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最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为P的一个路径覆盖. 展开全文
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为P的一个路径覆盖.
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最小路径覆盖=|P|-最大匹配数
属    于
图论 网络流
中文名
最小路径覆盖
概    括
找出最小的路径条数
最小路径覆盖简介
一个PXP的有向图中,路径覆盖就是在图中找一些路径,使之覆盖了图中的所有顶点,且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联;(如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点,那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次);如果不考虑图中存在回路,那么每条路径就是一个弱连通子集.
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  • 最小路径覆盖

    2019-06-07 11:07:41
    花了好长时间,用于找了几篇能看懂的最小路径覆盖。 定义:通俗点将,就是在一个有向图中,找出最少的路径,使得这些路径经过了所有的点。 最小路径覆盖分为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。 最小不...

    转自:https://blog.csdn.net/qq_39627843/article/details/82012572

    花了好长时间,用于找了几篇能看懂的最小路径覆盖。

     

    定义:通俗点将,就是在一个有向图中,找出最少的路径,使得这些路径经过了所有的点。

    最小路径覆盖分为最小不相交路径覆盖最小可相交路径覆盖

    最小不相交路径覆盖:每一条路径经过的顶点各不相同。如图,其最小路径覆盖数为3。即1->3>4,2,5。

    最小可相交路径覆盖:每一条路径经过的顶点可以相同。如果其最小路径覆盖数为2。即1->3->4,2->3>5。

    特别的,每个点自己也可以称为是路径覆盖,只不过路径的长度是0。

     

    大家要仔细想想上面的解释啊,这已经是我找到的最浅显的了。

    而且一定要知道有这两种最小路径覆盖。

    然后如果大家不知道匈利亚算法的,一定要去看看,还是比较简单的,就是一个dfs,连我都看的懂。

    下面地址是关于匈利亚算法的详解,带图解,易懂

    https://blog.csdn.net/Arabic1666/article/details/79824390

    DAG的最小不相交路径覆盖

    算法:把原图的每个点V拆成VxVx和VyVy两个点,如果有一条有向边A->B,那么就加边Ax−>ByAx−>By。这样就得到了一个二分图。那么最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。

    证明:一开始每个点都是独立的为一条路径,总共有n条不相交路径。我们每次在二分图里找一条匹配边就相当于把两条路径合成了一条路径,也就相当于路径数减少了1。所以找到了几条匹配边,路径数就减少了多少。所以有最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。

    因为路径之间不能有公共点,所以加的边之间也不能有公共点,这就是匹配的定义。

    说的拆点这么高深,其实操作起来超级超级简单,甚至没有操作。

    简单的来说,每个顶点都能当成二分图中作为起点的顶点。

    至于为什么答案是 n-ans,我谈谈我的理解

    用dfs求的ans表示的意思是匹配数,换句话说,就是一条路连着的路径上的点的个数-1

    比如说这个图,我们用匈利亚算法,遍历每个点,发现1、3点可行,可匹配,而2、4、5都不能行。

    如果我们单纯考虑1->3->5这条路径,有三个点,然后有两个点匹配了,我们用3减去2,就得到了1,这个1就是一个路径数,需要用1条路径来覆盖,再对剩下的2、4考虑,分别都需要一条路径来覆盖,因为2-0=0,2是顶点个数,0是匹配数。

    所以,对于每条分路径,我们需要 v-cnt的路径来覆盖,最后将每个分路径合起来,我们得到n-cnt。

    例题:POJ1422

     

     
    1. //

    2. // main.cpp

    3. // POJ1422最小不想交路径覆盖

    4.  
    5.  
    6. #include <iostream>

    7. #include <stdio.h>

    8. #include <string.h>

    9. #include <vector>

    10. using namespace std;

    11. const int N = 200 + 10;

    12. vector<int> g[N];

    13. int cy[N];

    14. bool vis[N];

    15. bool dfs(int u)

    16. {

    17. for(int i=0; i<g[u].size(); ++i)

    18. {

    19. int v = g[u][i];

    20. if(vis[v]) continue;

    21. vis[v] = true;

    22. if(cy[v]==-1 || dfs(cy[v])){

    23. cy[v] = u;

    24. return true;

    25. }

    26. }

    27. return false;

    28. }

    29. int solve(int n)

    30. {

    31. int ret = 0;

    32. memset(cy, -1, sizeof(cy));

    33. for(int i=1;i<=n;++i)

    34. {

    35. memset(vis, 0, sizeof(vis));

    36. ret += dfs(i);

    37. }

    38. return n - ret;

    39. }

    40. int main( )

    41. {

    42. int t,n,m;

    43. int u,v;

    44. scanf("%d",&t);

    45. while(t--)

    46. {

    47. scanf("%d%d",&n,&m);

    48. for(int i=1;i<=n;++i)

    49. g[i].clear();

    50. for(int i=0;i<m;++i)

    51. {

    52. scanf("%d%d",&u,&v);

    53. g[u].push_back(v);

    54. }

    55.  
    56. int ans = solve(n);

    57. printf("%d\n",ans);

    58. }

    59. return 0;

    60. }

     

     

    DAG的最小可相交路径覆盖

    算法:先用floyd求出原图的传递闭包,即如果a到b有路径,那么就加边a->b。然后就转化成了最小不相交路径覆盖问题。

    证明:为了连通两个点,某条路径可能经过其它路径的中间点。比如1->3->4,2->4->5。但是如果两个点a和b是连通的,只不过中间需要经过其它的点,那么可以在这两个点之间加边,那么a就可以直达b,不必经过中点的,那么就转化成了最小不相交路径覆盖。

    上面的解释很不错,点个赞!

    题目POJ2594

     
    1. //

    2. // main.cpp

    3. // POJ2594最小可相交路径覆盖

    4. //

    5. // Created by beMaster on 16/4/8.

    6. // Copyright © 2016年 beMaster. All rights reserved.

    7. //

    8.  
    9. #include <iostream>

    10. #include <stdio.h>

    11. #include <string.h>

    12. #include <vector>

    13. using namespace std;

    14. const int N = 500 + 10;

    15. bool dis[N][N];

    16. bool vis[N];

    17. int cy[N];

    18. void floyd(int n){

    19. for(int i=1;i<=n;++i)

    20. for(int j=1;j<=n;++j)

    21. for(int k=1;k<=n;++k)

    22. if(dis[i][k] && dis[k][j])//传递可达性

    23. dis[i][j] = true;

    24. }

    25. bool dfs(int u, int n){

    26. for(int i=1;i<=n;++i){

    27. if(!vis[i] && dis[u][i]){

    28. vis[i] = true;

    29. if(cy[i]==-1 || dfs(cy[i], n)){

    30. cy[i] = u;

    31. return true;

    32. }

    33. }

    34. }

    35. return false;

    36. }

    37. int solve(int n){

    38. int cnt = 0;

    39. memset(cy,-1,sizeof(cy));

    40. for(int i=1;i<=n;++i){

    41. memset(vis,0,sizeof(vis));

    42. cnt += dfs(i, n);

    43. }

    44. return n - cnt;

    45. }

    46. int main( ) {

    47. int n,m;

    48. int a,b;

    49. while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m){

    50. for(int i=1;i<=n;++i)

    51. for(int j=1;j<=n;++j)

    52. dis[i][j] = false;

    53. for(int i=1;i<=m;++i){

    54. scanf("%d%d",&a,&b);

    55. dis[a][b] = true;

    56. }

    57. floyd(n);

    58. int ans = solve(n);

    59. printf("%d\n",ans);

    60. }

    61. return 0;

    62. }

     

    做完这两道例题,可以做做我拉的题目啊,欢迎欢迎

    https://vjudge.net/contest/249592#problem

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  • Air Raid + Treasure Exploration 最小边覆盖: 最小路径覆盖: 有向无环图->二分图 传递闭包

    最小边覆盖

    边覆盖集:通俗地讲,所谓边覆盖集,就是G中所有的顶点都是E*中某条边的邻接顶点(边覆盖顶点),一条边只能覆盖2个顶点。


    注意:在无向图中存在用尽量少的边去“覆盖”住所有的顶点(注意:单独一个点没有与它相连的边,也算作一次边去覆盖这个点),所以边覆盖集有极小与最小的区别。
    极小边覆盖:若边覆盖E*中的任何真子集都不是边覆盖集,则称E*是极小边覆盖集。

    最小边覆盖:边数最小的边覆盖集称为最小边覆盖,通俗地讲,就是极小边覆盖中的最小的一个集合。


    最小边覆盖在二分图中的应用:最小边覆盖 = 最大独立集 = n - 最大匹配,这个是二分图上的一个性质。
    两个很小的点:必须要求原图为二分图;边覆盖集中可能有多条边覆盖同一个顶点,其实可以这条边说是为了覆盖另一个顶点而存在的。

    最小路径覆盖

    用尽量少的不相互交叉简单路径覆盖有向无环图G的所有结点(不交叉指的是原图,而非后来构造的二分图)。即覆盖点(同样地,在路径覆盖中单独一个点没有与它相连的边,也算作一次路径去覆盖这个点)。建立一个二分图模型,把所有顶点i拆成两个:X集中的i和Y集中的i',如果有边i->j,则在二分图中引入边i->j',结果就是最小路径覆盖 = N - 最大匹配数。(N为原图中结点数)

    最小路径覆盖和最小边覆盖不同,不要求给的图是二分图,而是要求是N×N的有向图,且不能有环,然后根据原图构造二分图,构造方法是将点一分为二,如:i分为i`和i``然后如果i和j有边,那么就在i`和j``之间连一条边。由此构成二分图。

    然后最小路径覆盖 = n-m,n为原图的点的个数,m为新造二分图的最大匹配。证明也是特别简单的,根据定义最小路径覆盖里要求同一个点只可以属于一条路径,即路径是不可以开叉的,如果在二分图里选两条有公共点的边那么反应在原图上就是路径有岔路了,所以二分图里选的边必须是无公共交点的,这就是转化到最大匹配了。
    (图片来源)
    上图中,对应左边的DAG建立构造右边的二分图,可以找到二分图的一个最大匹配M:1-3',3-4',那么M中的这两条匹配边怎样对应DAG中的路径的边?
    使二分图中一条边对应DAG中的一条有向边,1-3'对应DAG图中的有向边1->3,这样DAG中1就会有一个后继顶点(3会是1的唯一后继,因为二分图中一个顶点至多关联一条边!),所以1不会成为DAG中一条路径中的结尾顶点,同样,3-4'对应DAG中3->4,3也不会成为结尾顶点,那么原图中总共4个顶点,减去2个有后继的顶点,就剩下没有后继的顶点,即DAG路径的结尾顶点,而每个结尾顶点正好对应DAG中的一条路径,二分图中寻找最大匹配M,就是找到了对应DAG中的非路径结尾顶点的最大数目,那么原图DAG中顶点数-|M|就是DAG中结尾顶点的最小数目,即DAG的最小路径覆盖数.即上图中找到的最小路径覆盖集合为2, 1->3->4。

    若是题目要求可多次经过一个点的最小路径覆盖呢?如下图:

    (图片来源)

    此时构造二分图,得到的匹配答案是2,最小路径覆盖答案便是5-2=3。而对于可多次经过同一点来说正确答案明显是2。

    问题究竟出在哪里呢?其实就和这个交点2有关。既然边有相交,那么他们的连通性也应该连通下去。

    解决的办法是对原图进行一次闭包传递(通过Warshell传递闭包算法),于是便增加了四条边:1->3, 1->5, 4->3, 4->5,然后再去求最小路径覆盖。

    传递闭包概念:

    一个有n个顶点的有向图的传递闭包为:有向图中的初始路径可达情况我们存入邻接矩阵A,邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达,若直接可达,则A[i,j]记为1,否则记为0;有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点(或者不经过其他点)能够到达j点,如果i到j有路径,则将T[i,j]设置为1,否则设置为0;有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发,求的是所有节点间的路径可达情况,该T矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。

    这时再求最大匹配数,匹配答案便是3,最小路径覆盖值为2,这是正确答案!


    最小路径覆盖例题1(POJ-1422):

    题意:一个镇里所有的路都是单向路且不会组成回路。派一些伞兵去那个镇里,要能够到达所有的路口,且超过一个 伞兵访问不交叉的路口(visits no intersection),其实题目应该是想表达伞兵访问路径时不能相互交叉,每个路口只能访问一次。每个在一个路口着陆了的伞兵可以沿着街去到其他路口。我们的任务是求出去执行任务的伞兵最少可以是多少个。

    代码:

    #include <algorithm>
    #include <string.h>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    const int maxn = 250;
    const int maxm = maxn*maxn;
    const int BAS = 120;
    struct node
    {
    	int v, next;
    } edge[maxm];
    int no, head[maxn];
    int n, m, ans;
    int match[maxn], vis[maxn];
    inline void init()
    {
    	no = 0; ans = 0;
    	memset(head, -1, sizeof head);
    	memset(match, -1, sizeof match);
    }
    inline void add(int u, int v)
    {
    	edge[no].v = v;
    	edge[no].next = head[u];
    	head[u] = no++;
    }
    int dfs(int cur)
    {
    	for(int k = head[cur]; k != -1; k = edge[k].next)
    	{
    		if(vis[edge[k].v]) continue;
    		vis[edge[k].v] = 1;
    		if(match[edge[k].v] == -1 || dfs(match[edge[k].v]))
    		{
    			match[edge[k].v] = cur;
    			return 1;
    		}
    	} 
    	return 0;
    }
    int main()
    {
    	int t, u, v;
    	scanf("%d", &t);
    	while(t--)
    	{
    		scanf("%d %d", &n, &m); init();
    		for(int i = 1; i <= m; ++i)
    		{
    			scanf("%d %d", &u, &v);
    			add(u, BAS+v);
    		}
    		for(int i = 1; i <= n; ++i)
    		{
    			memset(vis, 0, sizeof vis);
    			if(dfs(i)) ++ans;
    		}
    		printf("%d\n", n-ans);
    	}
    	return 0;
    }

    最小路径覆盖例题2(POJ-2594):

    题意:给一个有向无环图,有n个点,m条有向边。一个机器人可以从任意点开始沿着边的方向走下去。对于每一个机器人:走过的点不能再走过。对于每个点可被多个机器人走。问你最少用几个机器人可以走完所有的n个点,不同的机器人可以走相同的点(two different robots may contain some same point)。

    分析:路径可以相互交叉,所以就是最小路径覆盖+Warshell传递闭包。

    代码:

    #include <string.h>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    const int maxn = 505;
    bool G[maxn][maxn];
    int match[maxn], vis[maxn]; 
    int n, m;
    void Warshell()
    {
    	//进行求解最小路径覆盖问题前提是有向无环图
    	//所以不会出现传递闭包形成G[i][i]=1的情况 
    	for(int i = 1; i <= n; ++i)
    	for(int j = 1; j <= n; ++j)
    	if(!G[i][j])
    	for(int k = 1; k <= n; ++k)
    	if(G[i][k] && G[k][j])
    	{
    		G[i][j] = 1;
    		break;
    	}
    }
    int dfs(int cur)
    {
    	for(int i = 1; i <= n; ++i)
    	{
    		if(!G[cur][i] || vis[i]) continue;
    		vis[i] = 1;
    		if(match[i] == -1 || dfs(match[i]))
    		{
    			match[i] = cur;
    			return 1;
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    int main()
    {
    	int u, v, ans;
    	while(scanf("%d %d", &n, &m) && (n || m))
    	{
    		memset(G, 0, sizeof G);
    		memset(match, -1, sizeof match);
    		for(int i = 1; i <= m; ++i)
    		{
    			scanf("%d %d", &u, &v);
    			G[u][v] = 1;
    		}
    		Warshell(); ans = 0;
    		for(int i = 1; i <= n; ++i)
    		{
    			memset(vis, 0, sizeof vis);
    			if(dfs(i)) ++ans;
    		}
    		printf("%d\n", n-ans);
    	}
    	return 0;
    }

    继续加油~

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  • 最小路径覆盖 Description 定义: 一个不含圈的有向图G中,G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P,图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束,且长度也为任意值,包括0。请...

    最小路径覆盖

    Description

    定义: 一个不含圈的有向图G中,G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P,图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束,且长度也为任意值,包括0。请你求任意一个不含圈的有向图G的最小路径覆盖数。

    提示:最小路径覆盖数=G的定点数-最小路径覆盖中的边数
    最小路径覆盖数=原图G的顶点数-二分图的最大匹配数

    Input

    t 表示有t组数据;n 表示n个顶点(n<=120);m 表示有m条边;
       接下来m行,每行有两个数 i,j表示一条有向边。

    Output

    最小路径覆盖数

    Sample Input

    2
    4
    3
    3 4
    1 3
    2 3
    3
    3
    1 3
    1 2
    2 3

    Sample Output

    2
    1

    解题思路

    这题就是一道最小路径覆盖模板题目

    最小路径覆盖
    在这里插入图片描述

    定义:在一个有向图中,找出最少的路径,使得这些路径经过了所有的点。 最小路径覆盖分为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。 最小不相交路径覆盖:每一条路径经过的顶点各不相同。如图,其最小路径覆盖数为3。即1->3>4,2,5。 最小可相交路径覆盖:每一条路径经过的顶点可以相同。如果其最小路径覆盖数为2。即1->3->4,2->3>5。 特别的,每个点自己也可以称为是路径覆盖,只不过路径的长度是0。

    什么是有向图G的最小路径覆盖?首先,图G必须是有向无环的。路径覆盖就是在图G中找出一些路径,每条路径从起点走到终点并且标记中间经过的点。最后,每个点只被标记一次。选出的这些路径组成路径覆盖。如果找出最少的路径成为一个路径覆盖,则称为最小路径覆盖。

    在这里插入图片描述

    在上图中,以下两个均是路径覆盖: a、<1,2> <4,6> <3> <5> b、<1,2,4,6> <3> <5> 在上面两个覆盖中b为最小覆盖,|b|=3,而|a|=4。(注意一个单独的节点也是一个路径)

    由原图G构造对应的二分图S,将原图G中的每个点i拆成两个点i1和i2,i1和i2属于S。i1组成二分图的X集合,i2组成Y集合。若原图G中有边<i,j>,则在S中有边<i1,j2>,则上面的图可以得到如下二分图: 法:把原图的每个点V拆成Vx和Vy两个点, 如果有一条有向边A->B,那么就加边Ax−>By 。这样就得到了一个二分图。 那么最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。
    在这里插入图片描述
    证明:一开始每个点都是独立的为一条路径,总共有n条不相交路径。我们每次在二分图里找一条匹配边就相当于把两条路径合成了一条路径,也就相当于路径数减少了1。所以找到了几条匹配边,路径数就减少了多少。所以有最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。 因为路径之间不能有公共点,所以加的边之间也不能有公共点,这就是匹配的定义。

    AC代码

    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    long long n,m,T,x,y,tot,answer,head[1005],cover[1005],father[1005];
    struct node//结构体
    {
    	long long to,next;
    }a[1000005];
    void add(long long x,long long y)//邻接表
    {
    	a[++tot]=(node){y,head[x]};
    	head[x]=tot;
    }
    bool dfs(long long x)//dfs
    {
    	if(x==0)return true;
    	for(long long i=head[x];i;i=a[i].next)
    	 if(cover[a[i].to]==0)
    	 {
    	 	cover[a[i].to]=1;
    	 	long long sum=father[a[i].to];
    		father[a[i].to]=x;
    	 	if(sum==0||dfs(sum))return true;
    	 	father[a[i].to]=sum;
    	 }
    	return false;
    }
    int main()
    {
    	scanf("%lld",&T);
    	while(T--)
    	{
    		tot=answer=0;//清零
    		memset(head,0,sizeof(head));
    		memset(father,0,sizeof(father));
    		scanf("%lld%lld",&n,&m);
    		for(long long i=1;i<=m;i++)
    		{
    			scanf("%lld%lld",&x,&y);
    			add(x,y);//建边
    		}
    		for(long long i=1;i<=n;i++)//匈牙利算法
    		{
    			memset(cover,0,sizeof(cover));
    			dfs(i);
    		}
    		for(long long i=1;i<=n;i++)
    	 	 if(father[i]!=0)answer++;
    		printf("%lld\n",n-answer);
    	}
    	return 0; 
    }
    

    谢谢

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  • 最小路径覆盖? 概念:最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为P的一个路径覆盖. 前置知识: 匈牙利算法 为什么要用匈牙利算法? 首先 每个点都可以代表一个简单路径 答案是n 但是要求最小的 路径覆盖 用...

    最小路径覆盖?

    概念:最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为P的一个路径覆盖.

    前置知识: 匈牙利算法

    为什么要用匈牙利算法?
    首先 每个点都可以代表一个简单路径 答案是n 但是要求最小的 路径覆盖 用匈牙利匹配他的下一个节点 (他的下一个节点只能有一个,因为是有向无环图)。 意思是把这两个简单路径连起来 合为 一条路径,然后答案个数就会-1。这也就是为什么最小路径覆盖=n(节点个数)- 最大匹配数。
    这个算法比较简单。。。
    例题(板子): poj1422
    题意:给你一个有向无环图。然后往点上放人 问你 最少放多少个人在不重复走相同的点的情况下可以把这些点走完。显然是最小路径覆盖问题。
    这个例题是不能相交的最小路径覆盖问题
    代码:

    #include <stdio.h>
    #include <vector>
    using namespace std;
    const int maxn = 205;
    vector<int> vv[maxn];
    int vis[maxn];
    int cp[maxn];
    
    int dfs(int x)
    {
    //    printf("%d\n",x);
    //    vis[x]=1;
        for (int i=0;i<vv[x].size();i++)
        {
            int v=vv[x][i];
            if(vis[v]==0)
            {
                vis[v]=1;
                if(cp[v]==0||dfs(cp[v]))
                {
                    cp[v]=x;
                    return 1;
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    
    int main()
    {
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            memset(cp,0,sizeof(cp));
            int n,m;
            scanf("%d%d",&n,&m);
            for (int i=0;i<=n;i++)
                vv[i].clear();
            for (int i=0;i<m;i++)
            {
                int x,y;
                scanf("%d%d",&x,&y);
                vv[x].push_back(y);
            }
            int ans=0;
            for (int i=1;i<=n;i++)
            {
                memset(vis,0,sizeof(vis));
                ans+=dfs(i);
            }
            printf("%d\n",n-ans);
        }
    }
    

    如果能走相同的点的话 先跑一遍弗洛伊德 然后可以直接跨过那个点找匹配了 也就是即使中间这个点已经在别的路上走过了 但是也能连到后面的那个点。
    这样的话 一个点不止有一个点能到达这个点。也不止能到达一个点。
    这不是只用找入度为0的点就好了嘛? 显然不是 如果中间分叉了 也不行。

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    千次阅读 2019-08-07 11:14:12
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空空如也

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