (y_i - \hat{y_i})^2$
现需要最小化这个差距。显然，上式为关于 $$w\_0$$ 和 $$w\_1$$ 的函数（损失函数）。为了方便，将 $$\sum\limits\_{i=1}^m$$ 简记为 $$\sum$$ ，记：
$\begin{split} f(w_0, w_1) &= \sum (y_i - \hat{y_i})^2 \\ &= \sum (y_i - (w_1 x_i + w_0))^2 \\ &= \sum (y_i^2 - 2y_ix_iw_1 - 2y_iw_0 + x_i^2w_1^2 + w_0^2 + 2x_iw_0w_1) \\ \end{split}$
分别对 $$w_0, w_1$$ 求偏导：
$\begin{split} \frac {\partial f} {\partial w_0} &= \sum (-2y_i + 2w_0 + 2x_iw_1) \\ &= -2 \sum {y_i} + 2mw_0 + 2w_1 \sum {x_i} \\ \frac {\partial f} {\partial w_1} &= \sum (-2x_iy_i + 2x_i^2w_1 + 2w_0x_i) \\ &= -2\sum{x_iy_i} + 2w_1\sum {x_i^2} + 2w_0\sum {x_i} \\ \end{split}$
令：
$\begin{split} \frac {\partial f} {\partial w_0} &= 0 \\ \frac {\partial f} {\partial w_1} &= 0 \\ \end{split}$
得：
$\begin{split} mw_0 + w_1\sum{x_i} &= \sum{y_i} \\ w_1\sum{x_i^2} + w_0\sum{x_i} &= \sum{x_i}{y_i} \\ \end{split}$
联立上面两式可得：
$\begin{split} w_0 &= \frac {\sum{x_i}\sum{x_i y_i} - \sum{y_i}\sum{x_i^2}} {(\sum{x_i})^2 - m\sum{x_i^2}} \\ w_1 &= \frac {\sum{x_i}\sum{y_i} - m\sum{x_i y_i}} {(\sum{x_i})^2 - m\sum{x_i^2}} \\ \end{split}$
注意， $$\sum{x_i^2} \ne (\sum{x_i})^2$$ ，计算时要细心。
矩阵形式
记 $$\mathbf{X}$$ 为 $$m\times n$$ 的矩阵，表示有 $$m$$ 个样本点，特征维数为 $$n$$ 维； $$\mathbf{y}$$ 为 $$m$$ 维列向量，表示这 $$m$$ 个样本点的实际值； $$\mathbf{\hat{y}}$$ 为 $$m$$ 维列向量，表示这 $$m$$ 个样本点的估计值； $$\mathbf{w}$$ 为 $$n$$ 维列向量，且：
$\mathbf{\hat{y}} = \mathbf{X}\mathbf{w}$
则：
$\mathbf{y} - \mathbf{\hat{y}} = \mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}$
上式的结果是一个列向量，而我们需要的是其平方和。根据矩阵乘法的定义，损失函数为：
$f(\mathbf{w}) = (\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w})^{\rm T}(\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w})$
现要求 $$\frac {\partial f} {\partial \mathbf{w}}$$ ，可 $$\mathbf{w}$$ 是个向量呀，这个该怎么求呢？
预备知识
【实数值函数对向量求导】
$\frac {\partial f} {\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{x_1} & \frac{\partial f}{x_2} & \dots & \frac{\partial f}{x_n} \\ \end{bmatrix}$
其中， $$\mathbf{x}= \left[x_1, x_2, \dots, x_n\right]^{\rm T}$$ 为 $$n$$ 维列向量， $$f$$ 是 $$\mathbf{x}$$ 上 $$\Re^n \to \Re$$ 的函数（也就是， $$f$$ 的输入是 $$n$$ 维列向量，输出是实数）
【向量值函数对向量求导】
$\frac {\partial \mathbf{y}} {\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial{y_1}}{\partial x_1} & \frac{\partial{y_1}}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial{y_1}}{\partial x_n} \\ \frac{\partial{y_2}}{\partial x_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial{y_2}}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial{y_m}}{\partial x_1} & \frac{\partial{y_m}}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial{y_m}}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix}$
即：
$(\frac {\partial \mathbf{y}} {\partial \mathbf{x}})_{ij} = \frac{\partial{y_i}}{\partial x_j}$
其中， $$\mathbf{x}= \left[x_1, x_2, \dots, x_n\right]^{\rm T}$$ 为 $$n$$ 维列向量， $$\mathbf{y}$$ 是定义在 $$\mathbf{x}$$ 上 $$\Re^n \to \Re^m$$ 的函数（也就是， $$\mathbf{y}$$ 的输入是 $$n$$ 维列向量，输出是 $$m$$ 维列向量），上面的矩阵称为雅可比（Jacobi）矩阵。
【链式求导】
设 $$\mathbf{x}$$ 为列向量，复合函数 $$\mathbf{h(\mathbf{x}) = \mathbf{f(\mathbf{g(\mathbf{x})})}}$$  ，其中向量值函数（也就是函数的值域是向量）$$\mathbf{f(\mathbf{g})}$$ 和 $$\mathbf{g(\mathbf{x})}$$ 均可微，则：
$\mathbf{h}^\prime(\mathbf{x}) = \mathbf{f}^\prime(\mathbf{g(\mathbf{x})})\mathbf{g}^\prime(\mathbf{x})$
和代数形式的链式求导类似。
计算过程
记 $$\mathbf{u(\mathbf{w})} = \mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}$$ ，则：
$\begin{split} f &= \mathbf{u}^{\rm T} \mathbf{u} \\ &= \sum\nolimits_i {u_i^2} \\ \end{split}$
$\begin{split} \frac {\partial f} {\partial \mathbf{u}} &= \begin{bmatrix} \frac {\partial {\sum\nolimits_i {u_i^2}}} {\partial {u_1}} & \frac {\partial {\sum\nolimits_i {u_i^2}}} {\partial {u_2}} & \dots & \frac {\partial {\sum\nolimits_i {u_i^2}}} {\partial {u_i}} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2u_1 & 2u_2 & \dots & 2u_i \end{bmatrix} \\ &= 2 \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_i \end{bmatrix} = 2 \mathbf{u}^{\rm T}\\ \end{split}$
$\begin{split} \mathbf{u} &= \mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w} \\ &= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} y_1 - \sum {x_{1i}w_i} \\ y_2 - \sum {x_{2i}w_i} \\ \vdots \\ y_m - \sum {x_{mi}w_i} \\ \end{bmatrix} \\ \end{split}$
$\begin{split} (\frac{\partial {\mathbf{u}}}{\partial {\mathbf{w}}})_{ij} &= \frac{\partial u_i}{\partial w_j} \\ &= \frac{\partial (y_i - (x_{i1}w_1 + x_{i2}w_2 + \dots + x_{in}w_n))}{\partial w_j} \\ &= -x_{ij} \end{split}$
$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{w}} = - \mathbf{X}$
使用链式求导：
$\begin{split} \frac {\partial f} {\partial {\mathbf{w}}} &= \frac {\partial f} {\partial \mathbf{u}} \frac {\partial \mathbf{u}} {\partial \mathbf{w}} \\ &= 2 \mathbf{u}^{\rm T} (- \mathbf{X}) \\ &= -2(\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w})^{\rm T}\mathbf{X} \\ &= -2 (\mathbf{y}^{\rm T} - (\mathbf{X}\mathbf{w})^{\rm T})\mathbf{X} \\ &= -2 (\mathbf{y}^{\rm T} - \mathbf{w}^{\rm T}\mathbf{X}^{\rm T}) \mathbf{X} \\ &= -2 (\mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{X} - \mathbf{w}^{\rm T}\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X}) \end{split}$
令：
$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}} = \mathbf{0}$
得：
$\mathbf{w}^{\rm T}\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X} = \mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{X}$
若 $$\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X}$$ 可逆，则两边同时右乘 $$(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{-1}$$ ，得：
$\mathbf{w}^{\rm T} = \mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{X}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{-1}$
两边同时转置：
$\begin{split} \mathbf{w} &= (\mathbf{y}^{\rm T}\mathbf{X}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{-1})^{\rm T} \\ &= ((\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{-1})^{\rm T}\mathbf{X}^{\rm T}(\mathbf{y}^{\rm T})^{\rm T} \\ &= ((\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{\rm T})^{-1}\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{y} \\ &= (\mathbf{X}^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T})^{\rm T})^{-1}\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{y} \\ &= (\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{y} \\ \end{split}$

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• 超定方程组最优解（最小二乘解）推导 http://www.cnblogs.com/narjaja/p/9304472.html
超定方程组最优解（最小二乘解）推导
http://www.cnblogs.com/narjaja/p/9304472.html
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

//最小二乘拟合相关函数定义
double sum(vector<double> Vnum, int n);
double MutilSum(vector<double> Vx, vector<double> Vy, int n);
double RelatePow(vector<double> Vx, int n, int ex);
double RelateMutiXY(vector<double> Vx, vector<double> Vy, int n, int ex);
void EMatrix(vector<double> Vx, vector<double> Vy, int n, int ex, double coefficient[]);
void CalEquation(int exp, double coefficient[]);
double F(double c[],int l,int m);
double Em[6][4];

//主函数，这里将数据拟合成二次曲线
int main(int argc, char* argv[])
{
double arry1[5]={0, 0.25,    0,    5, 0.75};
double arry2[5]={1,1.283,1.649,2.212,2.178};
double coefficient[5];
memset(coefficient,0,sizeof(double)*5);//作用是将某一块内存中的内容全部设置为指定的值， 这个函数通常为新申请的内存做初始化工作。
vector<double> vx,vy;
for (int i=0; i<5; i++)
{
vx.push_back(arry1[i]);
vy.push_back(arry2[i]);
}
EMatrix(vx,vy,5,3,coefficient);
printf("拟合方程为：y = %lf + %lfx + %lfx^2 \n",coefficient[1],coefficient[2],coefficient[3]);
return 0;
}
//累加
double sum(vector<double> Vnum, int n)
{
double dsum=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
dsum+=Vnum[i];
}
return dsum;
}
//乘积和
double MutilSum(vector<double> Vx, vector<double> Vy, int n)
{
double dMultiSum=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
dMultiSum+=Vx[i]*Vy[i];
}
return dMultiSum;
}
//ex次方和
double RelatePow(vector<double> Vx, int n, int ex)
{
double ReSum=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
ReSum+=pow(Vx[i],ex);
}
return ReSum;
}
//x的ex次方与y的乘积的累加
double RelateMutiXY(vector<double> Vx, vector<double> Vy, int n, int ex)
{
double dReMultiSum=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
dReMultiSum+=pow(Vx[i],ex)*Vy[i];
}
return dReMultiSum;
}
//计算方程组的增广矩阵
void EMatrix(vector<double> Vx, vector<double> Vy, int n, int ex, double coefficient[])
{
for (int i=1; i<=ex; i++)
{
for (int j=1; j<=ex; j++)
{
Em[i][j]=RelatePow(Vx,n,i+j-2);
}
Em[i][ex+1]=RelateMutiXY(Vx,Vy,n,i-1);
}
Em[1][1]=n;
CalEquation(ex,coefficient);
}
//求解方程
void CalEquation(int exp, double coefficient[])
{
for(int k=1;k<exp;k++) //消元过程
{
for(int i=k+1;i<exp+1;i++)
{
double p1=0;

if(Em[k][k]!=0)
p1=Em[i][k]/Em[k][k];

for(int j=k;j<exp+2;j++)
Em[i][j]=Em[i][j]-Em[k][j]*p1;
}
}
coefficient[exp]=Em[exp][exp+1]/Em[exp][exp];
for(int l=exp-1;l>=1;l--)   //回代求解
coefficient[l]=(Em[l][exp+1]-F(coefficient,l+1,exp))/Em[l][l];
}
//供CalEquation函数调用
double F(double c[],int l,int m)
{
double sum=0;
for(int i=l;i<=m;i++)
sum+=Em[l-1][i]*c[i];
return sum;
}



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